2019高考理科数学模拟考试试题(一)

2019高考理科数学模拟试题（一）

考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合

题意）

1.已知集合M={x|y=x2+1},N={yy=d},则MCN=（）

A.{（0,1）}B.{x|x>-1}C.{x|x「0}D.{x|x「l}

2.复数z=9zL的共辗复数的虚部为（）

1+i

A.-B.-3c.身D.反

2222

3.已知命题p：存在向量W，K使得「HEEL命题q：对任意的向量g

总3若丁岸23则拳3则下列判断正确的是（）

A.命题p\/q是假命题B.命题pAq是真命题

C.命题pV（-1q）是假命题D.命题p八（­'q）是真命题

4.2017年5月30日是我们的传统节日-端午节"，这天小明的妈妈为小明

煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A="取到

的两个为同一种馅"，事件B="取到的两个都是豆沙馅"，则P（B|A）=（）

A.3B.LC.D.A.

441010

5.已知锐角a的终边上一点P（sin40。，l+cos40°）,则a等于（）

A.10°B.20°C.70°D.80°

6.已知函数f(x)=lnx-xJ，若a=f(L>b=f(n),c=f(5),则()

x3

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

7.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间［15］内，则输入的实数x的

4

取值范围是（)

A.（-8,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+°0）

8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

俯视图

A（9+2兀）«R（8+2兀）病「（6+兀）愿n（8+H）V3

6666

'y>l

9.在约束条件y42x-4下，当6WsW9时，目标函数z=x-y的最大值的变化范

x+y<s

围是（）

A.[3,8]B.[5,8]C.[3,6]D.[4,7]

10.已知正实数a,b满足a+b=3,则1+4的最小值为（）

1+a4+b

A.1B.工C.旦D.2

88

11.已知aWR,若f（x）=（x+旦）ex在区间（0,1）上只有一个极值点，则a

x

的取值范围为（）

A.a>0B.aWlC.a>lD.aWO

22

12.设椭圆C：三_+工=1（a>b>0）的左、右焦点分别为％、F2,其焦距为2C,

2,2

ab

点Q（c,A）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PFi|+|PQ|V5|FIF21

2

恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（工，返）B.（1,返）C.（上，返）D.（2,返）

52423252

第H卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

JV

13.已知a=J2汗cosxdx，则二项式6告）6展开式中的常数项是_____.

--2Vx

14.函数f（x）=Asin（wx+（|））（A>0,co>O,0<4）<n）的图象关于y轴对称，

该函数的部分图象如图所示，^PIVIN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且

|MN|・|MP|=2点，则f（1）的值为.

产P

ZX.

oMNX

15.在平面直角坐标系中，有△ABC,且A（-3,0）,B（3,0）,顶点C到点A

与点B的距离之差为4,则顶点C的轨迹方程为.

16.一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体,

如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范

围是.

三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（12分）已知数列分J满足五=1,an+i=l--1-,其中n£N*.

4an

（I）设>=」一，求证：数列｛bj是等差数列，并求出｛aj的通项公式a*

2an-l

4a

（H）设Cn=",数歹MCnCn"的前n项和为心，是否存在正整数m,使得Tn

n+1

一对于nWN*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理

由.

18.(12分)从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的

成绩得到如图所示的频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；

(2)若用分层抽样的方法从分数在［30,50)和［130,150］的学生中共抽取6

人，该6人中成绩在［130,150］的有几人？

(3)在(2)抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在［130,150］内的人数为

求期望E(£).

19.(12分)如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtAABC所在平面，且

PA=AB=AC.

(I)求证：PA〃平面QBC；

(II)PQ_L平面QBC,求二面角Q-PB-A的余弦值.

22

20.(12分)已知椭圆C：工(a>b>0),圆Q：(x-2)2+(y-a)2=2

2,2

ab

的圆心Q在椭圆C上，点P(0,V2)到椭圆C的右焦点的距离为在.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P作互相垂直的两条直线li，12,且II交椭圆C于A,B两点，直线12

交圆Q于C,D两点，且M为CD的中点，求aMAB的面积的取值范围.

21.(12分)设函数f(x)=x2+aln(x+1)(a为常数)

(I)若函数y=f(x)在区间［1,+8)上是单调递增函数，求实数a的取值范

围;

(II)若函数y=f(x)有两个极值点xi，X2,且Xi〈X2,求证：0<——组—〈工•ln2・

X12

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22.(10分)直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极

轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为［x=4cos0,

［y=2sin。

为参数).

