矩形的性质（分层作业）-八年级数学下册（人教版）（解析版）

人教版初中数学八年级下册18.2.1矩形的性质同步练习夯实基础篇一、单选题：1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（

）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对边平行且相等【答案】C【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．【详解】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；它们的对边都具有平行且相等的性质，∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质是本题的关键．2．如图，在中，于点且于点，连接，则的长为（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】已知，，则和是直角三角形，，即；根据，则是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出答案．【详解】∵，∴和是直角三角形，又∵，∴，∴∵∴是直角三角形，∴．故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边一半，理清题意，得出是直角三角形是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若，，则图中阴影部分图形的面积和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，∴阴影部分的面积＝×矩形的面积，∵，，∴AB＝2，∴阴影部分的面积＝，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．4．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故C正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若EF＝6cm，则AC的长是(

)A．6cm B．12cm C．24cm D．48cm【答案】C【分析】根据三角形中位线定理可得EF=DO，再根据矩形的对角线的性质可得AC长．【详解】解：∵点E，F分别是AO，AD的中点，∴EF=DO，∵EF=6cm，∴DO=12cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=2DO=24(cm)，故选：C．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等．6．如图，在长方形中，，．将沿折叠，使点的对应点落在上，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得，，在中，由勾股定理即可求解．【详解】解：四边形是矩形，，，折叠，，在中，，，在中，，，．故选D．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．7．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于，若，则的度数为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再由角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∵∠DAO=30°，∴∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO=60°，OB=AB，∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，∴∠BEO=×（180°-30°）=75°．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．二、填空题：8．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则________．【答案】##17度【分析】连接，交于点，先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案．【详解】解：如图，连接，交于点，四边形是矩形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键．9．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．【答案】5【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长．【详解】如图，连接OB，∵B的坐标为（4，3），∴∵四边形OABC是矩形∴AC=OB=5故答案为：5．【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等．10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在BC上且BE=2，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，则随着点P的运动，线段MN长的取值范围为__________．【答案】【分析】根据三角形中位线定理，先求出的取值范围，进而求出的取值范围．【详解】解：连接，∵M，N分别是AE，PE的中点，∴，由题意可知：当点与点重合时，最长，此时：，，当当点与点重合时，最短，此时：，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查三角形中位线，解题的关键是确定动点P的两个边界点．11．如图，在中，是高，E，F分别是的中点．若四边形的周长为24，，则_____．【答案】9【分析】根据线段中点的概念得到根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据四边形的周长公式得到，进而求出．【详解】∵E，F分别是的中点，∴∵是高，∴，∵E，F分别是的中点，∴，∴四边形的周长，∵四边形的周长为24，∴，∵，∴，故答案为：9．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝________．【答案】2.4【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OB=，S△AOB=S矩形ABCD=3，然后由S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，即可求得答案．【详解】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，∴S矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，∴S△AOB=S矩形ABCD=3，OA=OB=，∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=××（PE+PF）=3，∴PE+PF==2.4．故答案为：2.4．【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的度数是_________．【答案】15°##15度【分析】根据矩形的性质有DO=OA=OB=OC，结合OG⊥AC，可知OG是AC的垂直平分线，即有∠COG=90°，AG=CG，则有∠OAG=∠OCG，根据∠BOG=15°，可得∠COB=75°，进而有∠OCB、∠OBC的度数，则可得∠OCD=∠BCD-∠OCB=，即问题得解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且AC、BD相互平分，，∴DO=OA=OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵OG⊥AC，∴OG是AC的垂直平分线，∠COG=90°，∴AG=CG，∴∠OAG=∠OCG，∵，∴∠OAG=∠OCD，∵∠BOG=15°，∠COG=90°，∴∠COB=75°，∵∠OCB=∠OBC，∴在△OBC中有∠OCB=∠OBC=，∵在矩形ABCD中∠BCD=90°，∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=，∴∠OCD=∠OAG=∠OCG=，∴∠BCG=∠BCD-∠OCD-∠OCG=，故答案为：15°．【点睛】本题考查了矩形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行的性质等知识，根据矩形的性质得出OG是AC的垂直平分线是解答本题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，沿EF折叠C落在处，当为等腰三角形时，BC=________．【答案】18或15或21.9【分析】分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．