2024年河北省邯郸市武安市中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年河北省邯郸市武安市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）有理数的相反数是（）A． B． C．﹣ D．±2．（3分）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，B，C，D四个格点，下面四个结论中（）A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ4．（3分）今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（）A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱锥5．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a3•a2＝a5 C．a3÷a2＝1 D．（a3）2＝a56．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．7．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|b|＜|c| C．a+c＜0 D．ab＞c8．（2分）如图，平面直角坐标系中有M，N、P，其中的三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是（）A．点N B．点M C．点P D．点Q9．（2分）几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，设实际参加旅游的同学共x人，则所列方程为（）A． B． C． D．10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0）（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（）A． B．9 C．15 D．3011．（2分）如图，直线l1∥l2，直线AB分别交l1，l2于点A，B，∠MAB＝120°，以点B为圆心，若在弧上存在点C使∠ACB＝20°，则∠1的度数是（）A．80° B．75° C．70° D．60°12．（2分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD）（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm13．（2分）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，若2cosα＝3sinα，则正方形ABCD与正方形EFGH的面积的比值为（）A．13 B． C．5 D．14．（2分）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边AB，BC，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③15．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，，连接OC，CA，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若，则tan∠ACO的值为（）A． B． C． D．16．（2分）对于二次函数y＝ax2+bx+c，定义函数是它的相关函数．若一次函数y＝x+1与二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能是（）A．﹣1 B．0 C． D．2二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，19题每空2分）17．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在函数，点A在函数图象上，∠AOB＝90°，则k的值为．19．（4分）如图，矩形ABCD中，P是AD边上的动点，将△APE沿PE翻折得到△OPE，延长PO交边BC于点F，交边AD点G．（1）若∠AEP＝35°，则∠PFG＝°；（2）若AB＝2，且E、O、G三点共线，则AP＝．三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）解方程组，下面是两同学的解答过程：甲同学：解：把方程2x﹣y＝1变形为y＝2x﹣1，再将y＝2x﹣1代入方程①得x+3（2x﹣1）＝4，…乙同学：解：将方程2x﹣y＝1的两边乘以3得6x﹣3y＝3，再将①+②，得到（x+3y）+（6x﹣3y），…（1）甲同学运用的方法是，乙同学运用的方法是；（填序号）①代入消元法；②加减消元法．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．21．（9分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）22．（9分）（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为．（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，正方形AEDC，设AB＝8，则△AFC的面积为；（ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值．23．（10分）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，GF为长度固定的支架，支架在A，D（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）24．（10分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q，求证：P+Q＞6．