(1)在极坐标系下，曲线C与射线口射线e=工分别交于A,B两点，

44

求AAOB的面积；

(2)在直角坐标系下，直线I的参数方程为［『明；2t1为参数)，求曲线c

(y=t-V2

与直线I的交点坐标.

23.(10分)已知函数f(x)=2x+l|-12x-3|,g(x)=|x+l|+|x-a

(1)求f(x)21的解集

(2)若对任意的tGR,都存在一个s使得g(s)2f(t).求a的取位范围.

2018高考理科数学模拟试题(一)

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)

1.已知集合M={x|y=x2+1},N={yy=V7Tl}»则MCN=()

A.{(0,1)}B.{x|x^-1}C.{x|x20}D.{x|x>l}

【分析】求出M中x的范围确定出M,求出N中y的范围确定出N,找出两集

合的交集即可.

【解答】解：由M中y=x2+l,得至【」xGR,即M=R,

由N中y=«7I>0,得到N={xx，0},

则MANYXX»0},

故选：C.

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.复数Z=9zk的共匏复数的虚部为()

1+1

A.-由B.-3c.身D.A

2222

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出京答案.

【解答】解：•.NizMTG-i)=3-5i△莒「

1+i(l+i)(l-i)222

复数z=殳士的共规复数的虚部为反.

1+i2

故选：D.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

3.已知命题p：存在向量a，b，使得a，b=laeb1，命题q：对任意的向量a，

b-c-若则正；则下列判断正确的是()

A.命题pVq是假命题B.命题pAq是真命题

C.命题pV(­1q)是假命题D.命题pA(­1q)是真命题

【分析】命题P：存在同方向向量w,b,使得;•国,即可判断出真假.命

题q：取向量a=(1,0),b=(0，1)，c=(0，2),满足a・b=a・c,则bWc，即

可判断出真假.再利用复合命题真假的判定方法即可得出.

【解答】解：命题p：存在同方向向量a,b,使得a,b=Ial,IbN真命题.

命题q：取向量a=(1,0),b=(0，1)，cr(0，2),则a，b=c，b#c，因此

是假命题.

则下列判断正确的是：pA(「q)是真命题.

故选：D.

【点评】本题考查了数量积运算性质、复合命题的判定方法，考查了推理能力与

计算能力，属于基础题.

4.2017年5月30日是我们的传统节日-端午节"，这天小明的妈妈为小明

煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A="取到

的两个为同一种馅"，事件B="取到的两个都是豆沙馅"，则P(B|A)=()

A.刍B.LC.工D.且

441010

【分析】求出P(A)=包以上L,p(AB)=5且，利用P(BA)=「(杷),

10101010P(A)

可得结论.

【解答】解：由题意，P(A)4P(AB)=5_",

10101010

：.P(B|A)=F(AB)=员,

P(A)4

故选:A.

【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键.

5.已知锐角a的终边上一点P(sin40。，l+cos40°),则a等于()

A.10°B.20°C.70°D.80°

【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的

大小即可.

【解答】解：由题意可知sin40。>。，l+cos40°>0,

点P在第一象限，0P的斜率

tana-li£os40___l+2cos20_zl^cot20°=tan70°，

sin40°2sin20cos20

由a为锐角，可知a为70。.

故选C.

【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力.

6.已知函数f(x)=lnx-xJ，若a=f(L>b=f(n),c=f(5),则()

x3

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【分析】求出函数f(x)的导数，判断函数的单调性，从而比较函数值的大小即

可.

【解答】解：f(x)的定义域是(0,+8),

2

(XA)+3

f(x)

XX2X2

故f(x)在(0,+8)递减，

而5>n>—,

3

,*.f(5)<f(71)<f(力，

3

即c<b<a,

故选：A.

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题.

7.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间［卷，1］内，则输入的实数x的

取值范围是()

A.(-8,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+°0)

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算分段函数2]的函数值.根

,2,X€(-8,-2)U(2,+8)

据函数的解析式，结合输出的函数值在区间[],1]内，即可得到答案.

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算分段函数f(x)J2、'x£[-2,2]的函数值.

,2,X€(-8,-2)U(2,+co)

又•输出的函数值在区间[],寺]内，

Axe[-2,-1]

故选B

【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功

能是解答本题的关键.

