2022-2023学年福建省福州市六校高二下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2福建省福州市六校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，由得故选：B2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A选项，当时，，则在上单调递减；对于B选项，函数在区间上不单调；对于C选项，函数在上不单调；对于D选项，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数.故选：D.3.设，，，则（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；由三角函数单调性可知；利用指数函数单调递增可得；所以.故选：C4.已知边长为1的正方形，设，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为是边长为1的正方形，，所以又，所以，故选：B5.函数是（）A.奇函数，且最小值为 B.奇函数，且最大值为C.偶函数，且最小值为 D.偶函数，且最大值为〖答案〗C〖解析〗由题可知，的定义域为，关于原点对称，且，而，即函数为偶函数；所以，又，即，可得函数最小值为0，无最大值.故选：C6.设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗画出函数的图象如下图所示：函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上可得的取值范围是.故选：D7.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若双曲线的离心率为，则，所以，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的充分条件；反之，双曲线的一条渐近线为，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的必要条件；综上：“的离心率为”是“的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件，故选：D.8.已知△ABC中，角A，B满足，则下列结论一定正确的是（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，设函数，上面不等式即为，又，是上的增函数，，而，是三角形内角，，即，，，，故A错误；，故B错误；，故C正确；由，，由正弦定理可得，故D错误.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍B.一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5D.若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为4.7，则这两组数据中较稳定的是甲〖答案〗AB〖解析〗对于A中，根据数据的平均数的计算公式，若将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍，所以A正确；对于B中，数据的平均数为，由众数和中位数的概念，可得数据的众数为，中位数为，所以数据的平均数、众数和中位数都相同，所以B正确；对于C中，将数据从小到大排序，可得，因为，所以分位数为，所以C错误；对于D中，若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为4.7，根据方差的概念，可得这两组数据中较稳定的是乙，所以D错误.故选：AB.10.已知，，且，则（）A.的最大值为2 B.的最小值为2C.的最大值是1 D.的最小值是1〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，解得或.因为，，所以，故A错误，B正确；因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，因为，所以解得，所以，故C正确，D错误.故选：BC.11.在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则（）A.B.直线与平面所成角的正弦值是C.异面直线与所成的角是D.四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是〖答案〗AB〖解析〗如图，连接.因为底面是正方形，所以，因为平面，所以，所以平面，则，故A正确.由题意易证，，两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系.设，则，，，，，从而，，，.设平面的法向量，则，令，得.设直线与平面所成的角为，则，故B正确.设异面直线与所成的角为，则，从而，故C错误.四棱锥的体积，由题意可知四棱锥外接球的半径，则其体积，从而四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是，故D错误.故选：AB.12.已知为等差数列的前项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由为等差数列的前项和，所以，即；又，设等差数列的公差为，所以，所以，所以，故A正确；由选项A可知，所以，所以，故B错误；由选项A可知，所以，，所以，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以，故C正确；由选项A可知，当且时，；当且时，；当且时，；当时，；所以，故D正确.故选:ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.复数，则__________________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗为：.14.已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．〖答案〗1〖解析〗设，则,即，所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称，由得,将代入抛物线中得所以，故〖答案〗为：115.设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____．〖答案〗①②（〖答案〗不唯一）〖解析〗根据题意可得当时，可得，所以；当时，即，整理可得，即，可得，所以的一个取值为.故〖答案〗为：,16.若不等式有唯一解，则的值为________．〖答案〗〖解析〗由题意可知，不等式有唯一解，令，要使有唯一解，只需使与有一个交点，即方程有唯一解，即方程有唯一实数根，，即，解得：.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在中，，，平分交于点，．（1）求的值；（2）求的面积．解：（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以；（2）由（1）得，由题设，，即为等腰三角形，所以，，所以的面积．18.如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值．解：（1）如图所示：连接.因为是边长为2正方形，所以，因为，所以，，所以，则.因为，所以.因为平面ABCD，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系.则，，，，故，，.设平面的法向量为，则，令，则设平面的法向量为，则，令，则.，记平面和平面夹角为，则.19.在递增的等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由题意可得，解得，，则，.故.（2）由（1）可得，则.故.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：在上单调递增；（3）判断与的大小关系，并加以证明．解：（1）,所以，．所以曲线在点处的切线方程为．（2）由题设，．所以．当时，因为，所以．所以在上单调递增．（3）．证明如下：设．则．由（2）知在上单调递增，所以．所以，即在上单调递增．所以，即．21.已知椭圆：的离心率为，且椭圆上的点到右焦点的距离最长为.