2024届山东省枣庄市薛城区高考数学三模试卷含解析

2024届山东省枣庄市薛城区高考数学三模试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）（附：）A．个 B．个 C．个 D．个2．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=04．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（）．A．1 B．1 C．3 D．45．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（）A．2 B． C．3 D．46．函数在上的大致图象是（）A． B．C． D．7．如图，正方体中，，，，分别为棱、、、的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线8．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）.A． B．9 C．5 D．9．的展开式中，满足的的系数之和为（）A． B． C． D．10．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（）A． B． C． D．11．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（）A． B． C． D．12．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________．14．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．15．已知向量，，若，则________.16．根据如图的算法，输出的结果是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，，其中，为正实数.（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；（2）设，证明：对任意，都有.18．（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只33456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数/只293749537798126145（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，参考数据：.19．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.20．（12分）已知函数.若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.（1）若a，且a≠0，证明：函数有局部对称点；（2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数c的取值范围；（3）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.21．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）（1）求的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.22．（10分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，若想要盖上盖子，则需要满足，解得，所以最多可以装层球，即最多可以装个球．故选：【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.2、A【解析】

根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，因为对任意，，都有，所以函数在上为减函数，则，解得：.即实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.3、A【解析】试题分析：渐近线方程是﹣y2=1，整理后就得到双曲线的渐近线．解：双曲线其渐近线方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故选A．点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题．4、C【解析】

由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若为的外心，则，平面,可得,即，①正确;若为等边三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②错误;若，设与平面所成角为可得，设到平面的距离为由可得即有，当且仅当取等号.可得的最大值为，即的范围为，③正确；取中点，的中点，连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上，而，可得④正确；所以正确的是：①③④故选：C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.5、C【解析】

根据等差数列的求和公式即可得出．【详解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故选C．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、D【解析】

讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，，故切线的斜率变小，当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，，则，所以函数在上单调递增，令，，当时，，故切线的斜率变大，当时，，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.7、C【解析】

充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据判断A的正误.根据，判断B的正误.根据与相交，判断C的正误.根据，判断D的正误.【详解】在正方体中，因为，所以平面，故A正确.因为，所以，所以平面故B正确.因为，所以平面，故D正确.因为与相交，所以与平面相交，故C错误.故选：C【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.8、A【解析】

根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选：A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.9、B【解析】

，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得．【详解】当时，的展开式中的系数为．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．10、D【解析】

如图，平面截球所得截面的图形为圆面，计算，由勾股定理解得，此外接球的体积为，三棱锥体积为，得到答案.【详解】如图，平面截球所得截面的图形为圆面.正三棱锥中，过作底面的垂线，垂足为，与平面交点记为，连接、.依题意，所以，设球的半径为，在中，，，，由勾股定理：，解得，此外接球的体积为，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距离为，则，所以三棱锥体积为，所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11、D【解析】

首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，、分别为、的中点，则必有，，即为直角三角形.对于等腰梯形，如图：因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，必有，所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图，，所以四棱锥底面的高为，.故选：D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.12、D【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可．【详解】解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.【详解】解：且，即解得，即因为在区间上恒成立，解得即故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.14、753【解析】

根据物品价格不变，可设共有x人，列出方程求解即可【详解】设共有人，由题意知，解得，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.15、10【解析】

根据垂直得到，代入计算得到答案.【详解】，则，解得，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.16、55【解析】

根据该For语句的功能，可得，可得结果【详解】根据该For语句的功能，可得则故答案为：55【点睛】本题考查For语句的功能，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】

(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.【详解】（1）解：因为函数的图象恒在的图象的下方，所以在区间上恒成立.设，其中，所以，其中，.①当，即时，，所以函数在上单调递增，，故成立，满足题意.②当，即时，设，则图象的对称轴，，，所以在上存在唯一实根，设为，则，，，所以在上单调递减，此时，不合题意.综上可得，实数的取值范围是.（2）证明：由题意得，因为当时，，，所以.令，则，所以在上单调递增，，即，所以，从而.由（1）知当时，在上恒成立，整理得.令，则要证，只需证.因为，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立.综上可得，对任意，都有成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.18、（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.【详解】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，则5个月份任意选取3个月份的基本事件有，，，，，，，，，，共计10个，故恰好有两个月考核合格的概率为；（2），，，，故；（3）当千只，（十万元）（万元），故9月份的利润约为111.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.19、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；（2）根据（1）中求得的的单调性，得出在处取得最大值为，构造函数，利用导数，推出，即可证明不等式.【详解】解：（1）由于，得，当时，，此时在上递增；当时，由，解得，若，则，若，，此时在递增，在上递减.（2）由（1）知在处取得最大值为：，设，则，令，则，则在单调递减，∴，即，则在单调递减∴，∴，∴.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.20、（1）见解析（2）（3）【解析】

（1）若函数有局部对称点,则,即有解,即可求证；（2）由题可得在内有解,即方程在区间上有解,则,设,利用导函数求得的范围,即可求得的范围；（3）由题可得在上有解,即在上有解,设,则可变形为方程在区间内有解,进而求解即可.【详解】（1）证明:由得,代入得,则得到关于x的方程,由于且,所以,所以函数必有局部对称点（2）解:由题,因为函数在定义域内有局部对称点所以在内有解,即方程在区间上有解,所以,设,则,所以令,则,当时,,故函数在区间上单调递减,当时,,故函数在区间上单调递增,所以,因为,,所以,所以,所以（3）解:由题,,由于,所以,所以（*）在R上有解,令,则,所以方程（*）变为在区间内有解