2017年江苏省高考数学试卷考点卡片

考点卡片

1.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作AAB.

符号语言：AnB^[x\x£A,且在即.

AAB实际理解为：x是A且是8中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算形状：

@ADB=Br\A.②AC0=0.③AClA=A.④ACBUA,AQB^B.(5)AnB=A<=>A£B.©A

C2=0,两个集合没有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(Ans)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”

与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数

的单调性等联合命题.

2.函数的零点与方程根的关系

【函数的零点与方程根的关系】

函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一

样的.但是，他们的解法其实质是一样的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不

多讲了.我们重点来探讨一下函数零点的求法(配方法).

例题：求函数/(x)=)+5x3_27?-101%-70的零点.

解：,:于(x)=X4+5X3-27/-10U--70

=(%-5)・(x+7)・(x+2)・(x+l)

函数/(x)=X4+5X3-272-101x-70的零点是：5、-7、-2、-1.

通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的

乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0

时的解即可.

【考查趋势】

考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可.

3.利用导数研究函数的单调性

【知识点的知识】

1、导数和函数的单调性的关系：

⑴若f(x)>0在(a,b)上恒成立，则/(x)在(a,b)上是增函数，/(x)>0

的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

(2)若于'(x)<0在(a,b)上恒成立，则/(%)在(a,b)上是减函数，f'(x)<0

的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.

2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

(1)确定了(x)的定义域；

(2)计算导数，(x)；

(3)求出/(x)=0的根；

(4)用/(%)=0的根将/(无)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f

(x)的符号，进而确定了(x)的单调区间：f(x)>0,则/(x)在对应区间上是增函数，

对应区间为增区间；f(x)<0,则/'(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.

【典型例题分析】

题型一：导数和函数单调性的关系

典例1：已知函数/(x)的定义域为R,/(-1)=2,对任意xeR,f(x)>2,则/(x)

>2x+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(-°°,-1)Z).(-°°,+8)

解：设g(x)=/(x)-2x-4,

则g'(无)=f(x)-2,

•.•对任意尤CR,f'(x)>2,

对任意xeR,g'(x)>0,

即函数g(X)单调递增，

■:f(-1)=2,

.'.g(-1)=f(-1)+2-4=4-4=0,

则由g(x)>g(-1)=0得

x>-1,

即/(x)>2x+4的解集为(-1,+8),

故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用

典例2：已知函数/(无)=alnx-ax-3(aGR).

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)若函数y=/(x)的图象在点(2,7(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的正[1,

2],函数。(灯=炉+必『(乃+为在区间G,3)上总不是单调函数，求相的取值范围；

#.、十ln2ln3ln4Inn1

(ZTITlTlX)求证：---X---X---X…X----<一(九>272eN)•

234nnZ

解：(i)r'(X)=-(x>0)(2分)

当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+8)；

当。<0时，/(x)的单调增区间为口，+8),减区间为(0,1]；

当a=0时，f3不是单调函数(4分)

(II)/，(2)=-今=1得a=-2,f(x)=-llnx+lx-3

•*-g(x)=%3+(y+2)x2—2x,

；.g'(x)=3/+(m+4)x-2(6分)

Vg(x)在区间G,3)上总不是单调函数，且g'(0)=-2

<0

Uz(3)>0(8分)

由题意知：对于任意的花口，2],g'⑺<0恒成立,

(g'(i)vo

所以有：(g'(2)<0，----y-<m<-9(10分)

Q(3)>0

(III)令a=-1此时/(x)=-Irvc+x-3,所以/(1)=-2,

由(I)知/(x)=-Iwc^x-3在(1,+°°)上单调递增，

・••当xE(1,+°°)时/(%)>f(1),即-加x+x-l>0,

•二Vx-1对一切xE(1,+8)成立，(12分)

,:G2,〃EN*,贝！J有0V防〃V〃-1,

.0<咽<nZl

nn

.ln2ln3ln4Inn123n-11

••-----•------•-----••------<一•一—■-------=~(n>2,n6N*)

234n234nn

【解题方法点拨】

若在某区间上有有限个点使，(x)=0,在其余的点恒有(x)>0,则/(无)仍为增

函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f(尤)>0是/(x)在此区间上为增函数的

充分条件，而不是必要条件.