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线与椭圆交于两点，的中垂线与轴交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得：，解得：，，，椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率不为时，设直线的方程为，，，的中点为.联立整理得：，由题意可知：，则，，.为的中点，，，即.直线的方程可设为，令得：，则，.当直线的斜率为时，，，则.综上所述：为定值，且定值为.22.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）证明:．解：（1）由函数，可得的定义域为，且若，可得，在上单调递减；若，令，因为，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，综上可得：当时，在上单调递减；当时，的递增区间为，递减区间为.（2）由（1）知，当时，的递增区间为，递减区间为，所以，所以，即，当时，可得：，将不等式累加后，可得，即.福建省福州市六校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，由得故选：B2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A选项，当时，，则在上单调递减；对于B选项，函数在区间上不单调；对于C选项，函数在上不单调；对于D选项，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数.故选：D.3.设，，，则（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；由三角函数单调性可知；利用指数函数单调递增可得；所以.故选：C4.已知边长为1的正方形，设，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为是边长为1的正方形，，所以又，所以，故选：B5.函数是（）A.奇函数，且最小值为 B.奇函数，且最大值为C.偶函数，且最小值为 D.偶函数，且最大值为〖答案〗C〖解析〗由题可知，的定义域为，关于原点对称，且，而，即函数为偶函数；所以，又，即，可得函数最小值为0，无最大值.故选：C6.设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗画出函数的图象如下图所示：函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上可得的取值范围是.故选：D7.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若双曲线的离心率为，则，所以，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的充分条件；反之，双曲线的一条渐近线为，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，离心率；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的必要条件；综上：“的离心率为”是“的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件，故选：D.8.已知△ABC中，角A，B满足，则下列结论一定正确的是（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，设函数，上面不等式即为，又，是上的增函数，，而，是三角形内角，，即，，，，故A错误；，故B错误；，故C正确；由，，由正弦定理可得，故D错误.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍B.一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5D.若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为4.7，则这两组数据中较稳定的是甲〖答案〗AB〖解析〗对于A中，根据数据的平均数的计算公式，若将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍，所以A正确；对于B中，数据的平均数为，由众数和中位数的概念，可得数据的众数为，中位数为，所以数据的平均数、众数和中位数都相同，所以B正确；对于C中，将数据从小到大排序，可得，因为，所以分位数为，所以C错误；对于D中，若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为4.7，根据方差的概念，可得这两组数据中较稳定的是乙，所以D错误.故选：AB.10.已知，，且，则（）A.的最大值为2 B.的最小值为2C.的最大值是1 D.的最小值是1〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，解得或.因为，，所以，故A错误，B正确；因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，因为，所以解得，所以，故C正确，D错误.故选：BC.11.在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则（）A.B.直线与平面所成角的正弦值是C.异面直线与所成的角是D.四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是〖答案〗AB〖解析〗如图，连接.因为底面是正方形，所以，因为平面，所以，所以平面，则，故A正确.由题意易证，，两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系.设，则，，，，，从而，，，.设平面的法向量，则，令，得.设直线与平面所成的角为，则，故B正确.设异面直线与所成的角为，则，从而，故C错误.四棱锥的体积，由题意可知四棱锥外接球的半径，则其体积，从而四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是，故D错误.故选：AB.12.已知为等差数列的前项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由为等差数列的前项和，所以，即；又，设等差数列的公差为，所以，所以，所以，故A正确；由选项A可知，所以，所以，故B错误；由选项A可知，所以，，所以，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以，故C正确；由选项A可知，当且时，；当且时，；当且时，；当时，；所以，故D正确.故选:ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.复数，则__________________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗为：.14.已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．〖答案〗1〖解析〗设，则,即，所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称，由得,将代入抛物线中得所以，故〖答案〗为：115.设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____．〖答案〗①②（〖答案〗不唯一）〖解析〗根据题意可得当时，可得，所以；当时，即，整理可得，即，可得，所以的一个取值为.故〖答案〗为：,16.若不等式有唯一解，则的值为________．〖答案〗〖解析〗由题意可知，不等式有唯一解，令，要使有唯一解，只需使与有一个交点，即方程有唯一解，即方程有唯一实数根，，即，解得：.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在中，，，平分交于点，．（1）求的值；（2）求的面积．解：（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以；（2）由（1）得，由题设，，即为等腰三角形，所以，，所以的面积．18.如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值．解：（1）如图所示：连接.因为是边长为2正方形，所以，因为，所以，，所以，则.因为，所以.因为平面ABCD，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系.则，，，，故，，.设平面的法向量为，