【详解】解：∵沿EF折叠C落在处，∴，，，∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，∴，当时，CE=AE=13，∴BC=BE+CE=18；当时，过点A作于点G，则，∵AE⊥EF，∴，∵，∴，∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，∴，∴EG=BE=5，∴，∴CE=10，∴BC=BE+CE=15；当时，过点作于点M，连接交EF于点N，连接AF，则AE=2ME，，，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴此时点落在AD上，，∴，设DF=x，则，∵，∴，解得：，∴，设CE=a，则AD=BC=5+a，∵，∴，解得：a=16.9，∴BC=21.9；综上所述，BC=18或15或21.9．故答案为：18或15或21.9【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．三、解答题：15．已知：如图，在矩形中，，．对角线的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长．【答案】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，设，表示出的长度，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：连接，如图所示：∵四边形是矩形，∴，∵是的垂直平分线，∴，设，则，在中，即解得：x=5∴【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质；熟练掌握勾股定理和矩形的性质是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．【答案】【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，证得AE是线段OB的垂直平分线，然后证得△OAB是等边三角形，求得AB=OB=4，再利用勾股定理即可求得AD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE=2，DE=6，∴BD=8，∴OB=4，∴BE=EO=2，∵AE⊥BD于E，∴AE是线段OB的垂直平分线，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴AB=OB=4，∴AD==4．【点睛】此题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．17．已知：如图，分别是的中点，求证：．【答案】见解析【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证明，再利用等腰三角形的性质可证明；【详解】证明：如图所示，连接，，是的中点．Rt中，，Rt中，，，又是的中点，；综上所述，．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质．18．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和交点，且．（1）证明为等边三角形；（2）求的度数．【答案】（1）见解析；（2）135°．【分析】（1）先根据矩形的性质得到、，再证明即可证明结论；（2）先说明，再求得，最后根据角的和差解答即可．【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAD∴∠BAE=45°∵∠CAE=15°∴∠BAC=60°∵AO=BO∴△AOB是等边三角形（2）解：∵△AOB是等边三角形∴AB=BO∵AB=BE∴BE=BO∴∠BOE=∠BEO∵∠OBE=90°－60°=30°∴∠BOE=∠BEO=（180°－30°）÷2=75°∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，∴AD=OC=10，DC=AO=8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中,OF==6，∴FC=10−6=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3，∴点E的坐标为(10,3)．故选择A．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．2．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】首先连接，根据矩形的性质，得出，，，，再根据，得出线段是线段的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线定理，可得，然后设，则，根据勾股定理，得出，解出即可得出的长．【详解】解：如图，连接，∵四边形是矩形，∴，，，，又∵，∴线段是线段的垂直平分线，∴，设，则，在中，∵，∴，解得：，∴．故选：A【点睛】本题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线定理、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．3．如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据矩形的性质可得的面积为，再根据平行四边形的性质可得平行四边形的面积为，同样的方法可得平行四边形和平行四边形的面积，然后归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：矩形的面积为5，的面积为，四边形是平行四边形，平行四边形的面积为，同理可得：平行四边形的面积为，平行四边形的面积为，归纳类推得：平行四边形的面积为，其中为正整数，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关键．二、填空题：4．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__．【答案】【分析】先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】解：如图，连接，，，，，于，于，四边形是矩形，，互相平分．且，，的交点就是点．当的值最小时，的值就最小，当时，的值最小，即的值最小．，，，，，，，；故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(5，0)，(0，3)，点P在BC边上运动，当OAP是等腰三角形时，点P的坐标为_____．【答案】(,3)或(4，3)或(1,3)【分析】作PM⊥OA于M，则PM=OC=3，当△OAP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PA时，②OP=OA=5时，③AP=OA=5时，分别取OM的长即可．【详解】解：∵四边形OABC是矩形，顶点A、C的坐标分别为(5,0)、(0,3)，∴∠B=90°，OC=AB=3，OA=BC=5，作PM⊥OA于M，如图：则PM=OC=3，当△OAP是等腰三角形时，分三种情况：PO=PA时，点P在OA的垂直平分线上，OM=AM=OA=，∴P点的坐标为：(,3)；OP=OA=5时，OM==4，∴P点的坐标为：(4,3)；AP=OA=5时，AM==4，∴OM=OA-AM=1，∴P点的坐标为：(1,3)；综上所述，P点的坐标为：(,3)或(4,3)或(1,3)；故答案为：(,3)或(4,3)或(1,3)．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是关键．6．如图，在矩形ABCD中，，的平分线交BC于点E，于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是______．【答案】①②③【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE＝AB，从而得到AE＝AD，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD，证明△BEH≌△HDF（ASA），可得BH＝HF，得到③正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵AD＝AB，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°−45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°−45°−67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正确；在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∵∠AHB＝（180°−45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DHO＝90°−67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°−45°＝22.5°，∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故②正确；∵∠EBH＝90°−67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，故③正确