2022-2023学年甘肃省平凉市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022-2023学年甘肃省平凉市成考专升本数

学(理)自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.函数y=6sinxcosx的最大值为()。

A.lB.2C.6D.3

2.

(8)设=

⑶/(B)n!(C)el(D)雇号”

3.下列各式正确的是

A.cos2<sinl<tann

B.cos2nn<cot^°<sinl

C.cosl<cos2<sinl

D.cos2<cosl<cotn0

4.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,则点P坐标是

()

A.A.(9,6)B.(9,±6)C.(6,9)D.(±6,9)

5.以「--I=，］的两个根的平方为根的一元二次方程是

A.J2—11x4-1=0

B.j-2+«r-1]=o

C.-11j--l=o

D.z?+H+1=0

6.设m=sina+cosa,n=sina-cosa,贝！)m2+n2=()

A.A.2B.cosaC.4sin2aD.2sin2a

7

A.x+y+2=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.x-y-2=0

8.设一次函数的图象过点(1,1)和(-2,0),则该一次函数的解析式为

()

A.A.y=(l/3)x+(2/3)B.y=(l/3)x-(2/3)C.y=2x-1D.y=x+2

设二次函数/Q)=/+”+q的图象经过点(1,一4)且/(2)=-4/(4),则该二次函数

9.的展小伍为()

A.A.-6B.-4C.OD.10

(3)下列函致小，偶函效是

⑸y=3"

(C)y=1*sinx(D))=Unx

函数y=(cos2x-sin、)•tan2z的最小正周期是

(C)2ir(D)41T

12.

(17)某人打靶，每枪命中目标的慨率都是0.9,则4枪中恰有2枪命中目标的概率为

(A)0.0486(B)0.81

(C)0.5(D)0.0081

13.已知偶函数y=f(x)在区间［a,b］(0<a<b)上是增函数，那么它在区间［-

b,-a］上是()

A.增函数B.减函数C.不是单调函数D.常数

设A,£为桶眼费=1的焦点J为确喝上任一点,则的周长为

()

(A)16(8)20

14.(C)18川小、能确定

15.直线&与'：3z+2Iy—12=0的交点在.轴上，且丁_L%则「在y轴的

截距是()

A.-4B.-8/3C.4D.8/3

把曲线X+2y-l=0先沿x轴向右平移/单位，再沿y轴向下平移I个单

16.得一得列的曲线方理星()

A.(1■,)&«♦2,-3=0B.(y-l)tuuf2y-3»0

C.*2/+1=0D.-(y♦l)sinx*2y♦l»0

18.过点(2,-2)且与双曲线xZ2y2=2有公共渐近线的双曲线方程是()

A.-x2/4+y2/2=l

B.x2/2-y2/4=l

C.-x2/2+y2=l

D.-x2/4+y2/2或x2/2-y2/4=l

19.(14)过点(1,2)且与直线2z+y-3=0平行的直线方程为

(A)2x+y-5=0(B)2y-x-3=0

(C)2x+y-4=0(D)2x-y=0

20.

第10题已知圆锥高为4,底面半径为3,则它的侧面展开图的圆心角的

大小为()

A.2700B.2160C.1080D.900

的反函数为袁与

21.已知函数f(x)JC+c则()

A.a=3,b=5,c=-2B.a=3,b=-2,c=5C.a=-3,b=-5,c=2D.a=2,b=5,c=-3

函数/(x)=l+cosx的最小正周期是

(A)-(B)n(C)-it(D)2H

22.22

已知向量a=(-3,m),b-(n,l),且。=则m,n的值是

(A)m=3,n=l(B)m=-3tn=1

(C)m==-6(D)m=-6,n=--

23.

(15)设&为任意角.财图，♦/-2<e«6-4?in&,0的的心物量是

24.(A)ltt(B)H(C)f|H(D)双・*

在正方体中/C所在直线与BG所在直线所成角的大小是

(A)30°(B)45°

25.960。(D)90°

26.设函数+2)=2,2—5,则f(4)=

A.-5B.-4C.3D.1

27.

(D集合4是不等式3N+1N0的解集,集合＜1],则集合4r18

(A)jxl(B)jxl-J^X<1|

(C)|xl-1<E|(D)|«l-J<X<1|

(2sinz-3cosx)9等于

(A)—2coax+3sinx(B)-2cosx-3sinx

28.(C)2coaz+3sinx(D)2co&x-3sinx

29.过点P(2,-3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()

A.x+y+l=0或3x+2y=0

B.x-y-l=O或3x+2y=0

C.x+y-l=O或3x+2y=0

D.x-y+l=O或3x+2y=0

到笫之JWI足破时的X值是、'()

二、填空题(20题)

31.已知ij,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k则a*b=

已知陵机变fitg的分布列是

4-1012

2

P

346彳

32.""-----------"

在5个数字1,2,3,4,5中，陶机取出Y个数字，则剃下两个数字是寄数的事率是

33.

