2020-2021学年实验中学高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年实验中学高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共36.0分)

1.设/(1)=/_2］一41111则函/(»单调递增区间为()

A.(0,+QQ)B.(-1,0)和(2,+oo)

c.(2,+s)D.(—1,0)

px丫>0

/2iv八，若函数g(%)=/(%)—7nx有三个不同零点，则实数血的取值范围

(|lZ7X十XIjX工U

为()

A.-2<m<0B.—247n<0或

C.-2<??iV0或eVznVe2D.-2VTnV0或m>e

3.设工、y满足3/+4y2=12,则汽+2y的最大值为()

A.2B.3C.4D.6

4.化简sm2013。的结果是()

A.sin33°B.cos33°C.—sin33°D.—cos33°

5.已知向量3=(—1,2),3=(1,0),那么向量3至—五的坐标是()

A.(—4,2)B.(-4,-2)C.(4,2)D.(4,—2)

6.若。是第三象限的角，那么篝鬻的值()

A.大于零B.小于零

C.等于零D.不能确定正负或零

7,函数/(%)是定义域为｛x|x丰0｝的奇函数，且/(I)=1,/'(%)为/(%)的导函数，当工>0时，/(%)+

犷'。)>3则不等式犷Q)>l+ln|刈的解集为()

A.(-00,-1)U(l,+oo)B.(-00,-1)

C.(l,+oo)D.(-1J)

富歌带®:侬:壁嚼

8,已知函数“翼礴=4，则/1-4=()

速一尊:侬“：顺

A.-2B.10C.2D.-10

9.已知函数g(x)=9；二叱『°为奇函数，且/(T)=l，贝必=()

KJ(%J,%<U

A.-2B.-1C.1D.2

10.函数y=%。05%是()

A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶D.非奇非偶

11.函数/'(x)=—段|(e为自然对数的底)在区间［0,1］上单调递增，则徵的取值范围是()

A.[0,1]B.[―0,e]C,[—1,1]D.(―e,e]

12.若x>0,y>0,且x+y=5,则Igx+Zgy的最大值是()

A.IgSB.2—4匈2C.lg|D.不存在

二、单空题(本大题共6小题，共18.0分)

13.函数/(%)=卜笠"则广1(0)=.

14.已知事函数/(x)=(m2-3m+3)丑2-时1在(0,+8)上单调递增，则m值为.

15.已知/(%)是R上偶函数，当X40时，/(%)=%3+2%2,则当％>0时，函数/(%)=.

16.函数/(%)=4%—2%-6的零点为.

17.在平面直角坐标系中，角a的顶点为坐标原点，始边与％轴的正半轴重合，若0VaV"，点P(1-

tan2*2tcm*)在角a的终边上，则角a=.(用弧度表示)

已知一了"0叶且sinx+cosunlj

18.贝Usinx—cosx=

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)

19.计算下列各式

(1)(仞2)2+匈5,仞20—1

(口)(32xV3)6+(V2V^)3-(-2006)°-

20.已知全集0=口,2,3,4},集合4={1,2,/}与3={1,4}是它的子集,

⑴求C/；

(2)若4CB=B,求x的值；

(3)若AUB=U,求x.

21.已知函数y=/(久)是指数函数，且它的图象过点(2,4).

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)求/(0),/(—2),((4)；

(3)画出指数函数y=/(%)的图象，并根据图象解不等式/(2x)>f(—x+3).

22.已知向量为=(x,2x),b=(-3x,2).

(1)若五为单位向量，试确定》的值；

(2)若五，石的夹角为钝角，求x的取值范围.

23.已知函数/'(无)=sinxsin^x+£)

(1)求在［05］上的单调递增区间；

(2)在锐角AABC中，内角4B、C的所对的边分别为a、b、c,且/⑷=苧，a=4,求b+c的取

值范围.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：,11感定义域为感电假喇，

又由的域:=觊一S--=霓需一砥港净电，解得-1<窜唬眦或寓*雪，所以F级:>®的解集

窖震:

貉#通，

即函数/0)单调递增区间为整，褪姗

故选C.

2.答案：D

px%>0

),2|々n'g(x)=f(x)一6万，

(\|27x+x£\,x<0

.•.当X=0时，g(0)=f(0)=0,0为g(x)的一个零点，

(e%

当工。0时，令g(x)=0,则？?1==］常/>°,

'xl-|2+%b%<0

・・,当》>0,由函数y=(,有

y，=e,当%>1时，y'>。；当0<%<1时，y'V0，

・•・函数丫=?，在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递增，

•••当％=1时，ymin=e,

显然当》40时，函数y=—|2+%］,在(-8,-2］上单调递增，在(—2,0］上单调递减，

且％=—2时，y=0,%=0时，y=2,

,•・函数度g(%)=/(%)-血%有三个不同零点，

.•・当％丰0时，函数y=TH与函数/(%)有两个交点，在直角坐标系中画出y=TH与函数/(%)的图象如下,

则由图象易得，一2<m<0,或m>e,

•••m的取值范围为:(―2,0)U(e,+8).

