不动点解特殊方程(含答案解析)

利用不动点法解特殊方程任何一个方程的求解都可以化为求某个函数的不动点间题．因为，任一方程总可以写成的形式，这里是x的函数，将变为等式，记，就能得到与的同解方程，从而将求的解变成求函数不动点的问题了．在解方程之前，我们往往先要了解方程解的情况，如果方程根本就无解，那么研究它的解法是没有意义的．另一方面，有些实际和理论问题的解决，只要求出方程的近似解，甚至并不需要对方程进行具体求解，而只要知道方程的解是否存在．举一个颇有影响的例子：公元1799年德国数学家高斯（Gauss）证明了“在复数范围内，n次代数方程：至少有一个根”．即著名代数基本定理．利用不动点理论，我们可以把方程的求根问题化为求函数的不动点问题，由于方程的根不可能超越复平面的某个半径很大的圆域，且函数显然是连续的．因此，在这个大圆域内运用布劳韦尔（Brouwer）不动点理论，知道至少存在一个，使，即，也就是说方程至少有一个根．可是，当时证明这个定理是艰辛的．也许上述这个例子较抽象．我们不妨来看方程（*）要判定它是否有解，用常规方法是难以奏效的．事实上，判定方程（*）是否有解，就是判定是否存在不动点．显然在时有意义，且时，．故，又因为当时正、余弦函数均为连续函数．所以也连续，由布劳韦尔不动点理论可知必有不动点，即方程（*）必有解．对于初等数学中的一类特殊的方程，下面我们在实数范围内，研究不动点与这类方程的求解问题．定理1．若函数的定义域为，值域为，且，则在上，函数的不动点也是其n次选代函数的不动点，即方程的解也是方程的解．证明：（1）当时，设函数的不动点为，即．因为，所以．所以成立．（2）设当时，命题成立．即．则当时，．所以当时命题也成立，综上，可知命题对均成立．例1．求方程的实数根．解：所以（*）令，显然，所以的不动点就是的不动点．即，的实根就是方程（*）的实根．解得．所以原方程的实根为．例2．解方程解：令，则设，则原方程为，因为的解为．所以的解亦为．所以原方程的解为．例3．解方程解：令，则原方程为，对于，易知．可知的不动点就是的不动点．所以解方程，得；（舍去）因而原方程的解为．例4．解方程解：原方程可化为令，故原方程为由，解得所以．因为，所以或．故原方程有四个实根，即．定理2．若方程的解集为N，的不动点集为M，则．证明：①若无不动点，则显然有．②若是的任一不动点，，则因为所以是方程的解．即．综上知有．事实上，定理2说明互为反函数的两函数图像的交点未必一定在直线上，如：函数与其反函数的图像的三个交点，其中只有点在直线．定理3．若函数在定义域内单调递增，则方程的解是函数的不动点．证明：①若方程无解，则由定理2可知，无不动点．②若方程有解，设是它的任一解，则．若，因在定义域内单调递增，则，这与假设矛盾．同理，也不成立，故，即为不动点．反之，若函数的不动点为，由定理2可知，是方程的解．例5．已知函数．解方程．解：因为，当时，单调递增，故只需解方程，解得．所以方程的解为．我们常把一些方程的求解问题化为不动点问题来考虑，有些方程还可用逐步通近来解，它是代数方程及计算数学中的重要方法，其主要思想是：若是实函数，要解方程，可将化为等价方程（即求的不动点）．由于该不动点不易求出，因此，我们考虑的递归数列．如果数列初始值，且数列有极限，即，当连续时，，所以，即方程的实根为，其中称为的n次近似根．例6．求方程的近似根．解：原方程可化为，两边同除得．令因为的不动点不易求出，考虑其递归数列设，因为．故取初始值．则，当时，，即所以，故方程的一个近似根为必须指出：若将方程化为，两边同除x得，令，则其通归数列当时，，我们发现（读者可在计算机上进行计算），当n越来越大时，不趋于任何一个常数．用数学语言说就是，数列是一个发散数列，这样就求不出原方程的根了．因此，如何构造递归数列，构造的递归数列是否有极限是关键的．【强化训练】1.解方程．【答案】.【解析】【分析】令，由不动点法解方程的定理，要求原方程的解只需求的解即可.【详解】设，则的不动点也是的不动点，所以方程的根是原方程的根，方程有唯一解，所以原方程的根为．2.解方程．【答案】.【解析】【分析】研究的不动点，可得原方程的部分解，进而知是的一个因式，应用因式分解得到其它因式并求解，即可得原方程的解.【详解】令，则．方程的解为，也是方程的解，所以多项式有因式，故，由，得，故原方程的根是．3.若，解方程．【答案】.【解析】【分析】根据的单调性与反函数的性质，转化为求的解即可.【详解】因为在R上单调递增，图象关于对称，所以图象交点就是图象交点，故方程的解就是方程的解，可得．所以方程的解为．4.求方程的正的近似根（精确到）．【答