人教A版高中数学必修二《第七章 复数》单元导学案

人教版高中数学必修二《第七章复数》单元导学案

7.1.1数系的扩充和复数的概念

【学习目标】

知识目标

1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.

2.理解复数的概念、表示法及相关概念.

3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.

核心素养

1.数学抽象：复数及相关概念；

2.逻辑推理：复数的分类；

3.数学运算：复数相等求参.

【学习重点】：复数的分类及复数相等的充要条件.

【学习难点】：复数的概念.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本68-69页,填写。

1.复数的概念：z=a+bi（a,6WR）

（警）

（复数的代数形jjCIzq+l）-（虚数单位,i2=rl）

（朝）

全体复数所构成的集合£{a+bi|a,8WR},叫做复数集.

2.复数相等的充要条件

设a,b,c,d都是实数，那么a+Ai=c+dio.

3.复数的分类

[实数"=0）

z=a+6i（a,]<^（回0）（■1纯非虚纯虚数数心（aW。O））

思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系?

小试牛刀

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)若a,6为实数，则2=且+历为虚数.()

(2)若a为实数，则z=a一定不是虚数.()

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相

等.()

2

2.在2+巾，>,8+5i,(1-^3)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为

()

A.0B.1C.2D.3

3.若a—2i=6i+l,a,Z?eR,则a'+4n.

4.设加6R,复数z=-1—加+(27一3)i.

(1)若z为实数，则m=；

⑵若z为纯虚数，则加=.

【自主探究】

题型一复数的概念

例1下列命题中，正确命题的个数是()

①若x,yGC,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=l；

②若a,8WR且a>8,则a+i>8+i；

③若V+/=0,则x=『=0；

④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；

⑤一1没有平方根；

⑥若aGR,则(a+l)i是纯虚数.

A.0B.1C.2D.3

跟踪训练一

1.下列命题正确的是.

①复数一i+l的虚部为一1.

②若Z1,ZzGC且Z1—Z2>0,则Z^Zz.

③任意两个复数都不能比较大小.

题型二复数的分类

x—Y—6

例2实数x分别取什么值时，复数z=--—+（r-2x-15）i是（1）实数；

x十3

（2）虚数；（3）纯虚数.

跟踪训练二

1.实数加为何值时，z=lg（序+2加+1）+（石+3加+2）i是（1）实数；（2）虚

数；（3）纯虚数.

题型三复数相等的充要条件

例3根据下列条件，分别求实数x,y的值.

⑴*—"+2xyi=2i；

（2）（2x—l）+i=y—（3—y）i.

跟踪训练三

1.已知/仁⑵nf-2m+A—{—l,2,4i},若"U/仁从求实

数m的值.

【达标检测】

1.已知复数2=才一（2—6）i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,6的值

分别是（）

A.木,1B.小，5

C.土/,5D.±y[2,1

2.若（1+i）+（2-3i）=a+8i（a,bGR,i是虚数单位），则a+b=（）

A.1B.2

C.3D.0

3.已知/一7+2xyi=2i,则实数x=,y=.

4.如果（序一l）+（/—2〃）i>l则实数/的值为.

5.实数加分别取什么数值时，复数z=（序+5加+6）+（/—2必一15）i

（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）是0.

答案

小试牛刀

1.(l)x(2)V(3)V

2.C.

3.5.

4.(1)-(2)-1

乙

自主探究

例1【答案】A

【解析】①由于x,yEC,所以x+yi不一定是复数的代数形式，不符合复

数相等的充要条件，①错.

②由于两个虚数不能比较大小，所以②错.

③当x=l,y=i,时，x2+y2=0也成立，所以③错.

④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0,所以④错.

⑤一1的平方根为土i，所以⑤错.

⑥当a=-l时，(a+l)i=0是实数，所以⑥错.故选A.

跟踪训练一

1.【答案】①.

【解析】①复数一i+l=l—i，虚部为一1,正确；②若Z2不全为实数，

则为，Z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误.

例2【答案】⑴x=5时，z是实数.(2)xW—3且xW5时，z是虚数.(3)x

=-2或x=3时，z是纯虚数.