34.过点M(2,-1)且与向量a=(-3,2)垂直的直线方程是

35.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

36.

(20)从某种植物中的机抽取6株,其花期(单位：天)分别为19,23,18,16,25,21,则其样

本方差为_____•(精确到0.1)

37.已知ij,k为单位向量且互相垂直响量a=i+j,b=-i+j-k,则axb=.

38.函数f(x)=x2+bx+c的图像经过点(-1,0),(3,0),则f(x)的最小值为

39.

为了检查一批零件的长度，从中抽取10件,量得它们的长度如下(单位：

mm):22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.32

22.35则样本的平均数(结果保留到小数点第二位)为这组

数据的方差为

40.已知正方体的内切球的球面面积是s,那么这一正方体外接球的球面

面积是______■

(工一工)，展开式中，d

41.石的系数是

AB+AC+CB~BA=

42.___

43.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

44.**瓜。忑-历ft等比数列，则a=

45.函数/(x)=2xJ-3xJ+l的极大值为_________

(19)link二=___________?

46.''2x+l

某射手有3发子弹，射击一次.命中率是。8如果命中就停止射击，否则一直射到

47.子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是--

48.

已知/(工)=17(<2>0.。#1).且/(lo410)=：•则。==_______________

49.抛物线x2=-2py(p>0)上各点与直线3x+4y-8=0的最短距离为1,则

50.设离散型随机变量g的分布列如下表所示，那么《的期望等于

1009080

P0.20.50.3

三、简答题(10题)

51.

(本小题满分13分)

巳知函数/(z)-x-2-Jx.

(1)求函数y的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是底函数;

(2)求函数y=/(x)在区间［0,4］上的最大值和最小值.

52.

(本小题满分12分)

已知叁数方程

x=-^-(e,+e-')cosd,

y=e—e-1)sinft

(I)若，为不等于零的常♦，方程表示什么曲线？

(2)若伙80y.iwN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

53.(本小题满分12分)

设两个二次函数的图像关于直线x=l对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

54.(本小题满分12分)

已知居,吊是椭圆近+［=1的两个焦点.尸为椭画上一点,且/.八/肛=30。,求

dPF\F、的面积.

55.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

56.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

(I)求d的值；

(H)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中,102为第几项？

57.(本小题满分12分)

已知点在曲线上.

(I)求力的值；

(2)求该曲线在点,4处的切线方程.

58.

(本小题满分13分)

2sin0cos0+—

-号］

⑴求/华)；

(2)求的最小值.

59.(本小题满分12分)

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

60.

(本小题满分12分)

已知函数/(x)=tTnx,求(1)〃幻的单两区间；(2)〃x)在区间上的最小值.

四、解答题(10题)

61.已知正六棱锥的高和底的边长都等于a

(I)求它的对角面(过不相邻的两条侧棱的截面)的面积、全面积和体

积；

(II)求它的侧棱和底面所成的角，侧面和底面所成的角.

62.

设神园E昌+g-1(00)的左、右焦点分别为Fi和F：.直线/过E且斜率为年，

a2b

A(xe.>„)(>.>0)为，和E的交点.AF?1RR.

(I)求E的离心率；

(II)若E的焦距为2,求其方程.

已知函数，#)=X+—.

X

(1)求函数人外的定义域及单调区间；

(2)求函数/«)在区间［1,4］上的最大值与最小值.

63.

已知△.48C中，/=30°,BC=\,AB=j3AC.

(1)求出

64II，求八1〃。的而积.

65.已知函数f(x尸x+(4/x)

(I)求函数f(x)的定义域及单调区间；

(II)求函数f(x)在区间［1,4］上的最大值与最小值

已知数列｛”")的前”项和S”=/一2”.求

(DQJ的前三项；

KK(n)uj的通项公式.