8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()

俯视图

A（9+2兀）«R（8+271）73r（6+兀）gn（8+H）V3

6666

【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即

可.

【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成,

半个圆锥的体积为方X/XnXlxJ吟兀仃

四棱锥的体积为.X2X2X后争行

K

故这个几何体的体积V=I§t2<3.

6

故选D.

【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题.

'y>l

9.在约束条件yq2x-4下，当6WsW9时，目标函数z=x-y的最大值的变化范

x+y<s

围是（）

A.[3,8]B.[5,8]C.[3,6]D.[4,7]

【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x

-丫得丫=乂口,利用平移即可得到结论.

'y>l

【解答】解：约束条件y<2x-4对应的平面区域如图：（阴影部

x+yCs

分）.

由z=x-y得y=x-z,平移直线y=x-z,

s=6时由平移可知当直线y=x-z,经过点A时，

直线y=x-z的截距最小，此时z取得最大值，x-y取得最大值；

由（x+k6,解得人⑸1）代入z=x-y得z=5-1=4,

1y=l

即Z=x-y的最大值是4,

s=9时由平移可知当直线y=x-z,经过点B时，

直线y=x-z的截距最小，此时z取得最大值，x-y取得最大值；

由卜+k9解得B⑶1）代入z=x-y得z=8-1=7,

ly=l

即z=x-y的最大值是7,

目标函数2=*-丫的最大值的变化范围是：[4,7].

故选：D.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基

本方法.

M已知正实数a,b满足a+b=3,则去媪的最小值为（）

A.1B.工C.旦D.2

88

【分析】由已知可得且+l=i，代入」然后利用基本不等式求最值.

331+a4+b

【解答】解：•••a+b=3,

a,b4a,4b包住4a4b

—三工止占

4ab4afb

VTV^T

当且仅当(也Jk)=2(&•/)，即a=$，b=&时等号成立.

333333

故选：C.

【点评】本题考查利用基本不等式求最值，关键是掌握该类问题的求解方法，是

中档题.

11.已知aGR,若f(x)=(x+旦)ex在区间(0,1)上只有一个极值点，则a

x

的取值范围为()

A.a>0B.aWlC.a>lD.aWO

【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围.

【解答】解：:f(x)=(x+A)ex,

x

32

..」，(X)=(xj：..x+..ax-a.)ex?

x2

设h(x)=x3+x2+ax-a,

，h'(x)=3x2+2x+a,

a>0,hz(x)>0在(0,1)上恒成立，即函数h(x)在(0,1)上为增函数，

Vh(0)=-a<0,h(1)=2>0,

Ah(x)在(0,1)上有且只有一个零点xo，使得「(X。)二0,

z

且在(0,x0)上，f(x)<0,在(Xo，1)上，f(x)>0,

.••X。为函数f(x)在(0,1)上唯一的极小值点；

a=0时，xe(0,1),卜(x)=3x2+2x>0成立，函数h(x)在(0,1)上为增函

数，

此时h(0)=0,Ah(x)>0在(0,1)上恒成立，

即f(x)>0,函数f(x)在(0,1)上为单调增函数，函数f(x)在(0,1)

上无极值；

aVO时,h(x)=x3+x2+a(x-1),

Vxe(0,1),Ah(x)>0在(0,1)上恒成立,

即f(x)>0,函数f(x)在(0,1)上为单调增函数，函数f(x)在(0,1)

上无极值.

综上所述，a>0.

故选：A.

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分

析解决问题的能力，属于中档题.

22

12.设椭圆C：3T(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,其焦距为2C,

a2b2

点Q(c,A)在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PFi|+|PQ|<5忤抵|

2

恒成立，则椭圆离心率的取值范围是()

A.(L,返)B.(L,返)c.(L,返)D.(2,返)

52423252

2

【分析】点Q(c,A)在椭圆的内部，“〉包，PFi|+|PQ|=2a-PF2|+|PQ|,

2a2

由-IQFZI+IPQIW|PQ|-IPF2IWIQF21,1.|QF|=A,要|PF/+|PQ|<5FIF|

222

恒成立，即2a-|PF21+|PQW2a+且<5X2C.

2

2

【解答】解：•••点Q(c,A)在椭圆的内部，.•.">2,=>2b2>a2=>a2>2c2.