4.利用导数研究函数的极值

【知识点的知识】

1、极值的定义：

(1)极大值：一般地，设函数/(无)在点X0附近有定义，如果对冲附近的所有的点，都有

f(x)<f(xo)>就说/(xo)是函数/(x)的一个极大值，记作y极大值=/(xo),xo是极大值

点;

(2)极小值：一般地，设函数/(x)在切附近有定义，如果对xo附近的所有的点，都有了

(x)>/(xo),就说/(xo)是函数/(x)的一个极小值，记作y极小值=/(xo),xo是极小值

点.

2、极值的性质：

(1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比

较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；

（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止

一个；

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最

大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

3、判别fU）是极大、极小值的方法：

若X0满足/（xo）=0,且在X0的两侧/（X）的导数异号，则无0是/（X）的极值点，f（X0）

是极值，并且如果（X）在X0两侧满足“左正右负”，则尤0是/（X）的极大值点，/U）

是极大值；如果f（无）在X0两侧满足“左负右正”，则X0是/（无）的极小值点，/（xo）

是极小值.

4、求函数/（X）的极值的步骤：

（1）确定函数的定义区间，求导数，（X）；

（2）求方程/（x）=0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检

查/（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么/（x）在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么/（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，

则/（x）在这个根处无极值.

【解题方法点拨】

在理解极值概念时要注意以下几点：

（1）按定义，极值点X0是区间［a,切内部的点，不会是端点a,b（因为在端点不可导）.

（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的

连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能

大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比

极小值大，极小值不一定比极大值小.

（3）若/（x）在（a,b）内有极值，那么/（x）在（a,b）内绝不是单调函数，即在区间

上单调的函数没有极值.

（4）若函数/（x）在［a,切上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个

极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，

当函数/（x）在［a,切上连续且有有

限个极值点时，函数/（x）在［a,切内的极大值点、极小值点是交替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的

点也可能是极值点，也可能不是极值点.

5.二元一次不等式（组）与平面区域

【知识点的知识】

二元一次不等式（组）与简单线性规划问题

1、二元一次不等式表示的平面区域

一般地，直线/：ax+by+c=O把直角坐标平面分成了三个部分：

①直线/上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=O；

②直线/一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+6y+c>0；

③直线/另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足办+6y+c<0.

所以，只需在直线/的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（xo,yo）,从函+byo+c值的正

负，即可判断不等式表示的平面区域.

2、线性规划相关概念

名称意义

目标函数欲求最大值或最小值的函数

约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组

可行解满足约束条件的解（X,y）

可行域由所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解,通常在可行域

的顶点处取得

二元线性规如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次

戈问题函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题

3、线性规划

（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不

等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量尤、

y的解析式，我们把它称为目标函数.由于2=-+出又是关于x、y的一次解析式，所以又

可叫做线性目标函数.

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规

戈U问题.

（3）那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可

行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（xi，J1）和（X2,

y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的

最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行.

4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

②设z=0,画出直线/o.

③观察、分析，平移直线的从而找到最优解.

④最后求得目标函数的最大值及最小值.

5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：

首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.

然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的

解.

最后,还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.

【典型例题分析】

题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域

典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线>=履+［分为面积相等的两部分，则上的值是

（）

3734

分析：画出平面区域，显然点(。，?在已知的平面区域内，直线系过定点(。，-)，结合

图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.

解答：不等式组表示的平面区域如图所示.

由于直线>="+9过定点(°,因此只有直线过42中点时,直线>=依+当能平分平面

区域.

因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点。(-,

22

4155k47

-+所以-

「

「--=-

3222233

答案：A.

点评：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.

注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可

以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.

题型二：求线性目标函数的最值

%_与忘一3

<3x+5〉W25

典例2：设x,y满足约束条件：,求2=%+>的最大值与最小值.

分析：作可行域后，通过平移直线/o：x+y=O来寻找最优解，求出目标函数的最值.

解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1,),作

出直线/o：x+y=O,再将直线/o平移，当/o的平行线4过点2时，可使z=x+y达到最小值;

当I。的平行线b过点A时，可使Z=x+y达到最大值.故Zmin=2,Zmax=7.