故选：D.

由已知可得0为9(久)的一个零点，当％力0时，令g(x)=0,则机=3=]一">°,只需函

*l-|2+x|,x<0

数y=TH与函数/'(x)有两个交点，画出y=巾与函数f(x)的图象，根据图象易得小的范围.

本题考查了函数零点存在定理的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题.

3.答案：C

解析：解：设工、y满足3/+4y2=12,整理得=+]=1,转换为参数方程为二鸳1(。为

参数)，

所以％+2y=2cos6+2y/3sin9=4sin(0+-),

6

当时，(X+2y)max=4.

故选：C.

把普通方程转换为参数方程，利用辅助角公式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最大值.

本题考查参数方程、直角坐标方程之间的转换，辅助角公式，正弦型函数性质，属于基础题.

4.答案：C

解析：解：sin2013°=sin(360°x5+213°)=sin213°=sin(180°+33°)=-sin33°.

故选：C.

将所求式子中的角变形后利用诱导公式化简即可得到结果.

此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

5.答案：D

解析：解:a=(—1,2),b=(1,0)»

二向量33一五=3(1,0)-(-1,2)=(4,-2)

故选D.

由已知中向量五=(-1,2),3=(1,0),根据数乘向量坐标运算公式，及向量减法坐标运算公式，可

求出向量31一反的坐标.

本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，熟练掌握数乘向量坐标运算公式，及向量加法坐标运算

公式，是解答本题的关键.

6.答案：B

解析：解：因为。是第三象限的角，所以cos。<0,s讥。<0；

则sin(cos。)<0与cos(sinO)>0；

故选B.

利用。是第三象限的角，判断cos。，sin。的符号，然后利用诱导公式判断sin(cos。)与cos(sinO)的符

号即可.

本题是基础题，考查三角函数值的符号，值域三角函数的角的范围的应用，考查计算能力.

7.答案：A

解析:解:令g(x)=WQ)-ln|x|,

则g(X)为偶函数,且当％>0时,g'(x)>0,

即函数g(x)在区间(0,+8)上为增函数，

不等式>1+ln|x|即为g(x)>g(l),

即有g(|x|)>9(1)，化为因>1，

解得：X<一1或X>1.

故选：A.

通过g(x))=xf(x)-ln|x|,为偶函数，且当％>0时，g'(x)>0,即函数g(x)在区间(0,+8)上为增

函数，解不等式求出即可.

本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的奇偶性，是一道综合题.

8.答案：B

解析：试题分析：明；4®鹭：=a瀚微7-圆=瑜

考点：本小题主要考查分段函数的求值，考查学生的运算求解你能力.

点评：分段函数不论分成几段，仍是一个函数，求值时代入相应的函数解析式求值即可.

9.答案:D

解析：

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于简单题.

根据题意，由函数的解析式可得9(-1)=f(-D=1,又由函数为奇函数可得12-a=-1,解可得a

的值，即可得答案.

解：根据题意，函数g(x)=。

则g(-1)=1(-1)=1,

又由函数g(x)为奇函数，

则9(1)=一9(-1)=T，

即17一a=-l,解可得a=2；

故选：D.

10.答案:A

解析:

利用f(-%)=-/(%),可以判断函数是函数y=xcosx是奇函数.

本题考查函数的奇偶性，考查奇偶函数的定义的应用，属于基础题.

解：函数的定义域为R.

令f(x)=XCOSX,则/'(一%)=(―x)cos(—X)=—xcosx=­/(X),

二函数y=KCOSX是奇函数.

故选：A.

1L答案：C

解析：解：若mwo,贝|靖一£〉0恒成立，贝疗=£|=e"—冷，

则((久)=〃+意为增函数，

若函数/(%)=忸、-£|(e为自然对数的底)在区间［0,1］上单调递增，

则尸(尤)>0恒成立，则仅须％=0时,i+m>0,即zn>一1即可,

故此时：―1<巾W0,

若6>0,则蜡+卷>0为增函数，

若函数f(x)=|蜡一£|已为自然对数的底)在区间［0,1］上单调递增，

则"-5>0在区间［0,1］上恒成立，

此时1—m20,即m<1即可，

故此时：0<m<1,

综上所述zn的取值范围是［-1,1］,

故选：C

若爪<0,则1-5>。恒成立,若函数/0)=\ex-黄|(e为自然对数的底)在区间［0,1］上单调递增，

则/'(x)>0恒成立，

若m>0,则短+黄>0为增函数，若函数/(%)=|靖-引(e为自然对数的底)在区间［0,1］上单调递

增，则蜡—£20在区间［0,1］上恒成立.

