平行线（3个知识点+5类热点题型练）（解析版）-七年级数学下册

第04讲平行线课程标准学习目标①平行线的定义②平行线的画法③平行公理及其推论掌握平行线的定义并能够判断平行线。掌握平行线的画法能够画已知直线的平行线。掌握平行公理及其推论，并能够熟练运用。知识点01平行线的定义平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。若直线平行于直线，则记作，读作平行于。注意：一定要在同一平面内；且一定要是直线且永不相交。在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种，相交与平行。【即学即练1】1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．知识点02平行线的画法过已知点作已知直线的平行线的画法的具体步骤：一落：把三角板的一边落在已知直线上。二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺。三移：沿直尺移动三角板，使原来落在已知直线上的边经过已知点。四画：沿原来落在已知直线上的边画直线。即为已知直线的平行线。【即学即练1】2．如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．知识点03平行公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有1条直线与这条直线平行。强调：①这一点必须在直线外，不能再直线上。②有且只有即为存在且唯一。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即若，则∥。拓展：如果两条直线都与第三条直线垂直，这这两条直线相互平行。即垂直于同一直线的两直线平行。【即学即练1】3．下列说法正确的是（）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断．【解答】解：先根据要求画出图形，图形如图所示：根据所画图形可知：A正确．故选：A．题型01两直线的位置关系【典例1】在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系．【分析】根据两直线的位置关系解答即可．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行．【变式1】在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答．【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．故选：A．【变式2】如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定【分析】根据平行公理解答即可．【解答】解：观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．故选：A．题型02判断正方体长方体中平行的棱【典例1】如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（）A．BC B．CG C．EH D．HG【分析】在同一平面内，不相交的两直线平行，根据平行线的定义，结合图形直接判断即可．【解答】解：结合图形可知，与棱AB平行的棱有CD，EF，GH．故选：D．【变式1】如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有条．【分析】与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．【解答】解：与AB平行的线段是：DC、EF；与CD平行的线段是：HG，所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC．故答案为：EF、HG、DC．【变式2】在如图的长方体中，既与平面A1B1C1D1平行，又与平面AA1D1D平行的棱是BC．【分析】根据平行线的定义以及长方体的特点解决此题．【解答】解：由题意得，既与平面A1B1C1D1平行，又与平面AA1D1D平行的棱是BC．故答案为：BC．题型03画平行线【典例1】在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2．【分析】点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2即可．【解答】解：如图所示，【变式1】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线．【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线；（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；（3）取AE上D右边的点F，过B，F的直线即为所求．【解答】解：如图，（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；（3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．题型04平行公理理解【典例1】下列说法正确的是（）A．经过一点有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确．故选：D．【变式1】过直线l外一点A作l的平行线，可以作（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行公理作答．【解答】解：因为平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故选：A．【变式2】已知，P是任意一点，过点P画一条直线与BC平行，则这样的直线（）A．有些只有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在【分析】分点P在BC上和不在BC上两种情况，根据平行公理解答即可．【解答】解：①若点P在直线BC上，则不能画出与BC平行的直线，②若点P不在直线BC上，则过点P有且只有一条直线与BC平行，所以，这样的直线有一条或不存在．故选：D．题型05平行公理的推论【典例1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根据平行公理及推论，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意；B、∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意；C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意；D、∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意；故选：C．【变式1】已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（）A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一个平面内【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．【解答】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d；当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正确；故选：C．【变式2】a、b、c是直线，下列说法正确的是（）A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c【分析】根据平行公理以及平行线的性质判断即可．【解答】解：A、在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，原说法错误，不符合题意；C、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，符合题意．故选：D．【变式3】同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系【分析】作出图形，根据平行公理的推论解答．