'、*

/ojr+y=0

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.

（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线

的纵截距的关系.

题型三：实际生活中的线性规划问题

典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假

设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价

黄瓜4吨1.2万元0.55万元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植

面积（单位：亩）分别为（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，

设出目标函数，转化为线性规划问题.

‘x+yW50

解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知）L2x+0.9y=54

&yeN+

求目标函数z=x+0.9y的最大值，

根据题意画可行域如图阴影所示.

当目标函数线/向右平移，移至点A（30,20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植

30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大.故答案为：B

点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列

成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如

下步骤完成：

（1）作图--画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的

那一条Z；

（2）平移--将/平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；

（3）求值--解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值.

题型四：求非线性目标函数的最值

X-2^0,

<x+2j—4>0,

典例4：（1）设实数x,>满足12y-3W0，，则的最大值为一.

%+介2,

<xWL

（2）已知。是坐标原点，点A（1,0）,若点M（x,y）为平面区域上11'式2，的一个

动点，则|区4+而I的最小值是.

分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一

般要结合给定代数式的几何意义来完成.

解答：（1）表示点（尤，y）与原点（0,0）连线的斜率，在点（1,-）处取到最大值.

x2

（2）依题意得，OA+OM=（x+by）,|区4+oM=+4尸+可视为点（x,y）与点

（-b0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，

在该平面区域内的点中，由点（-1,0）向直线x+y=2引垂线的垂足位于该平面区域内，

且与点（-1,0）的距离最小，因此|易+公/|的最小值是=芷.

2

故答案为：（1）-（2）——

22

点评：常见代数式的几何意义有

（1）Jx。+y。表示点（x,y）与原点（0,0）的距离；

（2）J（x—a），+（y—b），表小点（x,y）与点（a,b）之间的距禺;

（3）?表示点（x,y）与原点（0,0）连线的斜率；

x

（4）~表示点（x,j）与点（a,b）连线的斜率.

x-a

【解题方法点拨】

1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.

2.在通过求直线的截距三的最值间接求出z的最值时，要注意：当6>0时，截距三取最大值

bb

时，z也取最大值；截距三取最小值时，z也取最小值；当匕<0时，截距日取最大值时，z取

bb

最小值；截距土取最小值时，z取最大值.

b

6.基本不等式及其应用

【概述】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几

何平均数小于或等于它们的算术平均数.公式为：号二两（。》0,b20），变形为ab

W（―）2或者强.常常用于求最值和值域.

2

【实例解析】

例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

A：a,b均为负数，则一+—>2.B：,>2.C：sinxH——>4.D：

b2asmx

3

aeR+,(3-a)(l-^)<0.

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、8、。均

满足条件.

对于C选项中sinxW±2,

不满足“相等”的条件，

再者sinx可以取到负值.

故选：C.

A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分

子其实可以写成/+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个

式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求)，=春的最值？当时，如何求)，=器的最大值.

解：当x=0时，y=0,

当xWO时，y=:=—

用基本不等式

若x>0时，0<〉三斗，

若％<0时，-平=y<0,

综上得，可以得出一或

y=J'的最值是一宁与*一-

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表

示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素(函数)相加，

而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【基本不等式的应用】

1、求最值

例1:求下列函数的值域.

⑴y=3x在*⑵y=x+1

解：(Dy=3x2+会22y3x2•奈=纨...值域为[比,

(2)当x>0时，尸x+[2=2；

当r<0时，y=x+；=-(-X-)<-2\/x=-2

XXy2k

...值域为(-00,-21UF2,-MO)

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、b、ceR-,且a+b+c=l。求证：［1-1j||-1'|A-ij>8

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

1-1=1Z£=^£>2^£,可由此变形入手。

颉..一D,,L,1.1,1-ab+c2->fbc日工由1,2y/ac12yfab

解：.ct\b\ceR5a+b+c=l。..一一1=---=----2-----。\口」于里一一12-----5——12-----°

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

8。当且仅当a=b=c=L时取等号。

3

3、基本不等式与恒成立问题

19

例3：已知x>0j>0且一+—=1,求使不等式x+yNm恒成立的实数m的取值范围。

xy

行人.八19,x+y9x+9y.10y9x.