2a2

|PFi|+|PQ=2a-|PF2|+PQ|

又因为-|QF|+|PQ|^|PQ|.-|PF|^|QF|,且

2222

要住臼|+3（21]<5昨正2卜恒成立，即2a-IPF2I+IPQIW2a+且V5X2c

2

且<ioc，£〉工，则椭圆离心率的取值范围是（工，返）.

2a442

故选：B

【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键,

属于难题.

填空题（共4小题）

13.已知a=J2汗cosxdx，则二项式（x+V展开式中的常数项是

【分析】利用定积分求出a,写出展开式的通项公式，令x的指数为0,即可得

出结论.

JTTT

6

【解答]解：a=J2ncosxdx=sinx|2n=2,贝ij二项式（x+-^）=展开

式的通项公式为Tr+l=案236-乳

令6~4厂0，求得r=4,所以二项式代之）6展开式中的常数项是编*24=240-

故答案为：240.

【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，

属于中档题.

14.函数f（x）=Asin（3X+6）（A>0,3>0,0<4）<n）的图象关于y轴对称,

该函数的部分图象如图所示，^PIVIN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且

|MN|・|MP|=2a，则f（1）的值为o.

Z\.

oMNX

【分析】由题意，求出结合函数的图象，图象关于y轴对称，巾=工，△PIVIN是

2

以MN为斜边的等腰直角三角形,可得|PM|•sin45°=l|MN|,且|MN|,|MP|=2后,

求解|MN|和A,即得函数f(x)=Asin(3x+。)

【解答】解：由题意，图象关于y轴对称，力=工，

2

VAPMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得住1\/||”仍45。=山MN1，且

2

|MN|,|MP|=2加,

解得：)MN|=2,PM|=V2

在等腰三角形PMN中，可求的△PMN的高为1,即P点的纵坐标是1,

故得A=l,

T=2MNI=4,

.2兀兀

42

函数f(x)=Asin(3X+6)=sin(=cos(^_x),

当x=l时，即f(1)=cos-2L^0.

2

故答案为0.

【点评】本题主要考查利用y=Asin(ax+巾)的图象特征，由函数y=Asin(cox+4))

的部分图象求解析式，属于中档题.

15.在平面直角坐标系中，有△ABC,且A(-3,0),B(3,0),顶点C到点A

22

与点B的距离之差为4,则顶点C的轨迹方程为2Ll(x22).

~45

【分析】利用A(-3,0),B(3,0),顶点C到点A与点B的距离之差为4,

由双曲线的定义可得点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4,c=3,

求出b,即可求出点C的轨迹方程.

【解答】解：.(-3,0),B(3,0),顶点C到点A与点B的距离之差为4,

...由双曲线的定义可得点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4,c=3,

••a=2,b—

22

.•.点P的轨迹方程为--匕』（x22）,

45

22

故答案为口」1（x22）.

45

【点评】本题考查点C的轨迹方程，考查双曲线的定义，正确运用双曲线的定义

是关键.

16.一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体,

如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范

围是（上，旦）.

A

【分析】画出长方体，使其一个顶点放在桌面上，容易观察出液体体积何时取得

最小值和最大值.

【解答】解：长方体ABCD-EFGH,若要使液面不为三角形，

则液面必须高于平面EHD,且低于平面AFC；

而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体,

液面的形状都不可能是三角形；

所以液体体积必须大于三棱柱G-EHD的体积工，

6

并且小于长方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积1-1=反，

66

故答案为：（工，1）.

66

【点评】本题考查了棱柱的结构特征以及几何体的体积求法问题，也考查了空间

想象能力，是难题.

三.解答题（共7小题，满分70分）

17.（12分）已知数列｛a）满足ai=l,an+1=l--1—,其中n@N*.

4an

（I）设bn=—？一，求证：数列｛bn｝是等差数列，并求出｛aj的通项公式an；

2an-1

4a

（H）设Cn=3M,数歹（HCnCn」的前n项和为Tn，是否存在正整数m,使得八

n+1

<_1__对于ndN*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理

CjnCjitH

由.

【分析】（I）利用递推公式即可得出bnr-bn为一个常数，从而证明数列｛bn｝

是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到加，进而得到an；

（II）利用（I）的结论，利用"裂项求和"即可得到心，要使得％V二一对

CmCjrrH

于nGN*恒成立，只要34一--，即还也->3,解出即可.