殳—2x—15—0

【解析】(1)当x满足—八''即x=5时，z是实数.

/十3W0,

/—2x~15W0,

(2)当x满足《即矛#—3且时，z是虚数.

[x+3#0,

fx~x—6_

(3)当x满足1*+3'即x=-2或x=3时，z是纯虚数.

/一2x—15W0,

跟踪训练二

1.【答案】⑴加=—2时，z为实数.⑵合一2且加#—1时，z为虚数.⑶加

=0时，z为纯虚数.

m1〉0,-1,

【解析】(1)若z为实数，则..即

m+3/z/+2=0,”=-2或R=-1,

解得力=-2..•.当加=-2时，z为实数.

石+2/0+1>0,7W—1,

(2)若z是虚数，则即

m+3加+2W0,7W-2且mW—1,

解得加W—2且加W—1.当加W—2且rW—1时，z为虚数.

lg(zs+2zz?+l)=0,na+2勿+1=1,

⑶若z为纯虚数，则即，,即

疝+3加+2#0,m+3勿+2#0,

7=0或必=—2,

—1且加W—2.

解得力=0..,.当/=0时，z为纯虚数.

5

x=l,x=~l,x=],

例3【答案】(1)或⑵

.7=1.y=—1.

y=4.

【解析】(1)/+2xyi=2i,且x,y£R,

x—y=Q,x=l,x=—l,

°c解得或

〔2打=2,g]ly=-i.

(2)V(2^—1)+i=y—(3—y)i,且x,yWR,

5

2x—l=y,x=5,

11=-(3-,).解得

y=4.

跟踪训练三

1.【答案】1或2.

【解析】因为J/UN=N,所以心,

所以2而+(/+加-2)i=-1或/-2加+(序+zzz—2)i=4i.

由复数相等的充要条件得

ni_2zz?=一1»J/一2m=0,

+/z?—2=0或]序+加一2=4,

解得m=\或r=2.

所以实数加的值是1或2.

当堂检测

1-2.CA

3.~1-1

4.2

5.【答案］(1)卯=5或一3；(2)/W5且加W—3.(3)加=-2.(4)/=-3.

【解析】由序+5加+6=0得，加=-2或加=—3,由序一2R—15=0得/

=5或m=—3.

(1)当序-2加-15=0时，复数z为实数,

m=5或—•3；

(2)当/一2加一15W0时，复数z为虚数,

.,.加W5且*一3.

iff—2m—15W0,

(3)当《时，复数z是纯虚数,

+5勿+6=0.

zz?=—2.

—2zz?-15=0,

(4)当《。时，复数z是0,.•.〃?=—3.

[/»+5/7/+6=0.

7.1.2复数的几何意义

【学习目标】

知识目标

.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间

的---对应关系；

2.掌握实轴、虚轴、模等概念;

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.

核心素养

1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解；

2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公

式；

3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模；

4.数学建模:根据复数的代数形式,数形结合，多方位了解复数的几何意义，

提高学生学习数学的兴趣.

【学习重点】：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点

及向量.

【学习难点】：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本70-72页,填写。

1.复平面

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,bGR)<-----.

(2)复数z=a+6i(a,Z>GR)«对应~~>.

［规律总结］实轴、虚轴上的点与复数的对应关系

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应

的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.

3.复数的模

(1)定义：向量”的r叫做复数z=a+历(a,8WR)的模.

(2)记法：复数z=a+6i的模记为

(3)公式：|z|=|a+8i|=r=(r20,rdR).

小试牛刀

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()

(3)复数的模一定是正实数.()

2.复数z=—l+3i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.向量a=(l,—2)所对应的复数是

()

A.z=l+2iB.z=l-2i

C.z=—1+2iD.z——2+i

4.已知复数z的实部为一1,虚部为2,则|z|=.

【自主探究】

题型一复数与复平面内的对应关系

例1求实数a分别取何值时，复数z=—工^一十3—24—15)式@£1?)对应

a十3

的点z满足下列条件：

(1)在复平面的第二象限内.

(2)在复平面内的x轴上方.

