50江苏省常州外国语学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年江苏省常州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：（每题2分，共16分）1．（2分）若，则＝（）A． B． C． D．2．（2分）下列说法中，正确的是（）A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧3．（2分）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（）A．4 B．6 C．8 D．164．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（）A． B． C． D．5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜36．（2分）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A．16 B．10 C．8 D．67．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，CD＝3，AC＝4，则cosB的值是（）A． B． C． D．8．（2分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（每题2分，共20分）9．（2分）在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P在（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）10．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，DE＝2，则EF＝．11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝．12．（2分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆半径是．13．（2分）在锐角△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是．14．（2分）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝．若S△ADE＝2，则S△ABC＝．15．（2分）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为．16．（2分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．17．（2分）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是．18．（2分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，点F、G在AB边上，当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是．二、解答题：（19题10分，20题6分，21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27题12分）19．解方程：（1）x2﹣3x﹣1＝0．（2）3（x﹣2）＝x2﹣4．20．计算：sin30°•tan45°+sin260°﹣2cos60°．21．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝24，求OP的长．22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8）B（4，4）C（6，4）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2；（2）直接写出∠CAB的正弦值为；（3）△ABC的外接圆圆心坐标为，△ABC的外接圆半径等于．23．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠A＝105°，AC＝4．（1）求BC的长；（2）若点P是AC中点，求BP的长．24．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？25．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）26．【了解概念】在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．【理解运用】（1）在邻等四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝60°，若CD是这个邻等四边形的邻等边，则∠C的度数为；（2）如图，凸四边形ABCD中，P为AB边的中点，△ADP∽△PDC，判断四边形ABCD是否为邻等四边形，并证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，AB为邻等四边形ABCD的邻等边，且AB边与x轴重合，已知A（﹣2，0），C（m，3），D（2，4），若在边AB上使∠DPC＝∠BAD的点P有且仅有1个，则m的值是．27．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．（1）求证∠DBG＝90；（2）若BD＝12，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面积；②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．参考答案与解析一、选择题：（每题2分，共16分）1．（2分）若，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∴＝＝，故选：C．2．（2分）下列说法中，正确的是（）A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧【解答】解：A、弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项符合题意；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；C、平分弦（非直径）的直径垂直这条弦，该选项说法错误，故此选项不符合题意；D、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项不符合题意．故选：A．3．（2分）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（）A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，∵＝，BC＝2，∴，∴EF＝4，故选：A．4．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cosA＝＝，故选：A．5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，解得：m＜3．故选：D．6．（2分）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A．16 B．10 C．8 D．6【解答】解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是6，∴OC⊥AB，∴AB＝2BC，在Rt△BOC中，OB＝10，OC＝6，∴BC＝＝＝8，∴AB＝2BC＝2×8＝16．故选：A．7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，CD＝3，AC＝4，则cosB的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD，在Rt△ACD中，CD＝3，AC＝4，∴cos∠ACD＝＝，∴cos∠ACD＝cosB＝，故选：C．8．（2分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．二、填空题（每题2分，共20分）9．（2分）在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P在圆上（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）【解答】解：∵点P的坐标为（4，3），∴OP＝，∵半径为5，∴点P在⊙O上．故答案为：圆上．10．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，DE＝2，则EF＝4．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，解得：DF＝6，∴EF＝DF﹣DE＝6﹣2＝4，故答案为：4．11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝10．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，∴sinA＝＝＝，∴AB＝10，故答案为：10．12．（2分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆半径是．