"c/14

[解答]([)证明：•••bn「bn=c22——?------------

2a

2an+「l2an-ln-l

4an

4an_2

_

2^Fr2an-r，

•••数列｛bj是公差为2的等差数歹I],

2

又b]==2,bn=2+(n-1)X2=2n.

2a।-1

A2n=.2，解得&山

2^2n

4X-^

(II)解：由(I)可得©=——过一上，

nn+1n

，cc2=—X9(---------)，

nn+nn+2nn+2'

，数列｛CnC—的前n项和为171=2[(13)+仕工)+(1二-升..+(-11)+

32435n-1n+1

(n^?2)]

=2［1+^---------］<3.

L2n+1n+2」

要使得%〈二~对于n《N*恒成立，只要我」—，即赋她_〉3，

,而,/1cmcnr+-l4

解得m23或m<-4,

而m>0,故最小值为3.

【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和"、

等价转化等方法是解题的关键.

18.（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的

成绩得到如图所示的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；

（2）若用分层抽样的方法从分数在［30,50）和［130,150］的学生中共抽取6

人，该6人中成绩在［130,150］的有几人?

（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在［130,150］内的人数为

求期望E（0.

【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分；

（2）计算样本中分数在［30,50）和［130,150］的人数，根据分层抽样原理求出

抽取的人数；

（3）计算抽取的6人中分数在［130,150］的人数，求出£的所有取值与概率分

布，计算数学期望值.

【解答】解：（1）由频率分布直方图，得

该校高三学生本次数学考试的平均分为

0.0050X20X40+0.0075X20X60+0,0075X20X80+0.0150X20X100

+0.0125X20X120+0.0025X20X140=92；...（4分）

（2）样本中分数在［30,50）和［130,150］的人数分别为6人和3人,

所以抽取的6人中分数在［130,150］的人有3义,=2（人）；…（8分）

（3）由（2）知：抽取的6人中分数在［130,150］的人有2人，

依题意S的所有取值为0、1、2,

c3

当［=0时，p（g=o）=—^=春；

5

r2rl

当s=i时，p（g=i）=号

「J5

,,ClCn1

当s=2时，

「J5

AE（^）=0X-^+1X4+2X-^=1--（12分）

555

【点评】本题主要考查了频率分布直方图以及平均数和概率的计算问题，也考查

了运用统计知识解决简单实际问题的能力，是基础题.

19.（12分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtAABC所在平面，且

PA=AB=AC.

（I）求证：PA〃平面QBC；

（II）PQ_L平面QBC,求二面角Q-PB-A的余弦值.

【分析】（I）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；

（II）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出.

方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的

二面角的平面角.

【解答】解：(I)证明：过点Q作QDLBC于点D,

•.•平面QBC_L平面ABC,，QD_L平面ABC,

又YPA，平面ABC,

，QD〃PA,又•.•QDu平面QBC,PA6平面QBC,

；.PA〃平面QBC.

(II)方法一：:PQ，平面QBC,

，NPQB=NPQC=90。，XVPB=PC,PQ=PQ,R

.,.△PQB^APQC,，BQ=CQ.

，点D是BC的中点,连接AD,则ADLBC,

.•.AD_L平面QBC,；.PQ〃AD,AD±QD,

，四边形PADQ是矩形.

设PA=2a,

，PQ=AD=&a,PB=2、/^a,/.BQ=V6a.

过Q作QR±PB于点R,

/.r)R=V2a'V6a-V6,

,•2&ara，

PQL2a2二返,

PR-PB2V2a2a，

取PB中点M,连接AM,取PA的中点N,连接RN,

吟PA，

VPR=LpB^LpM,p，MA〃RN.

VPA=AB,.，.AM±PB,/.RN±PB.

，NQRN为二面角Q-PB-A的平面角.

连接QN,则又曲

32J_2,2

222Ra+77a-3a

...COSZQRN=QR^RN!ZQNL22__

2QR-RN9yV6yV23

2X—aX—a

即二面角Q-PB-A的余弦值为

3

(II)方法二:*..PQ_L平面QBC,

，NPQB=NPQC=90°,又：PB=PC,PQ=PQ,

.♦.△PQB丝ZXPQC,，BQ=CQ.

...点D是BC的中点，连AD,则AD±BC.

.•.AD_L平面QBC,；.PQ〃AD,AD1QD,

四边形PADQ是矩形.