67.甲2010年初向银行贷款10万元，年利率5%(按复利计算(即本

年利息计入次年的本金生息))，若这笔贷款分10次等额归还，从

2011年初归还x万元，设2011年、2012年...2020年的欠款分别为

乃。必、…如'试求出a.eq，推测a10并由此算出*的近似

值(精确到元)

68.已知正圆锥的底面半径是1cm,母线为3cm,P为底面圆周上-点，

由P绕过圆锥回到P点的最短路径如图所示，由顶点V到这条路线的

最小距离是多少？

6%(23)(本小・清分12分)

如图,已知正三极傅P-48c中,△/M8为等边三角形.£/分别为PA,PB的中点.

(I)求述PCJ.EFi

(II)求三检俄P-EFC与三梭值P-ABC体积的比值.

三+二=]

70.已知椭圆】69，问实数m在什么范围内，过点(0,m)存在两条

相互垂直的直线都与椭圆有公共点。

五、单选题(2题)

r"，|，”0；屉开式中的常数项是（）

71.

A.A.

B.

C.

D.（：

72.方程2sin2x=x-3的解（）

A.有1个B.有2个C.有3个D.有4个

六、单选题（1题）

73.设甲：函数：y=kx+6的图像过点（1,1）,

乙:k+b=l,

则

A.甲是乙的充分必要条件

B.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

C.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

参考答案

1.D该小题主要考查的知识点为函数的最大值.【考试指导】=6sinxcosx

=3sin2x,当sin2x=1时y取最大值3.

2.D

3.D

选项A错，因为cos2V0,（2W第二象限角）因为sinl>O,（l£第一象限

角）因为tan7r=0,所以tamrVsinl选项B错因为cos2nn=l,

8m。=813.14。>0,1〈813.14。<+00,1>4111>0代0m。>51111.选项C错，

因为cos2V0,cosl>0.所以cos2<cosl选项D对，因为cos2<0,0<

cosl<1,1Vcot兀。V+oo,所以cos2<cosl<cot?r°

4.B

抛物线Vs=4了的焦点为/•'（1.0）•设点P坐标是（z.y）.则有［

解方程组，得了=9.、，=士6.即点/,生标是（9,士6）.（答案为B）

5.A

设/-3i—1=0的两根分别为

4,工？，则由根与系数的关系得M+工2=3,

工5=—L

又所求方程的两根为X；.冠，

则Jt\+X1=（X|+工2）'-21112=11,4=

（X|=

求方程为xl—11x4-1=0.

所以圆的圆心为（1,-2）

6.A

7.A

抛物线./=-8、的焦点为F（0,-2）,直线斜率为上=的学=-1,

4

所求直线方程是丫+2=一（工一0）,即工十丫+2-0.（若案为A）

8.A

9.B

j】+/+q=4,

”+q=-5.

由题意，有J

ig(16+4»+g)(即I.

Jl+2p+q-V|llp+4g=—34■

解用户=-2或=一3,则二次函数/Gr尸/-2N—3=

该二次函数的最小值为-4.（答案为B）

10.A

ll.B

12.A

13.B

由偶函数的性质，偶函数在［a,b］和［-b,-a］上有相反的单调性，可知，

y=f(x)在区间［a,b］(O<a<b)是增函数，它在［-b,-a］上是减函数，此题考查

函数的性质。

14.C

15.B

VZ,n/2,3H+2y-12=0在x轴上

点坐标为（4.0）.

42

因・札=-1"・砥=仔，

2,

g.3^-0=­（x-4）•

_28

V-TXT*

16.C

C*析击原力15整理为;,=二一四为要将徐越峻向右.自卜分)K和动亨个单位和I个隼々.因此

可谓------5----------I为所求力礼笠理得i,・l)Wu，2y”=0.

2♦OM(X-y)

17.C

18.A将双曲线方程化为标准式方程.如图

2t

j.»—2y2=2-专—Y，b=1•可知焦点在二轴上,渐近线方

程为~=±=±51=士g”•诊所求戏曲线,标准方程为:方一

J«722

W=】，由已知可知渐近歧方程为y-士菖工=士§工，设“=々八"=

b04

2人，又过矗《2,一2》,

(一2尸22=1,所以所求双曲彼

将(2.-2)代入方程可1-*面）2J

(vZ)h

标泄方程为：，一1二1.

20.B

21.A

22.D

23.C

24.C

25.C

26.B

方法一是利用凑配法，就是将函数的解析式写成关于(x+2)的函数式

方法二是常用的换元法，然后求函数值

方法一：*.'/(x+2)=24-2—5=2"+2>-4一5

二/⑺=2—5,

则/(4)=24-4—5=20—5=—4.

方法二：令］+2=九则z=2—2,

/⑷=2一，一5=2°—5=-4.