25．（12分）在矩形ABCD中，已知BC＝6，连接BD，点O是边BC上的一动点，⊙O的半径为定值r．（1）如图1，当⊙O经过点C时，恰好与BD相切；（2）如图2，点M是⊙O上的一动点，求三角形ADM面积的最大值；（3）若⊙O从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，F分别从点A，点C出发，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线CB方向运动，连接EF，如图3所示（圆心O与点C重合）时停止运动，点E（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，若存在，请求出此时t的值，请说明理由．26．（13分）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）（1）滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值；（填“由负到正”或“由正到负”）（2）滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数表达式；（3）在整个往返过程中，若d＝18，求t的值．

2024年河北省邯郸市武安市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）有理数的相反数是（）A． B． C．﹣ D．±【解答】解：的相反数是﹣，故选：A．2．（3分）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、原图既不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、原图既是中心对称图形，故此选项符合题意；D、原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．3．（3分）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，B，C，D四个格点，下面四个结论中（）A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ【解答】解：连接AB，将点A平移到点P，将点B向上平移3个单位后，∴AB与PQ不平行，选项A错误，连接BC，将点B平移到点P，再向右平移1个单位，点C在PQ直线上，∴BC∥PQ，选项B正确，连接BD、AD，根据垂直的意义，BD，选项C、D错误．故选：B．4．（3分）今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（）A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱锥【解答】解：根据主视图可知，只有D选项不可能．故选：D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a3•a2＝a5 C．a3÷a2＝1 D．（a3）2＝a5【解答】解：A．a3与a2不是同类项，无法合并，则A不符合题意；B．a8•a2＝a3+6＝a5，则B符合题意；C．a3÷a6＝a，则C不符合题意；D．（a3）2＝a7，则D不符合题意；故选：B．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解答】解：，解得，不等式组的解集是﹣1＜x≤1，故选：D．7．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|b|＜|c| C．a+c＜0 D．ab＞c【解答】解：A、左边的数总小于右边的数；B、绝对值就是离开原点的距离；C、异号两数相加，故a+c＜0不正确；D、异号两数相乘，异号得负，ab的绝对值是a和b绝对值的积，b＝﹣1，故ab＞c不正确．故选B．8．（2分）如图，平面直角坐标系中有M，N、P，其中的三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是（）A．点N B．点M C．点P D．点Q【解答】解：∵2×（﹣6）＝12；﹣7×4＝﹣12；﹣5×4＝﹣5；从上面求值情况可明显看出：若其中有三个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数的图象上的点是N（﹣5．故选：A．9．（2分）几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，设实际参加旅游的同学共x人，则所列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x﹣2）人，由题意得，，故选：B．10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0）（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（）A． B．9 C．15 D．30【解答】解：连接AC、EF．∵四边形OABC为矩形，∴B（9，3）．又∵OE＝BF＝4，∴E（4，0），7）．∴AC＝＝＝3，EF＝＝，∴AC•EF＝3×＝30．故选：D．11．（2分）如图，直线l1∥l2，直线AB分别交l1，l2于点A，B，∠MAB＝120°，以点B为圆心，若在弧上存在点C使∠ACB＝20°，则∠1的度数是（）A．80° B．75° C．70° D．60°【解答】解：如图，由作法得BA＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝20°，∵∠MAB＝120°，∴∠MAC＝120°﹣20°＝100°，∵直线l1∥l2，∴∠4＝∠MAC＝100°，∴∠1＝180°﹣∠2＝80°．故选：A．12．（2分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD）（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：连接BD，如图所示：由题意得，，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABD，∴，∴，∴BD＝5cm，∴点B，D之间的距离减少了5﹣4＝3（cm），故选：B．13．（2分）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，若2cosα＝3sinα，则正方形ABCD与正方形EFGH的面积的比值为（）A．13 B． C．5 D．【解答】解：设小直角三角形的长直角边为a，短直角边为b．∵四边形EFGH是正方形，∴∠GFE＝90°．∴∠AFB＝90°．∴cosα＝，sinα＝．∵2cosα＝3sinα，∴＝．∴a＝b．∵S正方形ABCD＝a2+b2＝b2+b3＝b2，S正方形EFGH＝（a﹣b）4＝b6，∴正方形ABCD与正方形EFGH的面积的比值为13．故选：A．14．（2分）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边AB，BC，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为m．当AB＝6时，＝6，∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确；∵菜园ABCD面积为192m2，∴x•＝192，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，故②正确；设矩形菜园的面积为Sm8，根据题意得：S＝x•＝﹣2﹣40x）＝﹣，∵﹣＜0，∴当x＝20时，S有最大值，故③正确；∴选项正确的有2个．故选：C．15．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，，连接OC，CA，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若，则tan∠ACO的值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过C作CH⊥AO于H，∵，∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，∵，即，∴，∵∠A＝∠BOE，∴tan∠A＝tan∠BOE，∴，即，设AH＝3m，则BO＝3m＝AO＝CO，∴OH＝3m﹣8m＝m，∴CH＝，∴tan∠A＝＝，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴tan∠ACO＝；故选A．16．（2分）对于二次函数y＝ax2+bx+c，定义函数是它的相关函数．若一次函数y＝x+1与二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能是（）A．﹣1 B．0 C． D．2【解答】解：直线y＝x+1与y轴的交点为（0，5），二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数为y＝，一次函数y＝x+3与函数y＝恰有两个交点由图象知，当c≥1时2﹣8x+c（≥0）恰有两个交点，∴方程x2﹣2x+c＝x+1有两个不相等的实数根，即x2﹣6x+c﹣1＝0，Δ＝（﹣6）2﹣4（c﹣8）＞0，∴c＜，∴c的取值范围为4≤c＜，∴c可能的值为2，故选：D．二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，19题每空2分）17．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为4．【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4．故答案为：8．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在函数，点A在函数图象上，∠AOB＝90°，则k的值为﹣12．【解答】解：作AM⊥x轴，垂足为M，垂足为N．∵∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠OBN，∠AMO＝∠ONB＝90°，∴△AMO∽△ONB，∴，∵S△ONB＝，∴S△AOM＝×4＝4，∴丨k丨＝2×6＝12，∵图象在第二象限，∴k＝﹣12．19．（4分）如图，矩形ABCD中，P是AD边上的动点，将△APE沿PE翻折得到△OPE，延长PO交边BC于点F，交边AD点G．（1）若∠AEP＝35°，则∠PFG＝55°；（2）若AB＝2，且E、O、G三点共线，则AP＝．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠AEP＝35°，∴∠APE＝90°﹣35°＝55°，由折叠可知：∠APE＝∠OPE，∴∠APF＝2∠APE，∵GF平分∠PFC，∴∠PFC＝2∠PFG，∴∠PFG＝∠APE＝55°，故答案为：55；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，如图，过点G作GH⊥CD于点H，矩形AGHB，∴AB＝CD＝GH＝2，∠GHF＝90°，由折叠可知：∠APE＝∠OPE，∴∠EOP＝∠A＝90°，∴∠GOF＝∠GHF＝90°，∵GF平分∠PFC，∴∠PFG＝∠HFG，∵GF＝GF，∴△GFO≌△GFH（AAS），∴GO＝GH＝2，∵E是AB边的中点，∴AE＝BE＝6，由折叠可知：AP＝OP，AE＝OE＝1，∴EG＝EO+GO＝1+7＝3，∴AG＝＝＝2，∴PG＝AG﹣AP＝2﹣AP，在Rt△POG中，根据勾股定理得：PG7＝PO2+OG2，∴（7﹣AP）2＝AP5+22，∴AP＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）解方程组，下面是两同学的解答过程：甲同学：解：把方程2x﹣y＝1变形为y＝2x﹣1，再将y＝2x﹣1代入方程①得x+3（2x﹣1）＝4，…乙同学：解：将方程2x﹣y＝1的两边乘以3得6x﹣3y＝3，再将①+②，得到（x+3y）+（6x﹣3y），…（1）甲同学运用的方法是①，乙同学运用的方法是②；（填序号）①代入消元法；②加减消元法．