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∵直角三角形的外心为斜边中点，∴Rt△ABC的外接圆的半径为斜边长的一半＝×13＝，故答案为：．13．（2分）在锐角△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是75°．【解答】解：根据题意得：sinA﹣＝0，1﹣tanB＝0，∴sinA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75°．14．（2分）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝．若S△ADE＝2，则S△ABC＝18．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝，∵S△ADE＝2，∴S△ABC＝18，故答案为：18．15．（2分）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为﹣4．【解答】解：设方程的另一个根为x2，根据题意得：1×x2＝﹣4，解得：x2＝﹣4．故答案为：﹣4．16．（2分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是6+6海里．【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，∴CH＝（12+CH），解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．17．（2分）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是．【解答】解：如图，过点A作AG⊥CD，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD沿AE翻折，∴AB＝AD，AB＝AF，∠ABE＝∠D，∴AD＝AF，∴三角形ADF为等腰三角形，∵AG⊥DF，∴点G为DF中点，∵点F为CD中点，∴AD＝CD＝4DG，设DG＝a，则AD＝4a，在Rt△ADG中，AD2＝AG2+DG2，∴（4a）2＝AG2+a2，∴AG＝a，∴tan∠ABE＝tanD＝＝，故答案为：．18．（2分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，点F、G在AB边上，当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是l＝或＜l≤．【解答】解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝15，则CD＝x，AD＝x，∵AD+CD＝AC，∴x+x＝9，∴x＝；如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，解得m＝，∵m＝时，符合条件的菱形不只有一个，∴m≠；如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，∴n＝，综上所述，菱形的边长l的取值范围为l＝或＜l≤．故答案为：l＝或＜l≤．二、解答题：（19题10分，20题6分，21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27题12分）19．解方程：（1）x2﹣3x﹣1＝0．（2）3（x﹣2）＝x2﹣4．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；（2）3（x﹣2）＝x2﹣4，3（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3﹣x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或3﹣x﹣2＝0，∴x1＝2，x2＝1．20．计算：sin30°•tan45°+sin260°﹣2cos60°．【解答】解：原式＝×1+（）2﹣2×＝+﹣1＝．21．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝24，求OP的长．【解答】（1）证明：如图，∵PG平分∠EPF，∴∠CPO＝∠APO．∵AO∥PE，∴∠CPO＝∠AOP，∴∠APO＝∠AOP，∴AP＝AO．（2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图．根据垂径定理可得AH＝BH＝AB＝12，∴PH＝PA+AH＝AO+AH＝13+12＝25．在Rt△AHO中，OH＝＝＝5，由勾股定理得：OP＝＝＝＝5．则OP的长为5．22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8）B（4，4）C（6，4）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2；（2）直接写出∠CAB的正弦值为；（3）△ABC的外接圆圆心坐标为（5，7），△ABC的外接圆半径等于．【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；（2）取格点K，连接BK，如图：由图可得，AB2＝20，AK2＝18，BK2＝2，∴AB2＝AK2+BK2，∴∠AKB＝90°，∴sin∠CAB＝＝＝；故答案为：；（3）作AC，BC的垂直平分线交于O，如图：O即为△ABC的外接圆圆心；由图可知，△ABC的外接圆圆心O的坐标为（5，7）；OA＝OB＝OC＝＝；故答案为：（5，7），．23．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠A＝105°，AC＝4．（1）求BC的长；（2）若点P是AC中点，求BP的长．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝105°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝30°，在Rt△ACD中，AC＝4，∴AD＝AC＝2，CD＝AD＝2，在Rt△ABD中，BD＝＝2，∴BC＝BD+CD＝2+2，∴BC的长为2+2；（2）过点P作PE⊥BC，垂足为E，∵点P是AC中点，∴CP＝AC＝2，在Rt△EPC中，∠C＝30°，∴PE＝CP＝1，CE＝PE＝，∴BE＝BC﹣CE＝2+2﹣＝2+，在Rt△BEP中，BP＝＝＝＝＝＝+，∴BP的长为+．24．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【解答】解：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），根据题意得：2××（8﹣2x）＝56，整理得：3x2﹣32x+52＝0，解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽为2米．25．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．26．【了解概念】在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．【理解运用】（1）在邻等四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝60°，若CD是这个邻等四边形的邻等边，则∠C的度数为130°；（2）如图，凸四边形ABCD中，P为AB边的中点，△ADP∽△PDC，判断四边形ABCD是否为邻等四边形，并证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，AB为邻等四边形ABCD的邻等边，且AB边与x轴重合，已知A（﹣2，0），C（m，3），D（2，4），若在边AB上使∠DPC＝∠BAD的点P有且仅有1个，则m的值是﹣5±．【解答】解：（1）∵CD为邻等边，∴∠C＝∠D，又∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠C＝∠D＝（360°﹣∠A﹣∠B）÷2＝130°，∴∠C＝130°．故答案为：130°；（2）四边形ABCD是邻等四边形，理由如下：∵△ADP∽△PDC，∴，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，又∵P为AB的中点，∴AP＝BP，∴，∴，∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，∴∠BPC＝∠PDC，∵∠ADP＝∠PDC，∴∠ADP＝∠BPC，∴△BPC∽△ADP，∴∠B＝∠A，∴四边形ABCD为邻等四边形；（3）若点B在点A右侧，如图，∵AB为邻等边，则有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，设点P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵点C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD＝＝，BC＝＝，代入＝得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由题意可知n只有一个解，∴Δ＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣5±4，又∵点C在点D右侧，∴m＝﹣5+4；