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文档简介
试卷第=page11页,共=sectionpages33页试卷第=page11页,共=sectionpages33页模型4
用临界思想速解取值范围问题【问题背景】“临界状态”一般可以认为是从一种状态向另一种状态变化过程中,发生转变时的那一“转折点”或运动状态的“极限”状态(位置).在解决具有一定制约关系的相关变量的数学问题时,常常运用“临界状态”,即研究问题中的某变量变化到某一状态时出现“转折”或者“极限”的时刻,把动态变化(或不定量)问题转化为静态问题(或定量)问题,从而达到简化运算、事半功倍的解题效果.【解决方法】【典例1】(2024湖南长沙一中9月开学考试)已知双曲线,F为左焦点,,分别为左、右顶点,P为C右支上的点,且(O为坐标原点).若直线PF与以线段为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为()A.
B.
C.
D.【套用模型】如图1,设双曲线的右焦点为,连接,则,则,P为C右支上的点,取PF的中点为B,连接OB,则.图1第一步:整体审题,根据题目的条件和设问,分析变量的变化过程(状态),确定“临界点”根据题目的条件和设问,确定本题中有两个“临界点”.第二步:分析变量在“临界点”附近“形”的变化形式,从而确定“临界点”及“临界值”.若直线PF恰好与以线段为直径的圆相切于B点,【破瓶颈】找两个临界点,直线与圆O相切和圆O经过,F,P点,这两个临界点都取不到,对应的双曲线离心率也都不能取到则,即,根据双曲线的定义得,又,所以,即,此时离心率为.考虑极限情况,若以线段为直径的圆恰好经过,F,P点,则,离心率.第三步:根据“临界值”,确定题设问题的答案.由以上可知,直线PF与以线段为直径的圆相交,则双曲线的离心率的取值范围是,故选D.【典例2】(2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测)函数恰有两个零点,则实数k的取值范围是_______.【套用模型】依题意可知,函数恰好有两个零点,即函数与函数的图象有两个交点,当时,函数与函数的图象不可能有两个交点,不合题意.第一步:整体审题,根据两个函数图象的位置关系,确定“临界点”.由上可知,当函数与函数的图象相切时,设切点坐标为,因为,所以,所以切线方程为,因为切线过原点,所以.第二步:确定“临界值”.又,所以,,此时,【破瓶颈】函数图象在点处的切线与函数的图象是同一直线,都经过原点,所以直线方程也是一样的第三步:根据“临界值”,确定题设问题的答案.所以函数与函数的图象有两个交点时,.所以实数k的取值范围是.【典例3】(2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)已知函数,.若恒成立,则实数a的取值范围是_______.【套用模型】依题意,恒成立,即恒成立.令,,当时,函数和函数的图象相交,不合题意.第一步:整体审题,根据题目的条件和设问,分析变量的变化过程,确定“临界点”.当时,设函数的图象和函数的图象相切于点,【指点迷津】要符合要求,则需使函数的图象不在函数的图象下方,那么临界点即两个函数的图象相切时的情形,此时函数的图象在点处的切线就是的图象,切线方程为.第二步:确定“临界值”.又函数的图象是过定点的直线,将代入切线方程,则有,得,.第三步:根据“临界值”,确定题设问题的答案.,故当恒成立时,实数a的取值范围是.(2024·广东·一模)1.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点,且,则椭圆的离心率的取值范围是(
)A. B.C. D.(2023·山西·一模)2.设双曲线的左、右焦点分别为,,过作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A,已知,,点P是双曲线C右支上的动点,且恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是(
)A. B. C. D.(2023·吉林·二模)3.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.(22-23高三上·浙江台州·期末)4.已知函数若函数在恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是A. B. C. D.(22-23高三上·河南·阶段练习)5.已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.(2023·北京昌平·二模)6.已知函数,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是A. B.C. D.(2024·陕西渭南·模拟预测)7.已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点,且与C的左、右两支各有一个交点,则C的离心率的取值范围是(
)A. B.C.(1,3) D.(2023·全国·模拟预测)8.已知函数若关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.(22-23高三下·河北衡水·阶段练习)9.已知函数若对任意的恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.(2023·湖南·一模)10.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.(2023·重庆·三模)11.已知函数,若,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.(2023·浙江·模拟预测)12.已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.(2023·云南昆明·一模)13.已知函数,若存在实数,当时,恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.(22-23高三上·安徽滁州·阶段练习)14.定义在上的函数同时满足下列两个条件:①对任意的恒有成立;②当时,.记函数,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.答案第=page11页,共=sectionpages22页答案第=page11页,共=sectionpages22页参考答案:1.D【分析】根据椭圆的定义结合已知条件解出,,根据焦半径的取值范围即可解出离心率范围,再结合椭圆离心率,即可求解.