分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系。-xyz.

不妨设PA=2,则Q(1,1,2),B(0,2,0),P(0,0,2),

设平面QPB的法向量为主(x,y,z)・

VPQ=(1,1,0),PB=(0,2,-2).

...，x+y=°令x=],则y=z=_i.

l2y-2z=0

又•..平面PAB的法向量为需(i,0,0).

设二面角Q-PB-A为0,则Icose1=|cos<3,竹>|==可

ImIIn|3

又•二面角Q-PB-A是钝角

cos

【点评】熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及

通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面角

是解题的关键.

22

20.(12分)已知椭圆C：A_+y_=i(a>b>0),圆Q：(x-2)2+(y-a)2=2

2,2

ab

的圆心Q在椭圆C上，点P(0,a)到椭圆C的右焦点的距离为在.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P作互相垂直的两条直线li，12,且li交椭圆C于A,B两点，直线I

交圆Q于C,D两点，且M为CD的中点，求^MAB的面积的取值范围.

【分析】(1)求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程

可得a,b的值，进而得到椭圆方程；

(2)讨论两直线的斜率不存在和为0,求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+

加,代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP

的长，再由直线AB的方程为y=-b+&,代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长

k

公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面

积的范围.

【解答】解：(1)圆Q：(x-2)2+(y-V2)2=2的圆心为(2,a),

代入椭圆方程可得3+4广1,

2,2

ab

由点P(o,V2)到椭圆C的右焦点的距离为泥，即有在不=加,

解得c=2,即a2-b2=4,

解得a=2、历，b=2,

22

即有椭圆的方程为工_+工=1;

84

(2)当直线I2：y=&，代入圆的方程可得x=2±加，

可得M的坐标为(2,&),又|AB|=4,

可得AMAB的面积为LX2X4=4；

2

设直线y=kx+J^，代入圆Q的方程可得，(1+k2)x2-4x+2=0,

可得中点M(—2—,返电空1生)，

1+k21+k2

|MP|=J4+4卜？2,

V(1+k2)2(1+k2)2Vl+k2

设直线AB的方程为y=-b+&,代入椭圆方程，可得：

k

(2+k2)x2-4Mx-妹2=0,

2

设t=4+k2(5>t>4),可得一^一=—1——=—；—<—；_=1,

(2+k2)2(t-2)2t+y-44+y-4

可得SV4,

且S>4r.W5

3

综上可得，^MAB的面积的取值范围是(延4].

3

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的

面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以

及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题.

21.(12分)设函数f(x)=x2+aln(x+1)(a为常数)

(I)若函数y=f(x)在区间[1,+8)上是单调递增函数，求实数a的取值范

围；

(II)若函数y=f(x)有两个极值点x1,X2,且x1<X2,求证：0C色吐〈工m2-

X]2

【分析】(I)已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范

围；

(H)利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导

后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从

而得到原函数的最值，即得到本题结论.

【解答】解：(I)根据题意知：f(x)=2x+2x+a>河1,+8)上恒成立.

x+1

即a2-2x2_2x在区间口，+oo)上恒成立.

-2x2-2x在区间[1,+8)上的最大值为-4,

二・a2-4；

经检验：当a=-4时，f，(x)=2x2+2x-4=2(xy)(/l)〉0,xe[i,+8).

x+1(x+1)

・・.a的取值范围是[-4,+8).

2

(H)f，&)=2x+2x+a=o在区间(-+<x,)上有两个不相等的实数根，

x+1

即方程2x2+2x+a=0在区间(-1,+8)上有两个不相等的实数根.

记g(x)=2x2+2x+a,则有，g(_L)<o，解得0<a〈L.

22

g(T)>0

2+a=,=

••X]+X2=-1，2x2+2x2Q^2^+—^2^~*4＜入2＜。

22nx+

.f(x2)x2-(2x2+2x2)l(2^

••--------—二------------------------------------------------

XjT-x2

令k(x)=&返智皿2,x€(4,0)・

-1-x2

2

k‘(x)=­J^21n(x+1)，

(1+x)2

、一2

记p(x)=—~—/21n(x+l)•

(1+x/

2x2+6x+2

，p'(x)-

(1+x)3

Pq=-4,P，（0）=2

在（耳，o）使得p'（Xo）=0.

当x£（—i-,x。），P'