跟踪训练一

1、实数x取什么值时，复平面内表示复数z=y+x—6+(V—2x—15)i的

点Z：

(1)位于第三象限；(2)位于直线x—y—3=0上

题型二复数与平面向量的对应关系

--►--►

例2已知平面直角坐标系中。是原点，向量而，仍对应的复数分别为2

-3i,-3+2i,那么向量胡对应的复数是()

A.-5+5iB.5-5i

C.5+5iD.-5-5i

跟踪训练二

1、在复平面内，A,B,。三点对应的复数分别为1,2+i,-l+2i.

--A--►--►

（1）求向量48,AC,以对应的复数；

（2）若/颇为平行四边形，求〃对应的复数.

题型三复数模的计算与应用

例3设复数Z1=4+3i,Z2=4—3i.

（1）在复平面内画出复数4/2对应的点和向量；

（2）求复数4/2的模，并比较它们的模的大小.

例4设zeC,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集

合是什么图形？

（1）Iz|=1；

（2）l<|z|<2.

跟踪训练三

1、已知复数z=a+/i（aWR）在复平面内对应的点位于第二象限，且口

=2,则复数z等于（）

A.-1+^3iB.1+^3i

C.—l+/i或1+包D.-2+/i

【达标检测】

1.复数z=-l—2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知复数z=（加一3）+（加一l）i的模等于2,则实数加的值为（）

A.1或3B.1

C.3D.2

3.在复平面内表示复数z=(加一3)+2近的点在直线y=x上，则实数加

的值为.

4.复数z=x—2+(3—x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取

值范围是.

5.在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模.

Z]=1-i；冬=一益=—2；为=2+2上

答案

小试牛刀

1.(1)V(2)X(3)X

2.B.

3.B.

4.乖.

自主探究

例1【答案】(1)a<~3.(2)a>5或aV—3.

【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内，

(才一8一6

则｛a+3〈°'解得0<_3.

La2—2a—15>0,

a—2a—15>0,

⑵点2在入轴上方,则〈

[a+3W0,

即(a+3)(a—5)>0,解得a>5或—3.

跟踪训练一

1、【答案】(1)-3<矛<2.(2)x=-2.

【解析】因为x是实数，所以f+x—6,*—2矛-15也是实数.

y+才一6<o,

(1)当实数X满足，即一3<京2时，点Z位于第三象限.

|y-2^-15<0,

(2)当实数x满足(f+x—6)—(*—2x—15)—3=0,即3x+6=0,x=—2

时，点Z位于直线x—y—3=0上.

例2【答案】B.

--A--►

【解析】向量而，仍对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根据复数的

--►--►

几何意义，可得向量的=(2,-3),如=(一3,2).

--►--►--►

由向量减法的坐标运算可得向量为=OA-仍=(2+3,-3-2)=(5,

-5),根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量胡对应的复数是5—5i.

跟踪训练二

--►--A--►

1、【答案】(1)AB,AC,8c对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+

i.

(2)〃对应的复数为-2+i.

【解析】(1)设。为坐标原点，由复数的几何意义知：

--►--►--►

OA=(1,0),如=(2,1),%=(—1,2),

所以下=OB~OA=(1,1),

--A--►--►--►--►

~AC=OC-OA=(-2,2),BC=OC-OB={-2>,1),

--A--A--A

所以46,AC,a1对应的复数分别为1+i,—2+2i,—3+i.

AA

(2)因为力比7?为平行四边形，所以/〃=8。=(-3,1),

OD=OA+万=(1,0)+(—3,1)=(-2,1).所以〃对应的复数为-2+

1.

例3【答案】（1）图见解析，4*2对应的点分别为Z「Z2,对应的向量

分别为西，区.（2）|马|=5,闾=5.匕卜㈤.

【解析】（1）如图，复数4,Z2对应的点分别为Z1,Z?,对应的向量分别为国,

07^.

2222

(2)|Z||=|4+3zhV4+3=5,\z2\=|4-3i\=74+(-3)=5.

所以团=区|.

例4【答案】（1）以原点。为圆心，以1为半径的圆.

（2）以原点。为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆

环的边界.