【解答】解：如图，∵a∥b，a⊥c，∴c⊥b，又∵b⊥d，∴c∥d．故选：B．1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对【分析】根据直线的位置关系解答．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：C．2．下列说法正确的是（）A．两点之间，直线最短 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离【分析】分别根据线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义判断即可．【解答】解：A．两点之间，线段最短，故A不符合题意．B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故B不符合题意．C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C符合题意．D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故D不符合题意．故选：C．3．下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．平角是一条直线 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【分析】根据平行线、垂线的性质，角和直线的概念逐一判断可求解．【解答】解：A．应强调在同一平面内，错误；B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；C．直线与角是不同的两个概念，错误；D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．故选：B．4．在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线得出即可．【解答】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，∴b与c的位置关系是相交，故选：B．5．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】根据长方体得出结论即可．【解答】解：由题意知，在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有3条，故选：C．6．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据长方体即平行线的性质解答．【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．故选：B．7．如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（）A．1条 B．2条 C．3 D．4条【分析】由平行公理，即可判断．【解答】解：∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，∴过直线l外一点O的四条直线中，最多只有一条直线与l平行，∴与直线l相交的直线至少有3条，故选：C．8．下列说法正确的是（）A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；垂线段的性质可得答案．【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误；B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原题说法错误；C、直线外一点与该直线上所有点的连线中垂线最短，故原题说法错误；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法正确；故选：D．9．下列说法不正确的是（）A．过马路的斑马线是平行线 B．100米跑道的跑道线是平行线 C．若a∥b，b∥d，则a⊥d D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据平行线定义“同一平面内不相交的两条直线互相平行”知A，B均正确，根据平行公理及推论，可得C错误，D正确．【解答】解：A、B、由平行线的定义可知，斑马线是平行线，100米跑道的跑道线是平行线，A、B正确；C、根据平行于同一条直线的两直线平行可知，C错误；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，正确．故选：C．10．下列说法正确的是（）A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本选项错误；B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误；C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误；D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确；故选：D．11．平行用符号∥表示，垂直符号用⊥表示，直线AB与CD平行，可以记作为AB∥CD．【分析】根据平行和垂直符号以及平行线的表示方法求解即可．【解答】解：平行用符号∥表示，垂直符号用⊥示，直线AB与CD平行，可以记作为AB∥CD，故答案为：∥，⊥，AB∥CD．12．在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是c⊥a．【分析】根据b∥c，则得到同旁内角互补，然后利用a⊥b即可得到a与c的夹角为90度，则可判断a⊥c．【解答】解：∵c∥b，a⊥b，∴c⊥a．故答案为c⊥a13．如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．14．如果a∥c，a与b相交，b∥d，那么d与c的关系为相交．【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，根据图形即可直接解答．【解答】解：d和c的关系是：相交．故答案为：相交．15．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；③相等的角是对顶角；④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．其中，错误的是①②③（填序号）．【分析】根据平行公理、对顶角定义、平行线逐个判断即可．【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；故答案为：①②③．16．读下列语句，并画出图形．点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．【分析】先画直线AB和点P，过P作AB的平行线CD，过P作直线EF⊥AB，即可得出答案．【解答】解：如图所示：．17．已知直线a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的关系是什么，为什么？【分析】由平行线的传递性容易得出结论．【解答】解：a与d平行，理由如下：因为a∥b，b∥c，所以a∥c，因为c∥d，所以a∥d，即平行具有传递性．18．（1）补全如图的图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图；（2）与棱AB平行的棱是CD和EF和GH．（3）若这个长方体框架的长、宽、高分别是4分米、3分米和5分米，则需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架？（接缝处忽略不计）【分析】（1）根据长方体的特征画出图形即可求解；（2）根据长方体的特征即可求解；（3）根据长方体棱长总和公式可求需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架．【解答】解：（1）如图所示：（2）与棱AB平行的棱是CD和EF和GH．故答案为：CD和EF和GH．（3）（4+3+5）×4＝12×4＝48（分米）．答：需要48分米的铁丝才能搭成这样的框架．19．一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；（3）找出图中的一个钝角