1991考研数四真题及解析

文档文档/文档1991年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)设则________.(2)设曲线与都通过点且在点有公共切线,则________,________,________.(3)设,则在点________处取极小值________.(4)阶行列式________.(5)设为随机事件,________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分；每一小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的圆括号内,每一小题选对得3分,不选或选错一律得0分.)(1)下列各式中正确的是()(A)(B)(C)(D)(2)设数列的通项为则当时,是()(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量(D)无界变量(3)设为阶方阵,满足等式,则必有()(A)或(B)(C)或(D)(4)设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是()(A)若仅有零解,则有唯一解(B)若有非零解,则有无穷多个解(C)若有无穷多个解.,则仅有零解(D)若有无穷多个解,则有非零解(5)设和是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()(A)与不相容(B)与相容(C)(D)三、(本题满分5分)求极限四、(本题满分5分)求定积分五、(本题满分5分)求不定积分六、(本题满分5分)已知,其中是和的函数.求证：七、(本题满分6分)假设曲线：、和轴所围区域被曲线：分为面积相等的两部分,其中是大于零的常数.试确定的值.八、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为和；销售量分别为和；需求函数分别为和.总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？九、(本题满分6分)证明不等式.十、(本题满分5分)设阶矩阵和满足条件.(1)证明为可逆矩阵(其中是阶单位矩阵)；(2)已知求矩阵.十一、(本题满分7分)设有三维列向量问取何值时,(1)可由线性表示,且表达式唯一?(2)可由线性表示,且表达式不唯一?(3)不能由线性表示?十二、(本题满分4分)已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,试求常数的值.十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.(1)求的概率分布.(2)求.十四、(本题满分7分)在电源电压不超过200伏、在200240伏和超过240伏三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,假设电源电压服从正态分布,试求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时,电源电压在200240伏的概率.附表：注：表中是标准正态分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】方法一：先求出两个偏导数和,然后再写出全微分,,所以.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算..(2)【答案】,,【解析】由于曲线与都通过点则,又曲线与在点有公切线,则,即,亦即,解之得,,.(3)【答案】；【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式可知,.对函数求导,并令,得,解之得驻点,且故是函数的极小值点,极小值为.(4)【答案】【解析】因为本题行列式中零元素较多,所以考虑将行列式按某一行或者某一列展开,达到降阶的目的.方法1：按第1列展开,有.方法2：也可以按第一行展开,有,对第二个阶行列式,按第一列展开有.所以.【相关知识点】行列式的性质：将行列式对任一行按下式展开,其值相等,即其中是中去掉第行第列全部元素后按原顺序排列成的阶行列式,它称为的余子式,称为的代数余子式.(5)【答案】【解析】由概率基本公式,有,故.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(A)【解析】由重要极限可知,极限,.而极限,令,则,所以.故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】由于为奇数时,(当时),为偶数时,(当时),所以当时,既不是无穷大量,也不是无穷小量,而是无界变量.故应选(D).(3)【答案】(C)【解析】由,用行列式乘法公式,有,所以,与这两个数中至少有一个为0,故应选(C).注意,若,,有,显然,.这里一个常见的错误是“若,,则”.要引起注意.(4)【答案】(D)【解析】仅有零解有唯一解现在的问题是由能否推导出？若是阶矩阵,结论肯定正确,那么矩阵呢？考察下面的例子：显然只有零解,而无解,可见(A)不正确.有无穷多解,因为,故必有非零解.所以(D)正确.故应选(D).【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,则有唯一解有无穷多解无解不能由的列向量线表出.2.对齐次线性方程组,有定理如下:对矩阵按列分块,有,则的向量形式为,那么,有非零解线性相关(5)【答案】(D)【解析】,如果,则,即与互不相容；如果,则,即与相容.由于、的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件一定可以表示为两个互不相容事件与的和.又因,从而,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把、互不相容等同于、相互独立而错选(C).,不相容,,均不为零,因此,即(C)不正确.用排除法应选(D).事实上,三、(本题满分5分)【解析】本题属型未定式极限.方法一：而,于是方法二：,而于是四、(本题满分5分)【解析】,因为积分区域关于原点对称,为偶函数,为奇函数,所以由定积分的性质可知,,所以.五、(本题满分5分)【解析】方法一：.方法二：令则.六、(本题满分5分)【解析】将两边同时对分别求偏导数,得,即.于是七、(本题满分6分)【解析】先求出曲线和的交点,然后利用定积分求出平面图形面积和,如图：由得所以,.又因为,所以,即,解得八、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为,总利润函数为.由极值的必要条件,得方程组即.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为方法2：两个市场的价格函数分别为,总收入函数为,总利润函数为.由极值的必要条件,得方程组因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当,即时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为.九、(本题满分6分)【解析】令,欲证不等式成立,只需证.方法一：利用单调性.由于,且,故,所以函数在上单调减少.又,于是有,所以.方法二：利用拉格朗日中值定理.令,所以在区间存在一点,使得,即又因为,所以,所以,即.十、(本题满分5分)【解析】(1)由,加项后因式分解得有,所以可逆,且,,.(2)由(1)小题得出.对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：,则求的伴随矩阵.如果,这样.再利用分块矩阵求逆的法则：,有,利用2阶矩阵快速求逆法得,再利用分块矩阵求逆的法则,得,故.注：由要证可逆时,因为满足关系式的矩阵不唯一,故应当用定义法.十一、(本题满分7分)【解析】设将分量代入得到方程组对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有、加到第二行和第三行上,有,再第二行加到第三行上,所以有.若且即且,则,方程组有唯一解,即可由线性表示且表达式唯一.若,则,方程组有无穷多解,可由线性表示,且表达式不唯一.若,则,方程组无解,从而不能由线性表示.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,则(1)有唯一解(2)有无穷多解(3)无解不能由的列向量线表出.十二、(本题满分4分)【解析】由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得.因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征值,且为相应的特征向量.本题中设是所属的特征值,即.于是,或.注：利用特征值、特征向量的定义来建立方程组,通过借方程组可求出参数.这种方法在以后的考试中多次出现.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.十三、(本题满分7分)【解析】(1)首先确定的可能值是,其次计算取各种可能值的概率.设事件“汽车在第个路口首次遇到红灯”,且相互独立.事件发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为.所以有则的概率分布为(2)离散型随机变量的取值为.所以其概率分布为由离散型随机变量数学期望计算公式,因为的概率分布已知,所以有.注：此题易犯的一个错误是将计算为,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