:之x+"V=±x>0A：y>0：—+—=1,----+------=1.—+——+——1

xykxkykkxley

ina

>2-o.\jt>16,we(^o,16]

kk

4、均值定理在比较大小中的应用

例4：若a>b>1：尸=Jlga-lg乩Q=g(lga+lg=lg(^^),则尸：2出的大小关系是_______

分析：a>b>1.'.lga>OJg6>0

0=((lga+lgi)>Jlga>gb=p

R—lg(>lg^[ab=—lgdb—Q.\R>Q>Po

【解题方法点拨】

技巧一：凑项

例1：已知求函数】，=4叉-2的最大值。

44x-5

解：因4x-5<0,所以苜先要，调整，符号，又(4x-2>—!—不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,

4x-5

・・・x<之,二5-4x>0，二)=4x-2+---=-；5-4x+―-—|+3«-2+3=1

44x-5I5-4xJ

当且仅当5-4x=」一,即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，vffla=U

5-4x

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.

技巧二：凑系数

例2：当0cx<4时，求?=尤(8-2无)的最大值.

解析：由0<x<4知，8-2x>0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题

为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将>=尤

(8-2x)凑上一个系数即可.

尸x(8-2x)=1[2x'(8-2x)]<1(2X+^-2X)2=8

当2x=8-2x,即x=2时取等号，当x=2时，y=x(8-x2)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不

等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求>=匚笥。(x>-1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离.

2

x^t10=(x+l)+5(x+l)+4=(a)+45,

x+1x+1x+1

当x>-1,即x+1>0时，J(x+1)x^j-+5=9(当且仅当x=l时取"=”号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令£=冗+1,化简原式在分离求最值.

技巧五：结合函数/（九）=计三的单调性.

2

例4：求函数>，=与x二+5的值域。

VX2+4

解：令&2+4=r«N2）,川[一£+5=.」（,>?）

y/x1+4Jx2+4t

因=但/=；解得r=±l不在区间[2+8）,故等号不成立，考虑单调性。

因为》，=/+；在区间口内）单调递增，所以在其子区间[2,+8）为单调递增函数，故）亚^。

所以，所求函数的值域为：,+8〉

技巧六：整体代换

1Q

例5：已知x>0»>0,且一+一=1,求x+y的最小值。

xy

故（x+）'）1ns=12。

错因：解法中两次连用基本不等式，在x+122历等号成立条件是x=y,在白+2z2区等号成立条

XV[孙

件是乙1=一9即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，—在利用基本不等式处理问题时，列出等

xy

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检睑转换是否有误的一种方法。

[9：]9\I，9JV

正解：-+—=1>二x+>=|x+j]]—+—=—+-+10±6+10=16

xy"yjxy

n»Qv19

当且仅当士=二时，上式等号成立，又一+—=1,可得x=4j=12时，（x+y）jnin=16o

xyxyatl

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.

技巧七：取平方

例6:求函数]，=四口+屿二五&<x<|)的最大值。

解析：注意到2X-1与5-2X的和为定值。

y2=(5-1+，5-2切2=4+27(2%-1)(5-2x)<4+(2x-l)+(5-2x)=8

又y>0,所以O<yW20

当且仅当2X-1=5-2X,即x=：时取等号。故为红=2&。

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件.

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些

变形技巧，积极创造条件利用基本不等式.

7.等比数列的通项公式

【知识点的认识】

1.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列

叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母g表示(g=0).从等比数列的

定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.

2.等比数列的通项公式

设等比数列｛斯｝的首项为m，公比为4,则它的通项斯

3.等比中项：

如果在a与6中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与6的等比

中项.G2=a,Z?(abWO)

4.等比数列的常用性质

,1m

(1)通项公式的推广：an=amq',(n,mEN*).

(2)「若｛斯｝为等比数列,Hk+l=m+n,(k,I,m,nEN*),则延•。/=加・斯

(3)若｛斯｝,｛劣｝(项数相同)是等比数列，贝I]｛加"｝[a],[an-bn],仍是等比数

列.

