四川省遂宁市2024届高三第三次诊断考试数学理科试题含答案

遂宁市高中2024届三诊考试数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3．考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知复数，则A．B．C．D．3．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是A．B．C．D．4．设双曲线（）的渐近线方程为，则实数的值为A．6B．4C．3D．25．某公司研发新产品投入（单位：百万）与该产品的收益（单位：百万）的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额与收益满足回归方程，则下列结论不正确的是5689121620252836A．与有正相关关系B．回归直线经过点C．D．时，残差为0.26．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，，，则 B．若，，，则C．若，为异面直线，，，则D．若，，则与所成的角和与所成的角互余7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数都有.当时，.则的值为A．0B．1C．D．8．已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则A．是偶函数B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．不等式的解集为9．若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是A．或B．C．D．10．在中，分别是角的对边，若，则的值为A．2023 B．2024C．2025 D．202611．已知正四面体的棱长为4，动点满足,且，则点的轨迹长为A．B．C．D．12．过抛物线的焦点作直线，与交于两点（点在轴上方），与轴正半轴交于点，为中点，且，又点，曲线上任意一点满足，过定点的直线与抛物线和曲线的四个交点从上到下依次为，则的最小值为A．8B．12C．13D．14第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．已知平面向量，，若向量与共线，则14．已知实数满足约束条件，则的最大值为15．已知圆上一点，现将点绕圆心顺时针旋转到点，则点的横坐标为16．已知函数,若的最大值为，则实数的取值构成的集合为三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.17．（12分）某工厂为了检查一条流水线产品的某项指标值K，随机抽取流水线上的20件产品作为样本测出该项指标值K，指标值K的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）．（1）估计该产品指标值K的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）在上述抽取的20件产品中任取2件，设为指标值超过65的产品数量，求的分布列与数学期望.▲18．（12分）中，,，为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.▲19．（12分）已知点集，其中，点为与轴的公共点，等差数列的公差为1．（1）求数列的通项公式；（2）令数列，记数列的前项和为，是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.▲20．（12分）已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若方程在上有两个不等实数根，求实数的取值范围.▲21．（12分）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，且椭圆上的点到焦点的最远距离是.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于两点，若中点坐标为，求直线的方程;（3）设直线不过坐标原点且不垂直于坐标轴，直线与交于两点，点为弦的中点．过点作直线的垂线交椭圆于两点，为弦的中点．直线与直线交于，若，求的最大值．▲选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及直线的直角坐标方程；（▲（10分）已知关于的不等式有解.（1）求实数的取值范围；（2）若均为正数，为的最大值，且.求证：.▲

遂宁市高中2024届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（12×5=60分）123456789101112BDBACCDBACDD13．14．315．16．三、解答题（共70分）17.解：（1）该产品指标值K的平均值：.........5分（2）指标值K超过65的频率为..............................................................................6分20件产品中指标值超过65的件数为：件...........................................7分,,所以，分布列为X012P...........10分................................................................12分18.

解：（1）证明：所以................................................2分所以，因为，,所以，.........4分因为，面PAD面ABCD，面ABCD，面PAD面ABCD=AD所以，面PAD，所以，.............................5分OMEOMEEOABCDOE（2）由（1）知，因为，又所以，面ABCD........................................................................7分法一：连接AC,取AC中点O,则,所以面ABCD作,垂足为E,连接ME,则为二面角的平面角...........................................................................................................................................9分因为，，所以，,所以，，所以又,所以,所以.........12分xZ法二：xZ在面ABCD内作,以AB、Ay、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系易知面ABCD的法向量为.....................................8分因为，所以，,设面MAD的法向量为，所以，.................................................................10分...............................................................12分19．【详解】（1）由，得，直线.................................................................................................................1分，即..............................................................................................3分由等差数列的公差为1，得.........................................................................................................................4分..........................................................................................................5分（2）设................................................................6分则.............................................................................................7分............................................................8分，.................................................................................................................9分恒成立，且....................................................................................................................11分存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为3..12分20．（1）.............................2分所以，，又，切点所以，切线方程为：.....................................................................................4分（2）方程有2个不等实数根函数有2个零点，因为，所以，.................................................................................................6分令，得①当时，，单调递增，单调递减，单调递增所以，在处取到极大值，在处取到极小值，要使有2个零点，须所以，...............................................................................................................8分②当时，，单调递增，所以至多一个零点，不合题意.......................................................................................................................9分③当时，，单调递增，单调递减，单调递增求得，在处取到极小值，在处取到极大值，要使有2个零点，须所以，.（舍去）..........................................................................................11分综上，的取值范围为，....................................................................12分21．解：（1）由题意........................................................................2分故，所以椭圆C的标准方程为...............................3分（2）由题意得，直线的斜率存在,设，则，两式相减得.......................................4分所以，因为中点坐标为在椭圆内部，所以.......................................................................................................................5分故直线的方程为........................................................................................6分（3）因为直线不过坐标原点且不垂直于坐标轴，所以．设点，所以,由题意得，，相减得.................................................7分所以，所以，所以.....................................................................................................................8分所以，

同理得，，又，相乘得，，

因为，所以，

则的方程为，直线DE的方程为,直线ON的方程为......................................................................................9分联立得，，

故.........................................................................10分又.........................................................................................11分当且仅当即时取等号，又，即当且仅当时取等号，所以，故的最大值为...........................................................12分22．（1）由题意得，曲线，即，曲线C的极坐标方程为.............................................................2分直线l的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为.......................................