【详解】因为,,所以有,故,,因为,既有,,解得,又因为椭圆离心率,所以.故选:2.B【分析】将代入双曲线方程,求得点的纵坐标,由,结合和离心率公式可得的范围,再由双曲线的定义,讨论共线时,取得最小值,结合离心率公式可得的范围,再由,取交集可求得结果【详解】解:令代入双曲线的方程可得.由,可得,即为,即有①.又恒成立,只要求出的最小值即可.由双曲线的定义,可得,,即由共线时,取得最小值,可得,即有②,由,结合①②可得,e的范围是.故选:B.3.A【解析】首先根据为上的减函数,列出不等式组,求得,所以当最小时,,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,画出图形,数形结合得到结果.【详解】由于为上的减函数,则有,可得,所以当最小时,,函数恰有两个零点等价于方程有两个实根,等价于函数与的图像有两个交点.画出函数的简图如下,而函数恒过定点,数形结合可得的取值范围为.故选:A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,数形结合思想的应用,属于中档题目.4.A【分析】先作函数图象,再旋转直线,观察确定满足题意的实数的取值范围.【详解】函数在恰有两个不同的零点,等价于与的图象恰有两个不同的交点,画出函数的图象,如下图,的图象是过定点斜率为的直线,当直线经过点时,直线与的图象恰有两个交点,此时,,当直线经过点时直线与的图象恰有三个交点,直线在旋转过程中与的图象恰有两个交点,斜率在内变化,所以,实数的取值范围是.故选:A5.D【分析】设,则函数的图象是过点的直线,在同一坐标系内画出函数和的图象,结合图象,要使不等式恒成立,函数图象需在函数图象的下方,进而分类讨论得出结果.【详解】解:设,则函数的图象是过点的直线,在同一坐标系内画出函数和的图象,如下图所示:不等式恒成立,函数图象在函数图象的下方.结合图象可得当时,不成立,当时,成立,当时,需满足当时,,时,解得.综上可得,.实数的取值范围是.故选:D.【点睛】本题考查函数恒成立问题的求解,分类讨论以及转化思想的应用,属于中档题.6.C【详解】恰有两个零点,等价于与有两个交点,同一坐标系,画出与的图象,直线过时,,直线与,相切时,由图知,时,两图象有两交点,即的取值范围是,故选C.【方法点睛】根据零点个数求参数的常用方法:①直接法:可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数;②转化法:函数零点个数就是方程根的个数,结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数;③数形结合法:一是转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.7.B【分析】法一:设直线与曲线联立利用韦达定理求解;法二:利用渐近线与双曲线的关系直接求解.【详解】法一:设直线方程,与联立得,设两交点坐标为,则,解得,即,离心率;法二:易知渐近线方程为,由题意得,离心率,故选:B.8.A【分析】不等式在上恒成立的两个临界状态是与相切和与相切时,故求两种状态下的值,即可得的取值范围.【详解】画出函数的图像如图所示.在上恒成立即函数的图像恒在直线的图像的下方,且直线过定点,当直线与相切时,设切点,,可得,解得,则直线斜率为,即;当直线与相切时,此时由,得,令,得或(舍),所以由图像可知故选:A【点睛】方法点睛:已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法:(1)函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.9.A【分析】作出和的图象,由题意可得不等式等价为的图象在图象的下方,通过图象观察可得所求范围.【详解】作出函数的图象,以及函数|的图象,由的图象关于直线对称,对任意的恒成立,即为的图象在的图象的下方,由图象可得时,的图象在的图象的下方,故选:A.【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用数形结合思想方法,以及图象平移特点,属于中档题.10.D【解析】由恒成立,等价于的图像在的图像的上方,然后作出两个函数的图像,利用数形结合的方法求解答案.【详解】因为由恒成立,分别作出及的图象,由图知,当时,不符合题意,只须考虑的情形,当与图象相切于时,由导数几何意义,此时,故.故选:D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题,利用了数形结合的思想,属于难题.11.B【分析】由恒成立,转化为恒成立,根据在的值域以及函数特征,得,利用分离参数再讨论在恒成立时,的取值范围,即可求解.【详解】由,可得当时,,当时,,,即有,时,恒成立,则,即,当时,恒成立,满足题意;当时,在恒成立,即在恒成立,所以,综上,.故选:B.【点睛】本题主要考查分段函数性质的应用以及不等式恒成立问题,分类讨论和分离参数是解题的关键,属于中档题.12.D【分析】等价转化为,即函数的图象在直线的上方,再通过数形结合分析得解.【详解】不等式可等价转化为,即函数的图象在直线的上方,如图,考虑直线与二次函数相切,,解得或,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题的求解方法,考查函数的图象的作法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.13.B【分析】先画出函数图象,再取特殊值运用排除法求解.【详解】作出的图象,如图,当时,由图知,合题意,排除选项C、D;当时,由图知不恒成立,排除故选A.故选:B.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法,属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法,这种方法即可以提高做题速度和效率,又能提高准确性,这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题(可将选项逐个验证);(2)求范围问题(可在选项中取特殊值,逐一排除);(3)图象问题(可以用函数性质及特殊点排除);(4)解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.14.D【解析】求出的解析式,作出的图象,与两个函数的图象恰有两个不同的交点,数形结合即可得的取值
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