27.B

28.C

29.A若直线在两坐标轴上截距相等，将直线方程转化为截距式容易判

别.选项A对.选项B错，直线x-y-l=O不过点(2,-3).选项C错，直线

x+y-l=O不过点(2,-3).选项D错，直线x-y+l=O不过点(2,-3).

30.D

31.答案：0解析：由向量是内积坐标式，坐标向量的性质得：

j一公=],i,j~j•k~i•k=0

e=i+j,b=T+j_k,得;

a*b七

=~i2+j2

=~1+1

=0.

32.

3

33.

H桥J一字中共有三个有数.若■下两个是奇数局・法为U*◎的取gc；种，好所求!■

工

"己to

34.

设PGr,>>为所来直城上任一点，则防=Gr-2,y+D.因为前_L%

则MP•a=(i-2,y+l)•<-3.2)=-3(x~2)4-2(>4-l)=0.

即所求直线的方程为3a•-2y—8^0.(答案为3H—2、-8=0)

35.

,・《731J3

•S「a•ya•彳彳0t•

由题毒如正三M钵的侧横长为噂•八

・•・（华）'-（华・+）",

旦Q・•/=展一等"7、号/邛。=祭.

24

(20)9.2

36.

37.0由向量的内积坐标式，坐标向量的性质得i2=j2=k2=l,ixj=jxk=ixk=0,

Va=i+j,b=-i+j-k得:axb=(i+j)(-i+j-k)=-i2+j2=-l+l=0.

38.-4

由于函数开口向上，故其在对称轴处取得最小值，又函数过点(-1,

T+3

0),(3,0),故其对称轴为X=fmin(l)=l+b+c,而式-1)由1-

b+c=0,f(3)=9+3b+c=0,得b=-2,c=-3,故fmin(1)=123=4

39.

40.

设正方体的梗氏为明因为正方体的校长等•干正方体的内切球的直径.

所以有(胃)=6.即a'=3.

因为正方体的大对角线伍a等于正方体的外接球的直径，

所以正方体的外接球的球面面积为4K,(空)=3E，=3*•一=3S.(答案为3S)

41.答案:21

设(了一白”的展开式中含小的项

y/JC

是第r+1项.

7rr

VTr+I=Qx~(-^).(-zT)r

=G(-

令7—r—看=4=＞厂=2,

Li

c・(-i)’=a•(-1)2=21,.•.1!’的系数

是21.

42.

【答案】3AB

AB+AC+CB-HA

AB+AB-BA

=2AB4-AB=3AB.

43.

设正方体的极长为工,6/=G,z=隹，因为正方体的大对角线为球体的直径，为

v6

=尊%即一%,所以这个球的表面积是S=4/=4x•佟)'=豺.(答案为加)

44.

45.

(19)；

46.J

471.216

48.

由/(lo&10)=a鼠"7="*<«：'•=¥=".得a=20.(答案为20)

49.

色

*3

50.

答案：89解析：E«)=100*0.2+90*0.5+80*0.3=89

51.

(I)/(x)=1令/(工)=0.解得X=l.当#e(0,l)./(x)<0；

</*

当MW(l.+8)J'(X)>0.

故函数f(N)在(01)是减函数，在(1.+8)是增函数・

(2)当X=1时4幻取得极小值.

又/(0)=0,川)=-1.<4)=0.

故函数/Tx)在区间［0,4］上的最大值为0.最小值为-L

52.

(1)因为"0,所以e'+e'~0,e'-e'yo.因此原方程可化为

1.产；=C08g,①

e'+e'

:立,=sin。.②

,e-e

这里e为参数.①1+②1,消去参数优得

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

(2)由"竽,&eN.知Z-0,曲"0.而，为参数,原方程可化为

ue得

cos6sin6

因为2e'e'=2J=2,所以方程化简为

/尸.

施一3L

因此方程所表示的曲线是双曲线.

证由知，在椭圆方程中记”=时受

(3)(1)a-54工4

则C-6、1,c=I,所以焦点坐标为(士1.0).

由(2)知.在双曲线方程中记a'=8B，.炉=如匕

-则J=『+/=l,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(I)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

53.

由已知，可设所求函数的表达式为y=(工-刖)'+人

而,=』+2工-1可化为y=(x+l)'-2・

又如它们图像的顶点关于直线x=1对称，

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为y=(-3)'-2,即…'-6x+7.

54.