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【解答】解：（1）甲同学运用的方法是①，乙同学运用的方法是②；故答案为：①，②；（2）选择①，解：把方程2x﹣y＝1变形为y＝6x﹣1，再将y＝2x﹣5代入方程①得x+3（2x﹣4）＝4，解得：x＝1，把x＝6代入得：y＝2﹣1＝8，则方程组的解为；选择②，解：将方程2x﹣y＝1的两边乘以3得6x﹣3y＝3，再将①+②，得到（x+3y）+（6x﹣3y）＝7+3，整理得：7x＝3，解得：x＝1，把x＝1代入①得：2+3y＝4，解得：y＝5，则方程组的解为．21．（9分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，∴P（任意摸出2个球，这个球的编号是2）＝；（2）画树状图如下：一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大8出现了3次，∴P（第2次摸到的小球编号比第2次摸到的小球编号大1）＝．22．（9分）（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为6．（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，正方形AEDC，设AB＝8，则△AFC的面积为6；（ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值．【解答】解：（1）3（a2﹣7ab+b2）﹣（2a6﹣mab+2b2）＝4a2﹣6ab+5b2﹣2a2+mab﹣2b2＝a3+（m﹣6）ab+b2，∵不含有ab项，∴m﹣8＝0，∴m＝6，故答案为：6．（2）（i）设正方形BCFG和AEDC的边长分别为a和b，则△AFC的面积为．根据题意，得a+b＝6，a2+b2＝40，∵（a+b）6＝a2+2ab+b2＝64，∴ab＝12，∴S△AFC＝×12＝5，故答案为：6．（ii）令（9﹣x）＝m，（x﹣4）＝n2+（x﹣6）7＝m2+n2，∴m+n＝8，mn＝2，∴（m+n）2＝m3+2mn+n2＝4，∴m2+n2＝4，∴（9﹣x）2+（x﹣5）2＝5．23．（10分）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，GF为长度固定的支架，支架在A，D（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）【解答】解：点C离地面的高度升高了，理由：如图，当∠GAE＝60°时，交HA的延长线于点K，∵BC⊥MN，AH⊥MN，∴BC∥AH，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ADC＝∠GAE＝60°，∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，∴DK＝288﹣208＝80（cm），在Rt△CDK中，CD＝＝，如图，当∠GAE＝54°，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，CD＝160cm，∴DQ＝CD•cos54°≈160×5.6＝96（cm），∴96﹣80＝16（cm），∴点C离地面的高度升高约16cm．24．（10分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q，求证：P+Q＞6．【解答】（1）解：由题意，得，解得，∴该函数表达式为y＝x4﹣2x+1．（2）证明：由题意，得P＝p8+p+1，Q＝q2+q+7，所以P+Q＝p2+p+1+q6+q+1＝p2+q8+4＝（2﹣q）6+q2+4＝2（q﹣1）2+7≥6，由条件p≠q，知q≠1．所以P+Q＞8．25．（12分）在矩形ABCD中，已知BC＝6，连接BD，点O是边BC上的一动点，⊙O的半径为定值r．（1）如图1，当⊙O经过点C时，恰好与BD相切；（2）如图2，点M是⊙O上的一动点，求三角形ADM面积的最大值；（3）若⊙O从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，F分别从点A，点C出发，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线CB方向运动，连接EF，如图3所示（圆心O与点C重合）时停止运动，点E（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，若存在，请求出此时t的值，请说明理由．【解答】解：（1）连接OP，OD，∵在直角三角形BCD中，∠CBD＝30°，∴tan∠CBD＝＝＝，∴CD＝2，∵⊙O与对角线BD相切于点P，∴OP⊥BD．在Rt△DPO和Rt△DCO中，，∴Rt△DPO≌Rt△DCO（HL），∴∠ODP＝∠ODC＝∠BDC＝30°，∴OC＝DC•tan∠ODC＝2＝5．∴⊙O的半径r＝2；（2）如图2，作OE⊥AD于点E，∴OE＝CD＝8，∴M、O、E共线时，最大值为2，∴S△ADM最大＝AD•OM＝+8）＝6；（3）在整个运动过程中，存在某一时刻，此时t的值为或①EF在⊙O的左侧时，设EF与⊙O相切于点G，OE，由题意得：AE＝OB＝t，CF＝3t，∴OF＝BC﹣OB﹣CF＝6﹣3t，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AE∥BO，∵AE＝OB＝t，∴四边形ABOE为矩形，∴OE＝AB＝4，∠EOF＝90°，∵EF与⊙O相切于点G，∴OG⊥EF，∴∠EGO＝90°，∴∠EGO＝∠EOF．∵∠E＝∠E，∴△EGO∽△EOF，∴．∵EF＝，∴，∴（