云南省德宏傣族景颇族自治州2024届高三上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省德宏傣族景颇族自治州2024届高三上学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题1.已知集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，得，又，所以.故选：A.2.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，方程的两根为2和3，则，则为，其解集为.故选：D.3.已知为的边的中点.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以.故选：B4.已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，因为函数在区间恰有两条对称轴，所以，解得.故选：A.5.在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，将三棱锥转化为长方体，可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则，可得，则外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.6.甲乙两人玩纸牌游戏，已知甲手中有两张10与三张5，乙手中有三张9与两张4.现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应比乙被抽取的小，若甲被抽取的两张牌点数都为10，不合题意；若甲被抽取的两张牌一张点数为10一张点数为5，则乙被抽取的两张牌点数都为9；若甲被抽取的两张牌点数都为5，乙被抽取的两张牌点数都为9或一张点数为9一张点数为4.则所求概率为.故选：D7.已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（）A.3 B.4 C.6 D.9〖答案〗A〖解析〗设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，有，即，得，由，解得，若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则，即，得，则，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：A8.已知函数，则函数的零点个数为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，，则存在，使得，画出的图象，如下：令，则，当时，令，解得或，若，则，结合图象可知，此时存在两个根，，若，则，结合图象可知，此时存在和满足要求，当时，令得，此时，结合图象可知，此时存在两个根，综上，共6个零点.故选：C二、多项选择题9.已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C. D.若，则的最小值为1〖答案〗CD〖解析〗对于A，设，则，但，故A错误；对于B，令，满足，故B错误；对于C，设，则所以，则，所以，故C正确；对于D，设，则，即，表示以为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.故选：CD.10.已知双曲线左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（）A. B.双曲线的离心率为C.矩形的面积为 D.双曲线的渐近线方程为〖答案〗AB〖解析〗如下图所示：设，所以，由双曲线的定义可知，因为四边形为矩形，所以，因此，所以选项A正确；由，所以选项B正确；矩形的面积为，所以选项C不正确；因为，所以双曲线的渐近线方程为，因此选项D不正确，故选：AB11.已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，得，即是与交点的横坐标，由，得，即是与交点的横坐标，画出，，，的图象，如下图所示，与它们的交点依次为，与关于直线对称，所以，关于对称，则，，由，解得，，所以，故A正确；对于B，由，且，则，，所以，令，，则，所以函数在上单调递增，，即，故B正确；对于C，由，，所以，故C正确；对于D，由，，则，若，则，当时与矛盾，又显然不成立，故D错误故选：ABC.12.在正方体中，，点在底面正方形内及边界上运动，则（）A.存在点，使得平面B.若，则动点的轨迹长度为C.若平面，则动点的轨迹长度为D.若平面，则三棱锥的体积为定值〖答案〗BCD〖解析〗以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则、、、，，，设点，其中，设平面的法向量为，，，则，取，得，，若平面，则，则，解得，，与已知矛盾，A错误；由，得，则点在平面内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，因此动点的轨迹长度为，B正确；若平面，则，即，因此点在底面的轨迹为线段，点的轨迹长度为，C正确；由于平面平面，平面，则点的轨迹为线段，显然，，因此平面，而平面，即平面，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，从而为定值，D正确.故选：BCD.三、填空题13.已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是_________.〖答案〗8〖解析〗由可得或，因为a、b是方程的两根，不妨设，，所以样本平均数为，故样本方差为：.故〖答案〗为：814.已知，则的值为_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.15.已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为A、B，则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗令，题设圆的圆心，半径，又，且，所以，，，则，故，所以，当且仅当，即时取等号，综上，的最小值为.故〖答案〗为：16.设函数，.若在恒成立，则实数取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗在恒成立等价于，所以，即对任意恒成立，

设，则所以，当时，，函数单调递增，且当时，，当时，，若，则，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.设，，则，所以在单调递增，所以，即a的取值范围为．故〖答案〗为：四、解答题17.在等差数列与等比数列中，已知，，且，.（1）求数列，通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由题意，令公差为，公比为.由，即，有；，，；由，即，有.，.（2）由（1）有.则有.18.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）锐角中，，且，求的取值范围.解：（1）由题意有，由，，有；由，得.故函数的最小正周期为，单调递增区间为.（2）由（1）有，即，又，所以，所以，即，由，所以，则，.因为是锐角三角形，所以即，所以，所以.则有.所以，即故的取值范围为.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，，异面直线与所成角为.（1）证明：与平面；（2）在棱上是否存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点M在棱上的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系.令，，由，有，，，，，，，.由，有由，有.有，，，，，即，，又，平面，平面.故与平面.（2）解：假设棱上是存在一点M，令，由，，设平面的法向量为，易知，由，.设平面的法向量为，则有，令，则，则，则由，解得：.故存在为的中点，使得平面与平面的夹角的余弦值为.20.已知椭圆的离心率为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点M、N；当直线垂直于轴时，四边形的面积为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.（1）解：依题意，有，当直线垂直于轴时，，所以，解得，.故椭圆的方程为.（2）证明：由（1）易得，设直线的方程为，且，.由，得，易得，则，，所以，记的中点为，则直线的垂直平分线的方程为，令，得，则，则有，又，则有为定值.21.设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.解：（1）记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件为这2个球是从丙箱中摸出的，又，有；（2）由条件知，3，4，且，，，的分布列为：X234P故.22.已知函数.（1）若函数在上单调递减，求出实数的取值范围；（2）若方程在上有两个不