2020-2021学年宜昌市一中高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年宜昌市一中高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共9小题，共45.0分)

1.设全集U={xEZ\-2<x<2},集合力={x\x2=1},B={x6Z|x2-2x<0},则2n(CuB)=

()

A.0B.{1}C.{-1}D.{-1,1}

2.设函数芹=/»倒在R上有定义,对于任一给定的正数翼，定义函数内网筹，则

称函数"启㈣I为庚痛的"翼界函数”若给定函数，阂"S-靓-虫那=包，则下列结论不成立的

是()

A.与如阐=乩强时B.,必,烦］=,乩“则.

C.曲蹲I卜14A匈D.4依闽=业闽

3,函数y=logaO-2)+l(a>0且aK1)的图象恒过的一个定点是()

A.(3,0)B.(3,1)C.(2,1)D,(2,2)

4.uxy>1"是"x>1,y>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.若/(x+1)=2/(久)，则/(无)的解析式可以是()

X

A./(%)=2xB./(%)=2C./(%)=x+2D./(%)=log2x

6.已知图1是函数朋=，：电礴的图象，则图罢中的图象对应的函数可能是()

7.函数f(X)=2s出(3乂+9)(3>0,一5<9<今的部分图象如图所示，则/6)=()

A.V3B.12

钟一

8.己知®：=一是函数,数礴=诵域则或:#的®®渥寓的一条对称轴，且S电卷的最大值为富底，则函数

因《:磅=:硼或M益#题

A.最大值是4,最小值是0B.最大值是2,最小值是-2

C.最小值不可能是-4D.最大值可能是0

9.已知函数/(X)=Asin^x+s)+b(4〉o,3>0,|<p|<$的图象上相邻的一个最大值点与对称

中心分别为脸,3)、垮,0),则函数/(久)的单调增区间为()

A2ZCTT7t2kli,2兀、.”n2/C7T47T2k7l71、,”

LZk+豆)，kezB.(Z----------,----------),keZ

A.'393"

厂1,2/CTT712/CTT7TT、.C2/C7T57r2k7i,冗、,“

C.(------——，---——)，kEZD.(Z----------,—+一),keZ

'318318y'318318y

二、多选题(本大题共3小题，共15.0分)

10.已知函数/(%)=sinxcosx—cos2%,贝！1()

A.函数/(%)在区间(0*)上为增函数

B.直线％=?是函数f(x)图像的一条对称轴

O

C.函数f(x)的图像可由函数y=js出2光的图像向右平移E个单位得到

D.对任意xeR,恒有/(?+久)+/(-%)=-1

11.=asin2x+bcos2x,其中a,bER,ab=A0,若f(%)<对一切％eR恒成立，则

以上结论正确的是()

A.常)=0

B.|端I<1/(=)I

C./(%)的单调递增区间是生兀+£,/ot+?](keZ)

63

D.存在经过点(a,b)的直线与函数/(%)的图象不相交

12.下列命题中，是真命题的是()

A.若五.'=五.落则方=c

B.正数a,b,若雷wGF,则aWb

C.当&EN+，使亚<x0

D.正实数久，y,贝hy=1是Igx+Igy=0的充要条件

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.请写出陈述句“%>0且yV1”的否定形式.

3

14.如果s讥a+cosa=那么s讥a—cosa的值为____.

4

-lx4-XE[0,-]

15.已知函数/(%)=[f42,g(%)=acosW+5-2a(a>0),若对任意的/6[0,1],

玲，女邑1]2

总存在久2e[0,1],使得/Qi)=g(>2)成立，则实数a的取值范围是.

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.己知等式sinl°+sin20+sin30+sin4°+—I-sinx°=sinl°■sin2°-sin3°-sin4°•sinx°,其

中x是正整数，当1WXW90时，满足该等式的x的个数为_(1)_；当1<久<2017时，满足该

等式的“的个数为_(2)_.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.计算下列各式：

(1)5-32+J(一烟2

(2)log225-log34-log59.

is.己知函数+3(MEZ)为偶函数，且在(0,刊。)上递增.

(1)求取的值，并确定/⑶的解析式；

(2)若gM=logX)-2x],求g⑶在了€(2,3]上的值域.

19.已知aE(，")，sinct=—.

z5

(1)求sin(a+$；

(2)求sing—2a).