本题考查的知识点是函数的单调性的性质，指数函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档.

12.答案：B

解析：解：,；％>0,y>0,%+y=5xy<(等>=B

又Igx+Igy=lg(xy)<1g(等产=lg^=lg婴=2—41g2,

故选B.

由已知条件，可以得至Uxyw(等/=彳，从而得出1g(孙)的最大值.

本题主要利用均值不等式求解对数函数的最值问题，属于基础题.

13.答案：9

解析：解：/(X)=|吗3"1|=log3x-2,

由log3*-2=0,解得％=9.

则广1(0)=9.

故答案为：9.

/■(%)=，笠"=log3x-2,令log3X-2=0,解得力即可得出.

本题考查了反函数的求法及其性质、行列式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

14.答案:2

解析：解：：幕函数/(x)=(m2-3m+3)”2-加1在(0,+8)上单调递增,

•••m2—3m+3=1,且—m—1>0,

解得zn=2,

故答案为：2.

由题意利用幕函数的定义和性质，可得m?-36+3=1,m2-m-1>0,由此求得m的值.

本题主要考查累函数的定义和性质，属于基础题.

15.答案：一炉+2x2

解析：解：若x>0,则一X<0,

则f(—久)=—%3+2x2,

f(x)是偶函数,

：•f(-x)=/(x),

即/(—x)=—x3+2x2=f(x),

得f(x)=-%3+2%2,(%>0),

故答案为：—婷+2%2

根据偶函数的性质，利用对称性进行转化求解即可.

本题主要考查函数解析式的求解，结合偶函数的定义和性质进行转化是解决本题的关键.

16.答案：logz3

解析：解：令t=23贝亚>0,

y=f(x)=t2—t—6,

令/t-6=0,

解得：t=3,或t=-2(舍去)，

由2*=3得：x=log23,

故答案为：log23

令t=2，贝>0,y-/(x)=t2-t-6,令t：2-t-6=0,解得答案.

本题考查的知识点是函数的零点，换元法，指数方程的解法，属于基础题.

17.答案：?

6

解析：解：由题意可得X=1-tan2^,y=2tan^,

y2tan—7T

••・tana=-_______12=tan-=V3

X1-tan2—63

12

v0<a<7T,

a=-71

6

故答案为：76

利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式可求tana的值，再结合a的范围即可得解.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式的应用，属于基础题.

7

18.答案：-g

解析：由一与4<。,可知sin%<0,cosx>0,所以s讥％-cos%<0,又sinx+cosx=!且

.2；24

anx+cos工=1得2s讥％cos%=一左

贝ijOsinJC—COSJ^2

=(sinx+cosj^2—2sinxcosx

=1—2sinxcosx

24

=1+玉

49

=运，

77

贝Us讥1—cosx=——,故填一g.

19.答案:解：(I)原式=1g22+(1-⑷2)(1+匈2)-1=lg22+1-1g22-1=0

(n)原式=(21x32)6+(2i)5-1

=22x33+2-1=109.

解析：考查学生灵活运用对数运算性质来化简求值，学会利用幕的乘方法则对分数指数进行化简计

算.

(I)利用对数的运算性质/ga-b=lga+Igb化简得到.

(口)把底数写成乘方的形式，然后根据累的乘方的运算法则化简可得值.

20.答案：解：(1)•.•全集U={1,2,3,4},B={1,4},

CuB={2,3}；

(2)A=[1,2,x2},B={1,4},且4ClB=B,

x2=4,

则x=±2；

(3)ra={1,2,/},B={1,4}<且AUB=U,

•••x2=3,

则x=±V3.

解析：Q)根据全集U及以求出B的补集即可；

(2)根据4与B的交集为B,得到B为4的子集，求出支的值即可；

(3)根据4与8的并集为U,求出x的值即可.

此题考查了并集及其运算，以及补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

21.答案:解：⑴设函数/(%)『/,a>0且a71,

把点(2,4),代入可得a?=4,求得a=2,

/(x)=2X.

(2)由以上可得f(0)=2°=1,/(—2)=2-2=1

/(4)=24=16.

可得2汽>一为+3,解得%>1,

故不等式的解集为(L+8).

解析：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，利用函数的单调性解不等式，属

于基础题.

(1)设函数/(无)=a”,a>0且a。1,把点(2,4),求得a的值，可得函数的解析式.

(2)根据函数的解析式求得/(0)、/(-2)、”4)的值.

(3)画出指数函数y=f(x)的图象，由不等式f(2%)>/(—%+3),可得2尤>—x+3,由此解得％的范

围

22.答案：解：va=(x,2x),b=(-3x,2).

解(1)若行为单位向量，

•••|a|=V%2+4x2=1，