由已知.棚圈的长轴长2a=20

设IPFJ,由椭圆的定义知,m+n=20①

又J=100-64=36,c=6,所以F,(-6,0),月(6,0)且1储51=12

Jao3

在APF\F)中,由余弦定理得m+n-2mnc(M30c12

+/-Qmn=144②

w*42mn+n2=400,③

③-②♦得(2♦万)mn=256,nm=256(2-场)

因此的面积为:mnsiiBO。=64(2-B)

55.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

56.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dtQ,Q+d,其中a>0,d>0,

则(a+d)2=a2+(a-d)L

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=yx3dx4J=6,d=l.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d=1.

(11)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

am=3+(n-l),

3+(几-1)=102,

n=100,

故第100项为102.

57.

（1）因为;=7■匕，所以%=

（2）y'=-G，y'L=d

曲线,=」t在其上一点（1.；）处的切线方程为

x♦12

y-4'=_-1）,

}24'

即x+4—3=0.

58.

3

1+2«indco8^4--

由题已知=.="三J-

sin®♦co-

令二=sin0+cos^.得

!

{9)=x丁+y"+五,=〔&-得R『+2后・得«-

后

=［春■+而

由此可求得4至）最小值为而

59.

(I)设所求点为(q.").

y*=-6x+2,y,|=-g)+2

由于*轴所在H线的斜率为。.则-&。+2=0.%=/

1.113

+2+4=

因此y0=-3,Cy)*yy-

又点("号不在,轴上，故为所求.

(2)设所求为点

由(I),川=-6x0+2.

I•・4

.

由于‘=幺的斜率为1.则-6%+2=1,与=不・

因此九=-3々+2・/+44

又点(看为不在直线y=x上'故为所求.

(I)函数的定义域为《0,+8).

/(*)=1-p令/(*)=0阀x=l.

可见,在区间(0.1)上JU)<0;在区间(I.+8)上J(x)>0.

则/(外在区间(01)上为减函数;在区间(I.+8)上为增函数.

(2)由(I)知，当x=l时4工)取极小值,其值为人1)=1-Ini=

又/(；)=；-In3=；+ln2J(2)=2-Ln2.

itX//

60由于In&<In2<Inr.

W1<ln2<l.W/(y)>K1)/(2)

因0(x)在区间i：.2］上的最小假娃1.

61.

ftiEAM**sABCDrr.9OWA.XK»・SKFn•・♦■・AC.AD。

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mZSICA於打空

62.

<I）由题设知ZSABF:为直角三角形，且

tanZAFjF；?.设焦距IBH卜=2c,则

IAF,|--|c,|AF||«J.

2a=|AF1|4-|AFt\=4c.

所以离心率

一£=£=-L（7分）

a2c2,

（II）若2c=2.则c=1,且&=2.

62=*a2—c2—3,

椭圆方程为W=1.

（13分）

43

4

解（I）函数/（X）的定义域为｛xeRIxROI/（X）=1-p-

令/（%）=0,解得巧=-2,♦=2.

当X变化时/（*）/（*）的变化情况如下表：

X(f-2)-2(-2,0)(0,2)2(2,+8)

r（«）0--0*

心/-44Z

因此函数/G）=了+彳（工#0）在区间（-8,-2）内是增函数，在区间

（-2,0）内是减函数,在区间（0,2）内是减函数,在区间（2,+8）内是增

函数.

（2）在区间［1,4］上，

当工=1时/（G=5,当工=2时/（工）=4；当x=4时J（x）=5,

因此当1WXW4时,4句（工）W5.

63.即/（X）在区间［1,4］上的最大值为5,最小值为4.

64.

解：（I）由余弦定理BC2=Aff3+ACi-2xABACcosA.

……4分

又已知4=30。,BC=1,AB=&C,得“'=1，所以，C=1.从而

AB=6......8分

(II)△ABC的面枳

2

65.

*；“：江，fix'Ue»|x>ol

f'4x:

（B）=0.*图

。♦变比时，，，的变化E丞的下X：

1一3•-2)一2・2.0)iO二2e*48〉

『&)—01

|flx)*•

T*、4

因此化W——区if);-8,-2)T崛，在区rtR-2.。)尸僵Mti

，.在区值■:o,2，i”果在区间⑵~“M逐*J*

(H)在区间il.4】h

当*1时,f(a)=5.当K=2B?f1x)=4,*«=4时1)=&

因I比当】W7W4±.4Wf，：”W5.

即f&：&Ei£：i<4]Jr*代值为5.岁•/fi•*!4.

66.

（1）因为S"="2—2〃,则

q=Sj=-1,

"=s2—a（=22-2X2—（—1）=1,