20.(本题满分12分)生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年

衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.

(I)设生物体死亡时体内每克组织中的碳14的含量为1,根据上述规律，写出生物体内碳14的含量那

与死亡年数诡之间的函数关系式；

(n)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆汉墓的年

代.(精确到个位；辅助数据：额翡蚓麓佻■瞰鬻麴')

21.已知函数=喂手是奇函数，且f(2)=|.

(1)求实数?i的值；

(2)当x£(，2］时，求f(x)的值域.

22.求下列函数的最大值和最小值，并写出分别取得最大值和最小值时自变量a的值：

(l)y=2sina,ae［等,等］;

(2)y=3cosa,ae

(3)y=~^sina,a€［一.,一争.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：B={xeZ\x2-2x<0}=[0,1,2},

A={x\x2=1}={-1,1}.

则an(CuB)={-1},

故选c.

化简集合a、B；从而求集合an(CuB).

本题考查了集合的化简与集合的交，并，补运算，属于基础题.

2.答案：B

解析：试题分析：解=公，由已知$獭翼-布=鼠则基舞蝴|=蒙：-毒=鼠,粽麓：=T，

3明=庭一怎=嚣=嬴口W]，A正确；

翼炉T，翼-颂：=乳,雅翼项1=蒙：-缈=鼠.频墨侬"频瀚=节，B错误,选艮

由选择题的特性，C、。不需要再验证了.

考点：新定义问题.

3.答案:B

解析：解：令％-2=1,求得x=3,y-1,

故函数y=loga(x-2)+l(a>0且aH1)的图象恒过的一个定点(3,1),

故选：B.

令对数的真数等于1,求得久、y的值，可得函数图象经过的定点的坐标.

本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题.

4.答案:B

解析：解：当％=4,y=泄，满足孙>1,但无>Ly<1,故“久y>1"不能推出"x>1,y>1”,

而“%>1,y>T,能推出“孙>1”，

所以“久y>r是“x>1,y>r的必要不充分条件.

故选：B.

利用列举法可判定“孙>1”不能推出“尤>1,y>T,然后根据充分条件、必要条件的定义进

行判定即可.

本题主要考查了不等关系的判定，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能

力，属于基础题.

5.答案：B

解析：

本题考查了函数的解析式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

逐项经过验证即可判断.

解：/'（X）的解析式可以是/（久）=2X.

•••/（%+1）=2，+1=2X2，=2/（%）,满足条件，其它都不满足.

故选：B.

6.答案：C

解析：

本题考查函数的奇偶性，函数图象的对称性，属于简单题.

由图可判断出图鬟关于臂轴对称，是将臂轴左侧的图象沿臂轴翻折到右侧，即可求解.

由题意知，图^关于臂轴对称，是将胃轴左侧的图象沿臂轴翻折到右侧，

所以其对应函数应为朋=.非-|需俱.

选©.

7.答案：A

解析：

本题主要考查由函数y=Asin（a）x+⑴）的部分图象求解析式，属于一般题.

由周期求出3,由=2求出⑴的值，可得函数的解析式，从而求得/©）的值.

解析：

解：根据函数/（久）=2S讥（3久+0）（3>0,竹<9<5的部分图象，

可得”广詈-奈求得3=2.

由/信）=2得sin管+胃）=1,

故回+（/?=-+2/CTT,kEZ,即0=—+2kn,kGZ.

623

因为一扛9<自所以0=*,

所以fO)=2sin(2x-^).

故/（§=2sin|=V3,

故选A.

8.答案：D

解析：试题分析：由,温―施梨墙的一条对称轴是弋，得,冽物=/偿;，即蒯=趴/*浮=昌，

郎出.中

解得道=Q=跖如=B=-包，所以题第=富鼬I居•!•苦或题城=-3域k&；-包，故选D

考点：本题考查了三角函数的性质

点评：熟练掌握三角函数的性质是解决此类问题的关键，属基础题

9.答案:D

解析：

本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，利用已知条件求出函数的解析式是解决本题的关键，

属于中档题.

根据图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为篇,3）、（表0）即可求解4,3,0的值，可得解析

式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的单调区间上，解不等式得函数的单调区间.

解：由题意，对称中心为©,0）,可得b=0.

•••图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为篇,3）、仔,0）,

..-7=空_二，即7=三，

49183

••・3=,=3.4>0,A=3.

故得/（%）=3sin（3x+隼）.

将对称中心代入可得：sin（半+0）=0.

得：cp=kn,kEZ,

,•\（P\<p*-9

・••/（x）=3sin（3x+》

令——+2/CTT<3x+§Wa+2/CTT,kEZ,

解得：-kji——<%<-kyi+—jkEZ.

318318

故选：D.

10.答案：ABD

2

解析：解：函数/(%)=sinxcosx—cos%=—郎2"+1=立sin(2%

八，222、“2

对于4当xe(()2),所以2%—(-50),故函数在该区间上单调递增，故A正确；

o44

对于B：当x=等时，2刀-3=今函数f(x)达到最大值，故8正确；

对于C：要得到函数f(x)的图象将函数y=讥2x的图象向右平移/个单位得到g(x)=?sin(2x-

力的图象，故C错误；

对于D：由于函数/©+*)+/(—乂)=今1呜+2久一力一扛会叭―2x—力―1=0—1=—1，故

。正确.

故选：ABD.

首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质，单

调性，对称性和函数的图象的平移变换的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移

变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

11.答案：AB

解析：解：/(%)=asin2x+bcos2x,其中a,bER,ab0,若f(%)<|/。)|对一切则％ER恒成

立，

所以屣)1='出+)2=片a+则，

整理得小+3b2—2y/3ab=0,

故a=V3Z)>0,

所以/(%)=2bs讥(2%+g),

o

对于/：/(乎)=2bs讥(2x学+g)=2bs讥27r=0,故A正确；

12126

对于B：If第)|=\2bsin(^+^\=2bsin葭).

|%)|=126s讥(答)|>|2加in(翳),故8正确;

对于C：令2/CTT—巴<2%+巴<2/c7i+/(/cEZ),

262

解得/^一日<乂3人兀+?(k62),故c错误;

36

对于D：由于函数f(x)的最大值为26,所以经过点(a,6)的直线与函数的图象相交，故。错误；

故选:AB.

首先利用函数的恒成立问题的应用求出a=苗从进一步求出函数的关系式，再利用函数的单调性的

应用求出函数的单调区间，最后利用函数的值域求出经过(a,6)的直线恒与函数/(©的图象相交，从

而确定4、B、C、。的结论

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于基础题.

12.答案：BD

解析：解:对于力：若五不=五々=0，则3故A错误；

对于B：正数a,6,若一声整理得：a+b-2yB=(迎一证¥手0,则a4b,故8正确；

对于C：当x()eN+，使得瞪2久°,故C错误；

对于D：正实数x,y,贝hy=1是/gx+Egy=Igxy=0的充要条件，故。正确.

故选：BD.

直接利用向量的数量积，关系式的变换，不等式的应用，充分条件和必要条件的应用判断4、B、C、

。的结论.

本题考查的知识要点：向量的数量积，关系式的变换，不等式的应用，充分条件和必要条件，主要

考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

13.答案：x<0或y>1

解析：解：命题为全称命题，则“x>。且y<1”的否定形式为尤W0或y21,

故答案为：》40或3/21.

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

14.答案：土名

-4

解析：解:sina+cosa=

4

•••(sina+cosa)2=总

9

•••1+2sinacosa=—,

16

角牟得：2sinacosa=——；

令t=sina—cosa,

贝=Qsina—cosa)2=1+—=—,

t=+—,即sina—cosa=+—•

-4-4

故答案为：+名.

-4

对sina+cosa=两端平方可求得2sinacosa=——,于是可求得(sina—cosa)2=1+—=—,

4161616

再开方即可.

本题考查三角函数间的化简求值，考察二倍角的正弦的应用，属于中档题.

15.答案：[|苛

解析：

解：••・£€(”]时,f(X)=

.%”-2第(％+4)

•・/⑺-(%+2)2，

当xe&l]时，f(x)>0,函数"久)在点1]上为增函数，

当％e[0力时，函数f(x)为减函数，.•・/(>)e[0,口；

24

・•.在[0,1]上/(久)e[0,|];

又9(%)=acosg—2a+5中，

当％E[0,1]时，cosye[0,1],

**•g(%)G[—2a+5,—a+5]；

若对任意的%1e[0,1],总存在久2w[0,1],使得任%1)=g(%2)成立，

2

+5>

a--

3解得：-<ci

2a+5_<O

故答案为：[5,可].

