勾股定理的逆定理的应用 分层作业（解析版）

人教版初中数学八年级下册17.2.2勾股定理的逆定理的应用同步练习夯实基础篇一、单选题：1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（）A．120° B．135° C．150° D．165°【答案】B【分析】根据勾股定理逆定理证明∠D是直角，结合BD=CD得∠DBC=45°，从而得到∠ABC．【详解】如图，延长射线AB交格点于点D，∵每个小正方形的边长为1∴，∵∴∠D=90°又∵BD=CD∴△BCD是等腰直角三角形∴∠DBC=45°∴∠ABC=180°－∠DBC=180°－45°=135°故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理证明∠D是直角是解决本题的关键．2．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可．【详解】解：如图，连接．

在中，∵，∴，又∵，∴是直角三角形，∴这块地的面积．故答案为：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键．3．如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（）A．246 B．296 C．592 D．以上都不对【答案】A【详解】解：连接BD．∵∠C=90°，BC=12，CD=16，∴BD==20，在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，152+202=252，即AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•BD+BC•CD=×15×20+×12×16=150+96=246．故选A．4．已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】解：如图所示，AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．5．已知实数a，b为的两边，且满足，第三边，则第三边c上的高的值是

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a、b的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c边上高即可．【详解】解：整理得，，所以，解得；因为，，所以，所以是直角三角形，，设第三边c上的高的值是h，则的面积，所以．故选：D．【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．二、填空题：6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____．【答案】40海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：=40（海里）．故答案为：40海里．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．7．如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为___．【答案】96【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，∴AC＝10（取正值）．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD＝×10×24−×8×6＝96．故答案为：96．【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．8．如图，的周长为36cm，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后，的面积为______．【答案】18【分析】根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；【详解】解：（1）设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，由题意得：3x+4x+5x=36，解得：x=3，则AB=3x=9，BC=4x=12，AC=5x=15，∵AB2+BC2=92+122=225，AC2=152=225，∴AB2+BC2=AC2，∴∠B=90°，当t=3时，AP=3cm，BQ=6cm，则BP=9-3=6cm，∴．故答案为：18．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．能正确判断△BPQ为直角三角形9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于_____．【答案】90°##90度【分析】根据三角形面积公式求出AC=4，根据勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．【详解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，∴×AC×DE=6，∴AC=4，∴，∵AB＝5，∴AB2＝25，∴，∴∠ACB=90°．故答案为：90°【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．10．“我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=0.5千米，则该沙田的面积为________________平方千米．【答案】7.5【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故答案为7.5．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．11．如图，在钝角中，已知为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，，若，则的度数为________．【答案】【分析】如图中，连接AD、AE．首先证明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理可得，推出，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接，．∵，的垂直平分线分别交于点，，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，根据线段垂直平分线作出辅助线，根据三角形内角和定理解决问题是关键．12．在中，，，，平分交于点，，且交于点，则的长为_____________．【答案】##【分析】首先利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，然后利用角平分线性质和平行线性质求得，，，根据角平分线定理可知，再根据求得的长．【详解】∵，，，∴，∴，为直角三角形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，如图作⊥于点，∵平分，，，，∴，在中，，即，可得,，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、角平分线、平行线、三角形面积，解答本题的关键是熟练运用角平分线定理和三角形面积相等求解．三、解答题：13．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．【答案】【分析】根据、由勾股定理可以计算的长，根据，，由勾股定理的逆定理可以判定为直角三角形，再根据四边形的面积为和面积之和即可求解．【详解】解：，，，，，，，，，，是直角三角形，，在中，，在中，，．【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中求证是直角三角形是解题的关键．14．为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？【答案】46800【分析】连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出为直角三角形，进而利用两个直角三角形的面积和求出四边形的面积，再用面积乘以费用，即可得解．【详解】解：如图所示，连接．，，，，又，，，即，是直角三角形，所需费用为元．答：共需投入46800元．【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．熟练掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键．15．如图，等腰是某小区的一块空地，，开发商准备将其修建成一个小区居民娱乐中心，在上取一点D，连接区域修建为儿童乐园，区域修建为中老年棋牌室，经测量，米，米，米，求中老年棋牌室（即）的面积．【答案】中老年棋牌室（即）的面积为84平方米【分析】由勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，且，则是直角三角形，且．设米，则米，在中，由求得米，即可得到答案．【详解】解：∵米，米，米，∴，∴是直角三角形，且，∴是直角三角形，且．设米，则米，∵在中，，∴，解得，即米，∴（平方米）．∴中老年棋牌室（即）的面积为84平方米．【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键．16．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．(1)求需要绿化的空地的面积；(2)为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长．【答案】(1)114m2；(2)的长为m【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可；（2）由三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：，，，，，，是直角三角形，，需要绿化的空地的面积；（2）解：，，，，解得：，即小路的长为．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出．17．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里(1)若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由(2)若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由．【答案】(1)“海天”号沿西北方向航行，理由见解析(2)能在20分钟内回到海岸线，理由见解析【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可；（2）过点A作于D，根据含30度角的直角三角形的性质，根据勾股定理得出F到x轴距离，进而得出答案．（1）解：∵（海里），（海里），（海里），∴，∴是直角三角形，∴，∵“远航”号沿东北方向航行，∴，∴，∴“海天”号沿西北方向航行；（2）过点F作于D，（海里），∵，∴，∴（海里），∵（海里），，∴能在20分钟内回到海岸线．【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．能力提升篇一、单选题：1．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮到达小岛．若，两岛的直线距离为，则乙客轮离开港口时航行的方向是（

）A．北偏西 B．南偏西C．南偏东或北偏西 D．南偏东或北偏西【答案】C【分析】根据题意可得OA=30海里，OB=40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得，海里，海里，OA2+OB2=302+402=2500，AB2=502=2500，OA2+OB2=AB2，∠AOB=90°，分两种情况：如图1，=180°-30°-90°=60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°，如图2，∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30°=60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60°，综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．2．点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：分三种情况考虑（如图所示）：当∠OAB＝90°时，m＝0；当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．综上所述：m的值可以为0，5，1，4．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．3．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（

）A．10 B．12 C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，∴AB2=AD2+BD2，∴∠ADB=90°，∵D为BC的中点，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，∵S△ABC=AB•CE=BC•AD，∴13•CE=10×12，∴CE=，∴PE+PB的最小值为，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．二、填空题：4．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．【答案】150°【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．5．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______．【答案】(3，300°)或(3，120°)【分析】设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C．【详解】解：如图：设中心点为点O，在中，，，是直角三角形，且∴C的位置为：(3，)或(3，)．【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键．6．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直．【答案】或或．【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可．【详解】解：设运动时间为则，当时，如图1所示，过点作于点