(4)单调性：卜1>°或卜1<0=｛即｝是递增数列；卜工>°或0Pli｛斯｝是递减数歹U；

(0<q<1(0<q<1

q=l=｛斯｝是常数列；夕<0=｛斯｝是摆动数列.

8.数列的应用

【知识点的知识】

1、数列与函数的综合

2、等差数列与等比数列的综合

3、数列的实际应用

数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合.

9.平面向量数量积的性质及其运算

【知识点的知识】

1、平面向量数量积的重要性质：

设z,6都是非零向量，"是与3方向相同的单位向量，z与：和夹角为&则：

⑴a-e=e-a=|a|cos0；

（2）aJL•b=0;（判定两向量垂直的充要条件）

（3）当；,'方向相同时,a-b=lallhl；当Z，Z方向相反时,a-&=-lall&l;

特别地：a•a=|aF或lal=Va,a（用于计算向量的模）

TT

（4）cose=^4（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）

\a\\b\

（5）|a-d|^|allW

2、平面向量数量积的运算律

（1）交换律：a-b=b-a；

（2）数乘向量的结合律：（入片）•匕=入（a-ft）=a*（Ad）；

（3）分配律：（0•5）*c工Z・（b-c）

【平面向量数量积的运算】

平面向量数量积运算的一般定理为①（a±&）2=a2+^-b+b2.②"二）（a+&）

=/-*.③U（嬴）¥（；•h）•；,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是

相同的，有些不一样.

【例题解析】

例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①"mn=nm”类比得到"71=晨a"

②a（m+n）t=mt+nt”类比得到“（a4-&）*c=Q・C+b・c”；

③“/WO,mt=nt=>m=n9类比得到“cH0'a•c=b.C=Q=c”;

④“防•川=|阿・|川”类比得到喝.，尸面・山”;

⑤"（m•几）t—m（〃”）”类比得到“（a.b）・c=a•（b•c）”；

TTT

⑥，，竺=巴，类比得到眨=1以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.

bebb■ca

解：..•向量的数量积满足交换律，

:."mn=mn"类比得到£=/Z”,

即①正确；

•••向量的数量积满足分配律，

...”（，〃+〃）t=mt+nt"类比得到“（a+b），c=a-c+b•c\

即②正确；

•••向量的数量积不满足消元律，

，“rWO,皿=加=>m=〃”不能类比得到"ZHO,a-c=b-c=>a=Z”,

即③错误；

V|a

Aa\m-n\=\m\-\n\"不能类比得到“百）|=而亩”；

即④错误；

•••向量的数量积不满足结合律，

:.t=m（"•/）”不能类比得到“G））・Z=£•（?•））”，

即⑤错误；

:向量的数量积不满足消元律，

...竺=巴’不能类比得到

bebb*ca

即⑥错误.

故答案为：①②.

向量的数量积满足交换律，由“mn=nm''类比得到"71=/节;向量的数量积满足分

配律，故“（加+〃）—加+加”类比得到“（3+5）4=>？+。］'；向量的数量积不满足

消元律，故at^0,mt=nt^>m=n"不能类比得到"ZH0,a-c=b-c=>a=7'；la'bl#

lal-lbl，故“防•川=|时间”不能类比得到“自工|=而•俞’；向量的数量积不满足结合律，

故“（»〃）t=m不能类比得到“（Z工）4=1（羡？）”；向量的数量积不满足消元

T——

律，故一=—"不能类比得到=-二==.

bebb・c々

【考点分析】

本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点,

题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握.

10.复数的运算

复数的加、减、乘、除运算法则

设Zi=a+bi，z2=c+b,c,R),贝U：

(1)加法：Z]+z?=(a+历)+(c+di)=(a+c)+(6+0i；

(2)减法：Zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(6-</)i；

(3)乘法：Z\-Zi=(a+bi)(c+di)=(ac-5J)+(ad+bc)i；

Zi_a+历_(a+历)(仁一di)

(4)除法:

Z2c+di(c+di)(c-di)

(ac+bd、+(be-

(c+di#0).

c2~^d2

11.分层抽样方法

【知识点的认识】

1.定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，

常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行

抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”.