根据/(%)的解析式求出其值域，再求出9(%)在％G[0,1]上的值域，由对任意的第1£[0,1],总存在%2E

[0,1],使得f(/)=g(%2)成立得到关于。的不等式组，从而求出。的取值范围.

本题考查了函数的零点以及数学转化思想，解题时应把函数零点的研究转化为元素与集合之间的关

系问题来解答.

16.答案:1

11

解析：解：当％=1时，结论显然成立,

当2<x<90时,sinl°+sin2°+sin30+sin4°+—卜sinx°>sinl°,

sinl°-sin20•sin30-sin40•sinx0<sinl°,

故当14%490时，满足该等式的工的个数为1,

同理可得：当90<%<180时，方程无解.

由于y=s讥％的周期为2兀，且si?il80°=s讥360。=0,

故当%>180时，sinl°-sin2°-sin30•sin40•...•sinx°=0,

而sinl°+sin20+sin30+sin40+—Fsin359°=sinl°+sin20+sin30+sin4°+—Fs讥360°=0,

・•・方程s讥1。+sin2°+sin3°+sin40+—Fsinx°=sinl°-sin20-sin30-sin40•...•s讥%。在每个周期

内有两解，

.♦.当1<%<2017时，满足该等式的x的个数为［翳］X2+1=11,其中［薪］表示瑞的整数部分.

故答案为：1,11.

根据正弦函数的性质判断方程在［1,360］上的解的个数，从而确定方程在［1,2017］上的解的个数.

本题考查了正弦函数的图象与性质，方程的个数判断，属于中档题.

17.答案：解：(1)原式=-2+2=0；

原工1国2lg-3lg5-

解析：(1)利用根式的运算性质即可得出；

(2)利用对数的换底公式即可得出.

本题考查了根式与对数的运算性质、对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题.

18.答案：⑴f(x)=x2；

(2)值域为yG［―1,+oo)

解析：解：(1)由于/(x)在(。,刊0)上递增，所以由军函数的性质得，-2m2+m+3>0,

3

解得-又因为所以m=。或1,当租=0时，/(%)=代不是偶函数.

当m=1B寸，f(x)=x2是偶函数，所以f(x)=x2；

⑵由⑴知g（x）=log：（x2-2x）设t=x2-2x,xe（2,3],贝代6（0,3],

此时g（久）在（2,3]上的值域，就是函数y=log/,t€（0,3]的值域；

由于0＜：＜1,y=log/在区间（0,3]上是减函数，所以y€[-l,+8）

19.答案：解：(1)已知ae(或")，sina=—.

z5

贝U：cosa=——,

5

所以：sin(a+9=sinacos-+cosasin-,

444

_VsV22VsV2

-5252'

_V10

-10.

(2)由于已知aEsina=—.cosa=——,

N55

故：cos2a=cos2a—sin2a=|,

.Vs,2恒4

SlTl2Q,CC—2Q.S171CCCOSOC—2Q,—,(----)——,

5k575

故：sin管—2a)=?|+日43+46

510

解析：（1）直接利用三角函数的定义求出结果.

（2）利用倍角三角函数的公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的

运算能力和转换能力，属于基础题型.

20.答案：（I）依题意,1个5730年后,

2个5730年后,

辞后即嬴个⑦。年后T岁

（n）由已知有解=阪1幅犀

于是聊斯==’,，

故马王堆汉墓大约是近2200年前的遗址.

解析：【试题解析】

本题考查理函数模型的选择和应用和理解题意的能力，属于基础题.

先求出经过几次半衰期，然后求出3即可找到答案,

21.答案：解：（1）根据题意，函数f（久）=哈3是奇函数，则有/（-久）=一，（久）,

即吧*=一妇*,变形可得一3x+n=—（3久+71）,

—3x+?i3x+?i

则有n=0,

又由/（2）=|,贝叶（2）=喏=|,解可得爪=2,

则771=2,71=0,

（2）根据题意，由（1）的结论，/（久）=^^=1（%+》,

其导数「（久）=|（1一2）