【解析】（1）由lz|=l得，向量反的模等于1,所以满足条件|z|=l的点Z

的集合是以原点。为圆心，以1为半径的圆.

lz<2,

（2）不等式l<|z|<2可化为不等式

[|z>L

不等式Iz|<2的解集是圆Iz|=2的内部所有的点组成的集合,

不等式Iz|>1的解集是圆|z|=1外部所有的点组成的集合,

这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件l<|z|<2的

点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点。为圆心，以1及2为半径的两个

圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界(如图).

跟踪训练三

1、【答案】A.

[a+3=4,l

【解析】由题意得解得a=-l.故z=-l+45i.

当堂检测

1-2.CA

3.9

4.(3,+°0)

5.【答案】图见解析，\zi\=y/2；|z2|=l；|Z3|=2；\z^=2y/2.

【解析】在复平面内分别画出点Z(l,-1),乎)，原一2,0),

Z(2,2),则向量Z，劣，Z3,Z分别为复数z”a，z3,z,对应的向量，如图所示.

各复数的模分别为：1|=严时7=镜;

22

IZ-A\=7(-2y=2；|zj—>\/2+2=2^2.

7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义

【学习目标】

知识目标

1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；

2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

核心素养

1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义；

2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题；

3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合

应用.

【学习重点】：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.

【学习点】：力口、减运算及其几何意义.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本75-76页，填写。

1.复数加法与减法的运算法则

(1)设Zi=a+6i,Z2=c+di是任意两个复数，则

①+Z2=；

②©—々.

(2)对任意Z”如Z3GC,有

①Zi+Z2=；

②(4+Z2)+Z3=.

2.复数加减法的几何意义

图3-2-1

—►—►

如图3-2-1所示，设复数z”Z2对应向量分别为%,0Z2,四边形0Z名为

—►—►

平行四边形，向量0Z与复数对应，向量ZZ与复数对应.

思考：类比绝对值凌一品|的几何意义，Iz—z0|(z,益ec)的几何意义是什

么？

提示|z-z0|(z,z°ec)的几何意义是复平面内点Z到点4的距离.

小试牛刀

1.判断下列命题是否正确(正确的打“，错误的打“义”)

⑴复数与向量一一对应.()

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.()

⑶因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.()

2.已知复数©=3+4i,z2=3—4i,则Zi+z?等于()

A.8iB.6

C.6+8iD.6-8i

-----------►-----------►

3.在复平面内，复数1+i与l+3i分别对应向量力和防，其中。为坐

标原点，则|力8|等于()

A.^2B.2C.y[lQD.4

4.(5-i)-(3-i)-5i=.

【自主探究】

题型一复数的加减运算

例1计算：

(1)(―3+2i)—(4—5i)；

(2)(5—6i)+(—2—2i)—(3+2i)；

(3)(a+M)+(2a-3M)+4i(a,Z?GR).

跟踪训练一

1.计算:(l)2i-[3+2i+3(-l+3i)];

(2)(a+26i)-(3a—4㈤—5i(a,bGR).

题型二复数加减运算的几何意义

例2

根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Zi(%i，yi),Z2(%2，y2)间的

距离.

跟踪训练二

1、已知四边形/8口是复平面上的平行四边形，顶点4B,C分别对应于复

数一5—2i,-4+5"2,求点〃对应的复数及对角线47,加的长.

题型三复数加、减运算几何意义的应用

例3已知zGC,且|z+3—4i|=l,求|z|的最大值与最小值.

跟踪训练三

1.设z”z>EC,已知|z/=3=1,|z,+z21=y/2,求|ZL幻.

【达标检测】

1.a,A为实数，设©=2+历，Z2=a+i,当Zi+z2=0时，复数a+6i为()

A.1+iB.2+i

C.3D.-2—i

2.已知©=2+i,Z2=l+2i,则复数z=Z2—©对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.计算|(3—i)+(—l+2i)一(—l—3i)|=.

2

4.已知复数囱=(4一2)+(a—4)i,z2=a—(a—2)i(aeR),且囱一z?为

纯虚数，则a=.

—►—►

5.在复平面内，复数一3-i与5+i对应的向量分别是以与必，其中。是

―>—>—>

原点，求向量物+如，胡对应的复数及48两点间的距离.

答案

小试牛刀

1.(1)X(2)X(3)X

2.B.

3.B.

4.2-5i.

自主探究

例1【答案】(l)—7+7i.(2)-10i.(3)3a+(4—28)i.

【解析1(1)(―3+2i)—(4—5i)=(—3—4)+[2—(-5)]i=—7+7i.

(2)(5—6i)+(—2—2i)—(3+2i)=[5+(—2)—3]+[(—6)+(—2)—2]i

=-10i.

(3)(a+6i)+(2a—36i)+4i=(a+2a)+(b—38+4)i=3a+(4—28)i.

跟踪训练一

1.【答案】(l)-9i.⑵-2a+(66-5)i.

【解析】⑴原式=2i—(3+2i—3+9i)=2i—lli=-9i.

(2)原式=-2a+66i—5i=-2a+(66—5)i.

22

例2[答案]IZ1Z2I=7(%i-x2)+(y1-y2).

【解析】因为复平面内的点Zi(%i，yi),Z2(X2，y2)对应的复数分别为Zi=

%i+yit,z2=x2+y2i-

所以ZiZ之间的距离为IZ1Z2I=\z^\=IZi-ZzI

=1(X1-X2)+(71-y2)l

2

=V(^1-x2y+(yi-y2)

跟踪训练二

1、【答案】〃对应的复数是l-7i,力。与6〃的长分别是相和13.

【解析】如图，因为4。与物的交点也是各自的中点，所以有z尸2养=

乙

g所以z0=zA+ZC—ZB=1-7i,

--►

因为ZC：Zc—z力=2-(—5—2i)=7+2i,

所以I^|=17+2i|=^/72+22=^53»

---►

因为BD：Z[)—zn—(1—7i)—(—4+5i)—5—12i,

—►

所以IBD|=|5-12i|=^/52+122=13.

故点〃对应的复数是1—7i,加与劭的长分别是，点和13.

例3【答案】|z1mol,=6,|Z|MM=4.

【解析】由于|z+3—4i|=|z—(―3+4i)|=l,所以在复平面上，复数z

对应的点Z

与复数一3+4i对应的点。之间的距离等于1,故复数z对应的点Z的轨迹

是以。(一3,4)为圆心，半径等于1的圆.

而归表示复数z对应的点Z到原点。的距离，又|%|=5,

所以点Z到原点。的最大距离为5+1=6,最小距离为5-1=4.

即|z|皿=6,|z|,ni„=4.

跟踪训练三

1.【答案】加一Z2|=/.

【解析】设Z[=a+Z?i,Z2=c+di(a,b,c,d@R),

由题设知才十^=1,/+d=l,(a+c)2+(8+中2=2,

又(a+c)'+(6+d)2=a2+2ac+c2+/>2+28d+d,

可得2ac+2bd=Q.

2J

|z,—z21'=(a—c)+(Z>—d)

=a2+c+Z>2+d—(,2ac-\~2bd)=2,

**•IZ\—z)|—yj2.

当堂检测

1-2.DB

3.5

4.-1

—►―►―►

5.【答案】向量力+位对应的复数为2.向量胡对应的复数为一8—2i.A,

8两点间的距离为人“7

【解析】向量力+颇f应的复数为(一3-i)+(5+i)=2.•.•员1=如一仍，，

向量物对应的复数为

(-3-i)-(5+i)=-8-2i.：.A,8两点间的距离为|-8-2i|=2p.

7.2.2复数的乘除运算

【学习目标】

知识目标

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；

3.理解且会求复数范围内的方程根.

核心素养

1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则；

2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导；

3.数学运算：复数四则运算；

4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的

方程根问题.

【教学重点】：复数代数形式的乘法和除法运算.

【教学难点】：求复数范围内的方程根.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本77-79页，填写。

1.复数代数形式的乘法法则

已知z)=a+8i,z2=c+t/i,a,b,c,dGR,则z,,z2=(a+Z>i)(c+(/i)

［提示］复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果

中把『换成一1,再把实部、虚部分别合并.

2.复数乘法的运算律

对于任意Z1,Zz，Z：；GC,有

交换律©•@二_________

结合律(Zi•Z2)*Z3=______________

乘法对加法的分配律Z|(Z+Z3)=______________

3.复数代数形式的除法法则

,.、.,、ac+bd,be—ad,,、

(a+6i)4-(c+di)=，+]+籍+^i(。+力工0)

小试牛刀

1.复数(3+2i)i等于()

A.12—3iB.-2+3i

C.2-3iD.2+3i

2.已知复数z=2—i,则的值为()

A.5B.乖

C.3D.y/3

3.(2-i)4-i=.

【自主探究】

题型一复数的乘法运算

例1计算下列各题.

(1)(l-2i)(3+4i)(-2+i)；(2)(2-3i)(2+3i)；(3)(1+i)2.

跟踪训练一

1.计算：(l-i)2-(2-3i)(2+3i)=()

A.2-13iB.13+2i

C.13-13iD.-13-2i

2.若复数(l—i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值

范围是()

A.(—8,1)B.(一8,—1)

C.(1,+8)D.(-1,+8)

题型二复数的除法运算

例2计算（l+2i）+（3—4i）.

跟踪训练二

1.复数z="y（i为虚数单位），则|z|=.

1+i4+3i

2.计算:

2-i1—i

题型三复数范围内的方程根问题

例3在复数范围内解下列方程：

（1）X2+2=0;

(2)ax2+bx+c=O^其中匕,ceR,且-4ac<0.

跟踪训练三

1、已知1+i是方程/+"+。=0的一个根（8,c为实数）.

（1）求8,c的值；

⑵试判断1—i是否是方程的根.

【达标检测】

1.设复数z满足iz=l,其中i为虚数单位，则z等于（）

A.-iB.i

C.-1D.1

2.若复数z=i（3—2i）（i是虚数单位），则7=（）

A.2-3iB.2+3i

C.3+2iD.3-2i

3.复数号（为虚数单位）的实部等于.

2-i

4.(1+i)2

2+i

a+2i

5.已知复数Zi=(-1+i)(l+6i),z=其中a,6eR.若zi与Z2互

21-i

为共貌复数，求a,6的值.

答案

小试牛刀

1.B.

2.A.

3.11—2i.

自主探究

例1【答案】(1)-20+15i.(2)13.(3)2i.

【解析】(1)原式=(ll-2i)(-2+i)=-20+15i.

(2)原式=(2—i)(—l+5i)(3—4i)+2i=4—9i?=4+9=13.

⑶原式=l+2i+i?=l+2i—l=2i.

跟踪训练一

1.【答案】D.

【解析】(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=l-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.

2.【答案】B.

【解析】因为z=(1—i)(a+i)=a+l+(1—a)i,

所以它在复平面内对应的点为(a+1,1—a),

[a+1VO,

又此点在第二象限，所以，c解得av-l.

[1—a>0,

例2【答案】，+|力

【解析】原式=詈=左辔|提=三券=—：+白.

OT,IOT,LJ1,L)zSOOO

跟踪训练二

1•【答案】哈.

1-Z1-i11.

【解析】••2=岩==-----.---i,

(1+0(1-0222'

•■•izi=优M-+坐

2.【答案】-2+i.

(l+i)(4+3i)l+7i(1+7/)(1+3<)

【解析】=12+i.

(2-z)(l-z)l-3i10

例3【答案】(1)方程/+2=0的根为％=±夜j.

(2)方程的根为x=__L±J-仅2一丝0力

2。2a

【解析】(1)因为(后i)J(一应i)、—？，所以方程/+2=°的根为

x=±V2z.

(2)将方程以2+灰+。=0配方，得h+2]=匕二嬖

(la)4a2

X+2S)

la2a

所以原方程的根为x=__L±J~("-4ac)j.

2。2a

跟踪训练三

1、【答案】(1)6=—2,c=2.(2)1—i也是方程的一个根.

