2024年中考数学第一次模拟试卷（湖南卷）（全解全析）

年中考第一次模拟考试（湖南卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．有理数的相反数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可．【详解】有理数的相反数是，故选：．【点睛】此题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法对各选项进行判断即可．【详解】解：由题意知，，正确，故A符合要求；，错误，故B不符合要求；，错误，故C不符合要求；，错误，故D不符合要求；故选：A．【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法．熟练掌握积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法是解题的关键．3．一元一次方程不等式组的解在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：，由①得，−，由②得，，故原不等式组的解集为：．在数轴上表示为：故答案为：D．4．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的；由此问题可求解．【详解】解：选项A、B、D不能找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以都不是中心对称图形，而C选项可以找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以是中心对称图形；故选C．【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．5．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106【答案】A【分析】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，利用科学记数法的法则解答即可．【详解】解：7358万，故选：A．6．如图，的半径为5，弦，则的长为（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，由于于点C，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．【详解】解：∵，∴，在中，，由勾股定理可得：．故选：C．7．如图所示几何体的俯视图是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是：

．故选：D．【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．8．如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（）

A．众数是90分 B．方差是10 C．平均数是91分 D．中位数是90分【答案】B【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．【详解】解：A、∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；故此选项不符合题意；B、方差是：；故此选项符合题意；C、平均数是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此选项不符合题意；D、∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2＝90；故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差是解题的关键．9．如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作交于点N，若四边形的面积是4，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点O作，证明，进而得到四边形的面积等于正方形的面积，进而求出的长，即可得解．【详解】解：过点O作于点E，于点F，则：，∵四边形是正方形，∴，∴，四边形为矩形，∴四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴正方形的面积等于四边形的面积，∴，∴（负值已舍掉）；∴；故选：C．10．抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论①；②；③关于x的方程有两个不相等实数根；④当时，y随x增大而增大；⑤；⑥y的最小值为．其中正确的个数是（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查了的图象与性质，根据对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点，补全图象是解题关键．【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴，即：，故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，对称轴是直线，∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，补全图象如下：

∴当时，，故②正确；由图象可知：抛物线与直线有两个交点，故关于x的方程有两个不相等实数根，故③正确；由图象可知：当时，y随x增大而减小，故④错误；∵图象开口向下，∴∵，∴结合抛物线与x轴的两个交点范围可知，抛物线与轴负半轴相交，∴，∴，故⑤错误；由图象可知：y的最大值为，故⑥错误；故选：B第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．因式分解：．【答案】【分析】此题考查了多项式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．利用提公因式法和平方差公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．12．若在实数范围内有意义，则的取值范围是．【答案】【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意义则被开方数大于或等于零即可得出答案．【详解】解：在实数范围内有意义，故，解得：．故答案为：．13．圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的度数为．【答案】【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据题意得解得，即圆锥的侧面展开图的圆心角为．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数为．

【答案】/18度【分析】如图，过B作直线a的平行线，则直线，，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，过B作直线a的平行线，

∵直线，∴直线，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是．【答案】/【分析】利用方程有两个不相等的实数根时，，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．16．如图所示，在平行四边形中，点在上，且，则．

【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，设，，，则，利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数解决问题．【详解】解：设，，，则，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为:．17．《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出7钱，还差三钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，羊价为y钱，可列方程组为．【答案】【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”中的等量关系分别列二元一次方程，即可求解．【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y元，依据“若每人出5钱，还差45钱”得：5x+45=y，依据“若每人出7钱，还差3钱”得：7x+3=y，因此可列方程组为：，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为．【答案】/【分析】先设正方形的边长为x，再表示出，，然后说明∽，并根据对应边成比例得出答案.【详解】根据题意可知，．设正方形的边长为x，则，.∵四边形是正方形，∴．∵，∴∽，∴，即，解得.所以正方形的边长为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分）19．计算：【答案】【分析】直接利用零指数、绝对值、立方根、特殊角的函数化简计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数、绝对值、立方根、特殊角函数值，熟练计算．20．先化简，再求值：，其中．【答案】，．【分析】原式第二项变形后约分，然后通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式===当时，原式=.【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．

(1)求点距水平面的高度；(2)求广告牌的高度．【答案】(1)米；(2)广告牌的高度约为米．【分析】（1）在中，通过解直角三角形求出、即可；（2）过作于在解直角三角形求出的长，进而可求出即的长，在中，，则，由此可求出的长，然后根据即可求出广告牌的高度．【详解】（1）解：在中，∴，∴米；（2）过作于，如图所示：

由（1）得：米，米，中，，∴米，中，，米，∴米，∴米答：广告牌的高度约为米．【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．22．如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点．(1)求证：四边形为矩形；(2)连接，若，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）先根据平行四边形的判定，证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，证明即可；（2）根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果．【详解】（1）证明：由题意得，四边形是平行四边形，，点为中点，，即，四边形为矩形；（2）解：∵四边形为矩形，，∵点为中点，在中，，解得：在中，，故的长为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握定理与性质是解题的关键．23．为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．

(1)九年级（1）班的学生人数人，扇形统计图中%；(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为°；(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．【答案】(1)40，55(2)36(3)【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所占的百分数；（2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可；（3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解．【详解】（1）解：九年级（1）班的学生人数（人），投中2次的人数为：（人），扇形统计图中，故答案为：40，55；（2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：，故答案为：36；（3）解：画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种，，即恰好抽到一男一女的概率是．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表或画树状图法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图间的信息进行关联，掌握列表或画树状图法求概率的原理．24．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接．

(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求反比例函数的表达式；(3)求平移的距离及线段扫过的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)5，24【分析】（1）利用平移的性质，可得出，由轴且在轴上，可得出，结合，可得出，由，可得出，再利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可证出四边形为平行四边形；（2）连接，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出，结合，可得出三点共线，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出的长，结合，可得出点的坐标，再利用反比例函数系数的几何意义，可求出的值，进而可得出反比例函数的表达式；（3）连接，在中，利用勾股定理，可求出的长，由此可得出平移的距离为，由，可得出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段扫过的面积．【详解】（1）证明：由平移的性质，得：，轴，且在轴上，，．，，四边形为平行四边形；（2）解：连接，如图所示．

四边形为平行四边形，，又，四边形是平行四边形，，，三点共线．轴，在轴上，，四边形是平行四边形，．点的坐标为，，点的坐标为．点在反比例函数的图象上，，反比例函数的表达式为；（3）解：连接，如图所示．

在中，，，平移的距离为，四边形是平行四边形，，线段扫过的面积为．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：由平移的性质及平行线的性质，找出及；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点的坐标；（3）利用勾股定理及平行四边形的性质，求出的长及平行四边形的面积．25．如图，在中，，是的直径，交于点D，过点D的直线交于点E，交的延长线于点P，是的切线．

(1)求的度数；(2)若，，求图1中阴影部分的周长；(3)如图2，若，连接，交于点N，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角进行解答即可；（2）证明是等边三角形，可得，再由弧的长度，在中，求出，，则阴影部分的周长为；（3）连接，，过作于点，利用同弧所对的圆周角相等，得到，设，则，求出，由得：，证明，得出，即可求出．【详解】（1）解：∵是的直径，∴，∴．（2）解：连接，如图所示：

∵，∴，∵是的切线，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形．∴，∴弧的长度，在中，，，∴，∴，∴阴影部分的周长为：．（3）解：连接，，过作于点，如图所示：

∵，∴设，则，，由得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，切线的性质，弧长公式，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，三角形相似的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．26．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______．【深入探究】(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含