二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结二项式定理一、二项式定理：（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。对二项式定理的理解：二项展开式有项字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：字母的次数和组合数的上标相同与的次数之和为在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例1．等于（）A．B。C。D.例2．（1）求的展开式的第四项的系数；

（2）求的展开式中的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即③二项展开式的各系数的和等于，令，即；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：二项式系数最大的项；项的系数绝对值最大的项；项的系数最大的项和系数最小的项；二项式系数的和；各项系数的和多项式的展开式及展开式中的特定项求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式的展开式求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求的展开式中的系数例题：（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2）求的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：已知，求：（1）；（2）；（3）.六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：（1）进行近似计算（2）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式。如证明：取的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法当n不是很大，||比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。例题：的计算结果精确到0.01的近似值是 （）A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34整除性问题或求余数的处理方法①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的通常为1，若为其他数，则需对幂的底数再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了③要注意余数的范围，对给定的整数，有确定的一对整数和，满足，其中为除数，为余数，，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题：求除以7所得的余数例题：若为奇数，则被9除得的余数是（）A．0B。2C。7D.8例题：当且>1，求证【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在的展开式中，的系数为 （）A． B． C． D．2．已知，的展开式按a的降幂排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数n等于 （） A．4 B．9 C．10 D．113．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （）A．10 B．11 C．12 D．134．5310被8除的余数是 （） A．1 B．2 C．3 D．75．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 （）A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.346．二项式(nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 （）A．1 B．2 C．3 D．47．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是 （）A． B．1 C．2 D．38．在的展开式中的系数为 （）A．4 B．5 C．6 D．79．展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是 （） A．330 B．462 C．680 D．79010．的展开式中，的系数为 （）A．－40 B．10 C．40 D．4511．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0，2π]内的值为 （） A．或 B．或 C．或 D．或12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3n－5的 （）A．第2项 B．第11项 C．第20项 D．第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.13．展开式中的系数是.14．若，则的值为__________.15．若的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是

.16．对于二项式(1-x)，有下列四个命题： ①展开式中T=－Cx； ②展开式中非常数项的系数和是1； ③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； ④当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是1． 其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分.17．（12分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．求n的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．