【解析】(1)因为1+i是方程f+"+c=0的根，

A(l+i)2+Z?(l+i)+c=0,即(b+c)+(2+8)i=0.

b+c=0,

/.b=~2,c=2.

2+6=0,

⑵将方程化为/-2x+2=0,把l-i代入方程左边9—2x+2=(l—i)2

—2(1—i)+2=0,显然方程成立,—i也是方程的一个根.

当堂检测

1.A

2.A

3.—3

a=-2,

5.【答案】一

3=1.

【解析】Zi=(―l+i)(1+Z?i)=­1—Z?i+i—Z?=(―/?—1)+(1—Z>)i,

_a+2i_(a+2i)(l+i)_a+ai+2i—2_a—2a+2.

z?=1-i=(l-i)(l+i)=2=2+21'

a—2_

2=-b—l,

由于©和Z2互为共貌复数，所以有〈,n解得

a十2

.丁=一(I—)，

a=-2,

b=\.

7.3.1复数的三角表示式

【学习目标】

知识目标

1.掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化；

2.培养学生的转化，推理及运算能力；

3.通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.

核心素养

1.数学抽象：复数三角表示的理解；

2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义；

3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.

【教学重点】：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化.

【教学难点】：复数三角表达式的理解.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本83-85页，填写。

1.复数的辐角

以x轴的正半轴为始边、为终边的角，叫做复数

z=a+bi的辐角。

适合于的辐角0的值，叫辐角的主值。记作：argz,即

2.复数的三角表达式

一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成的形式.其中，

r是复数的；0是复数z=a+bi的辐角.叫做复数z=a

+bi的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来叫

做复数的代数表示式，简称代数形式.

注意：复数三角形式的特点

3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：

两个非零复数相等当且仅当它们与分别相等.

小试牛刀

1.复数l+/i化成三角形式，正确的是()

/2n2兀、

A.2(cos-+isi#n

OO

JIJI

B.2(cos-+isin-)

/5兀，..5兀、

C.2(cosF-+isin-z-)

oo

/11H,11JI

D.2(cos-—+isin-—x)

bb

2.两个复数为、Z2的模与辐角分别相等，是©=0成立的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3.复数一2(sin10°+icos10°)的三角形式为.

【自主探究】

题型一复数的三角形式

例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式.

(1)Z\=cos60°+isin30°；

nn

(2)z2=2(cos~~一isin-)；

(3)z3=—sin9+icos0.

跟踪训练一

1.下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式.

...11,11.

(1)Z|=2(cos-n+isin-JT)；

/、1/22、

(2)z=-(cos-n—isin-n)；

24Jo

(3)Z3=—2(cos，+isin。).

题型二复数的代数形式表示成三角形式

例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式:

(1)-+—i；(2)1-i.

22

跟踪训练二

1.把下列复数表示成三角形式：

l3n3兀

(1)1;(2)—2i；(3)^/3—i;(4)—2(sin-+icos—).

题型三把复数表示成代数形式

例3分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些

复数表示成代数形式:

(1)cosjr+isin%；(2)61也

I66)

跟踪训练三

1.把下列复数表示成代数形式:

(1)Zi=3(cos~+isin

6

(2)z2=2[cos(——)+isin(——)]；

(3)Z3=5(COS135°+isin135°).

【达标检测】

7TIT

1.复数z=cos：+isin：的辐角主值是()

44

3兀八兀八37兀

A.—B.-C.----D.---

4444

2.将复数4cos[?+isin(-化成代数形式，正确的是()

A.4B.-4C.4/D.-Ai

1

3.复数一兀.乃的代数形式是

cos—+zsin---------------

33

4.复数2=3105?+*皿?)的模是.

5.复数的代数形式与三角形式互化：

(1)-1+V3z；

54..5"

(2)2cos---Fzsin^

、66

答案

小试牛刀

1.B.

2.A.

3.2(cos260°+isin260°).

自主探究

例1【答案】⑴Zi=g^(cos5+isin；).(2)z2=2(cos空"+

244b

9n

isin~^).

5

(3)z3=cos(—+9)+isin(—+，).

【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式.

Zi=cos60°+isin30°=1+|