2.三种抽样方法比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随机抽样抽样过程中每个从总体中逐个抽总体中的个体数

个体被抽取的概取较少

系统抽样率是相同的将总体均匀分成在起始部分抽样总体中的个体数

几个部分，按事时采用简单随机较多

先确定的规则在抽样

各部分抽取

分层抽样将总体分成几各层抽样时采用总体由差异明显

层，分层进行抽简单随机抽样或的几部分组成

取系统抽样

【解题方法点拨】

分层抽样方法操作步骤：

（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；

（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；

（3）确定各层应抽取的样本容量；

（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样,

组成样本.

【命题方向】

（1）区分分层抽样方法

例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任

意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）

A.简单随机抽样法&抽签法C.随机数表法D.分层抽样法

分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样

解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400=5：4,所抽取的比例也是5：4.

故选。

点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题.

（2）求抽取样本数

例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽

出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）

A.8,8B.10,6C.9,70.12,4

分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得

到该层应抽取的个体数.

解答：每个个体被抽到的概率等于一上=三，54xJ=9,42xJ=7.

54+42666

故从一班抽出9人，从二班抽出7人，

故选C.

点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该

层应抽取的个体数.

例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为

了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7

人，则样本容量为（）

A.35B.25C.15£).7

分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可.

解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3,

7

所以样本容量为，-=15.

15

故选C.

点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每

个个体被抽到的概率，就得到样本容量〃的值.

12.几何概型

【考点归纳】

1.定义：若一个试验具有下列特征：

（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；

（2）每次试验的各种结果是等可能的.

那么这样的试验称为几何概型.

2.几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域0,事件A所对应的区域

用A表示（AUQ）,则尸（A）=譬称为事件A的几何概率.

13.离散型随机变量的期望与方差

【知识点的知识】

1、离散型随机变量的期望

数学期望：一般地，若离散型随机变量t的概率分布为

XI・・・・・・

X2Xn

・・・・・・

PP1P2Pn

则称E《=Xipi+X202+……为§的数学期望，简称期望.

数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的

平均水平.

平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量，的概率分布中，令pi=p2=-=p〃，

则有m=P2=3=Q=LEf=（X1+X2+…+初）X±所以孑的数学期望又称为平均数、均

值.

期望的一个性质:若“=俄+》,则E（或+6）=aEf,+b.

2、离散型随机变量的方差；

方差：对于离散型随机变量亭如果它所有可能取的值是处，X2,…，xn,且取这些值

的概率分别是pi，P2>,"，P"…，那么，

D匕=（Xi-EJ）2-Pl+（x?-砧）2PlT------卜（X.-E^y-p„+…称

为随机变量孑的均方差，简称为方差，式中的段底是随机变量孑的期望.

标准差：的算术平方根画叫做随机变量孑的标准差，记作匠.

方差的性质：①;。（。5+匕）=。'。5；②。5=石，一（石幻）

方差的意义：

（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳

定与波动、集中与离散的程度；

（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.

14.程序框图

【知识点的知识】

1.程序框图

（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来

准确、直观地表示算法的图形；

（2）构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不

X___，可缺少的.

-输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何

Z7需要输入、输出的位置.

11处理框赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等，

它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内.

判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”

O或“丫”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”.

流程线算法进行的前进方向以及先后顺序

r1

O连结点连接另一页或另一部分的框图

--I1注释框帮助编者或阅读者理解框图

(3)程序框图的构成.

一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程

序框内必要的说明文字.

15.三角函数中的恒等变换应用

【知识点的认识】

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.

(2)商数关系：-=tana.

cosa

2.诱导公式

公式一：sin(a+2^ii)=sina,cos(a+2E)=cosa,tan(a+2Zir)=tana,其中

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(ir+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

公式四：sin(TT-a)=sina,cos(n-a)=-cosa,tan(JI-a)=-tana.

公式五：sin(——a)=cosa,cos(——a)=sina,tan(——a)=cota.

222

公式六：sin(—|-a)=cosa,cos(—|-a)=-sina,tan(—ba)=-cota.

222

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<a-P)：cos(a-p)=cosacosP+sinasinP；

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacos0-sinasin0；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinac