2021年四川省攀枝花市中考数学试卷

2021年四川省攀枝花市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）以下各数是有理数的是（）A． B． C． D．π2．（5分）计算（﹣m2）3的结果是（）A．﹣m6 B．m6 C．﹣m5 D．m53．（5分）实数a在数轴上的对应点位置如图所示，若实数b满足：|b|＜a，则b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．44．（5分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥5．（5分）2021年5月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举．火星与地球的最近距离约为5500万千米，该数据用科学记数法可表示为（）千米．A．5.5×108 B．5.5×107 C．0.55×109 D．0.55×1086．（5分）观察依次排列的一串单项式x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个单项式是（）A．﹣128x7 B．﹣128x8 C．﹣256x7 D．﹣256x87．（5分）疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为10，12，14，13，12，12，11．关于这组数据，以下结论错误的是（）A．众数是12 B．平均数是12 C．中位数是12 D．方差是8．（5分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③9．（5分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向夹角为45°，且OA＝2，若将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，则此时点A′的坐标为（）A．（，﹣1） B．（﹣1，） C．（﹣，1） D．（1，﹣）10．（5分）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．12．（5分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），下列说法错误的是（）A．bc＜0 B．a＝b C．当x1＞x2≥﹣时，y1＞y2 D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，则α2+β2＝．14．（5分）若（x、y、z均不为0），则＝．15．（5分）刘煜祺训练飞镖，在木板上画了直径为20cm和30cm的同心圆，如图，他在距木板5米开外将一个飞镖随机投掷到该图形内，则飞镖落在阴影区域的概率为．16．（5分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（8分）解方程：．18．（8分）某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄x（岁）分为四类：A类：18≤x＜30；B类：30≤x＜40；C类：40≤x＜50；D类：50≤x≤59．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）抽取的C类市民有人，并补全条形统计图；（2）若本次抽取人数占已接种市民人数的5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？（3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从D类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．19．（8分）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．20．（8分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）21．（8分）在直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一、三象限分别交于A、B两点，已知B点的纵坐标是﹣2．（1）写出点A的坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将直线y＝x沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，l与反比例函数图象在第一象限内交于点C，与y轴交于点D．（ⅰ）S△ABCS△ABD；（请用“＜”或“＝”或“＞”填空）（ⅱ）求△ABC的面积．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F，且∠ADC＝∠AOF．（1）求证：CD与⊙O相切于点D；（2）若sin∠C＝，BD＝12，求EF的长．23．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，线段BC上的点P从点B运动到点C，∠ADP的角平分线DQ交以DP为直径的圆M于点Q，连接PQ．（1）当点P不与点B重合时，求证：PQ平分∠BPD；（2）当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，请直接写出此时BP的长度；（3）动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程．24．（12分）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年四川省攀枝花市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）以下各数是有理数的是（）A． B． C． D．π【分析】根据有理数的定义解决此题．【解答】解：A．根据无理数的定义，是无理数，那么A不符合题意．B．根据无理数的定义，是无理数，那么B不符合题意．C．根据有理数的定义，是有理数，那么C符合题意．D．根据无理数的定义，π是无理数，那么D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解决本题的关键．2．（5分）计算（﹣m2）3的结果是（）A．﹣m6 B．m6 C．﹣m5 D．m5【分析】根据幂的乘方解决此题．【解答】解：根据幂的乘方，（﹣m2）3＝﹣m6．故选：A．【点评】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解决本题的关键．3．（5分）实数a在数轴上的对应点位置如图所示，若实数b满足：|b|＜a，则b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．4【分析】直接利用数轴得出a的取值范围，再结合绝对值的性质得出b的值．【解答】解：由数轴可得：2＜a＜3，∵|b|＜a，∴b的值可以是：﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握绝对值的性质是解题关键．4．（5分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥【分析】分别从俯视图，主视图，左视图依次推理即可求解．【解答】解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱，圆锥，主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥，故选：A．【点评】本题考查了学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．5．（5分）2021年5月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举．火星与地球的最近距离约为5500万千米，该数据用科学记数法可表示为（）千米．A．5.5×108 B．5.5×107 C．0.55×109 D．0.55×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为5.5×107千米，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（5分）观察依次排列的一串单项式x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个单项式是（）A．﹣128x7 B．﹣128x8 C．﹣256x7 D．﹣256x8【分析】观察一串单项式可得从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x，根据规律可得第8个单项式．【解答】解：（4x3）÷（﹣2x2）＝﹣2x，（﹣8x4）÷（4x3）＝﹣2x，（16x5）÷（﹣8x4）＝﹣2x，…所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x；按发现的规律可知：x，﹣2x2，4x3＝22x3，﹣8x4＝﹣23x4，16x5＝24x5，…所以第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．故选：B．【点评】本题考查了规律型﹣数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．7．（5分）疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为10，12，14，13，12，12，11．关于这组数据，以下结论错误的是（）A．众数是12 B．平均数是12 C．中位数是12 D．方差是【分析】根据众数、平均数、中位数及方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、12出现了3次，出现的次数最多，则这组数据的众数是12，故本选项正确，不符合题意；B、这组数据的平均数：＝12，故本选项正确，不符合题意；C、把这些数从小到大排列为：10，11，12，12，12，13，14，中位数是12，故本选项正确，不符合题意；D、方差是：×[（10﹣12）2+（11﹣12）2+3×（12﹣12）2+（13﹣12）2+（14﹣12）2]＝，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查方差、众数、平均数、中位数，解题的关键是掌握众数、平均数、中位数、方差的定义．8．（5分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．（5分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向夹角为45°，且OA＝2，若将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，则此时点A′的坐标为（）A．（，﹣1） B．（﹣1，） C．（﹣，1） D．（1，﹣）【分析】过点A′作A′B⊥x轴于点B，根据旋转的性质可得OA′＝OA＝2，∠AOA′＝105°，利用平角的定义得出∠A′OB＝30°，解直角△A′OB，求出A′B，OB，进而得到点A′的坐标．【解答】解：如图，过点A′作A′B⊥x轴于点B，∵将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝105°，∴∠A′OB＝180°﹣45°﹣105°＝30°．在直角△A′OB中，∵∠OBA′＝90°，∠A′OB＝30°，∴A′B＝OA′＝1，OB＝A′B＝，∴点A′的坐标为（﹣，1）．故选：C．【点评】此题考查的是旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．10．（5分）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，由题意：A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，列出不等式组，解不等式组，取正整数解即可．【解答】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，由题意得：，解得：33≤x≤37，∵x为正整数，∴x的取值为34，、35、36、37，则不同的购买方案种数为4种，故选：D．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式组是解题的关键．11．（5分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．【解答】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A为圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上．12．（5分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），下列说法错误的是（）A．bc＜0 B．a＝b C．当x1＞x2≥﹣时，y1＞y2 D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，b＞0，c＜0，则bc＜0，故选项A正确；∵该函数的对称轴为x＝﹣，∴−＝﹣，化简得b＝a，故选项B正确；∵该函数图象开口向上，该函数的对称轴为x＝﹣，∴x≥﹣时，y随x的增大而增大，当x1＞x2≥﹣时，y1＞y2，故选项C正确；∵图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），∴图象与x轴另一个交点为（1，0），不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜1，故选项D错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数与不等式、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，则α2+β2＝20．【分析】由方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，利用根与系数的关系可得出α+β＝2，αβ＝﹣8，将其代入α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ中可求出（α2+β2）的值．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，∴α+β＝﹣＝2，αβ＝＝﹣8，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣8）＝20．故答案为：20．【点评】考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．14．（5分）若（x、y、z均不为0），则＝3．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．15．（5分）刘煜祺训练飞镖，在木板上画了直径为20cm和30cm的同心圆，如图，他在距木板5米开外将一个飞镖随机投掷到该图形内，则飞镖落在阴影区域的概率为．【分析】首先计算出大圆和小圆的面积，进而可得阴影部分的面积，再求出阴影部分面积与总面积之比即可得到飞镖击中阴影区域的概率．【解答】解：大圆面积：π×（）2＝225π（cm2），小圆面积：π×（）2＝100π（cm2），阴影部分面积：225π﹣100π＝125π（cm2），飞镖落在阴影区域的概率为：＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．16．（5分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有①④（填上所有正确结论的序号）【分析】①正确，证明△ADM≌△DCN（SAS），可得结论．②③错误，利用反证法证明即可．④正确，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜边中线的性质求出PQ，可得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，在△ADM和△DCN，，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∵∠CDN+∠ADP＝90°，∴∠ADP+∠DAM＝90°，∴∠APD＝90°，∴AM⊥DN，故①正确，不妨假设∠MAN＝∠BAN，在△APN和△ABN中，，∴△PAN≌△ABN（AAS），∴AB＝AP，∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假设不成立，故②错误，不妨假设△PQN≌△BQN，则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN，∴AP＝AB，∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假设不成立，故③错误，∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，∴BN＝6，∵∠ABN＝90°，∴AN＝＝＝10，∵∠APN＝90°，AQ＝QN，∴PQ＝AN＝5．故④正确，故答案为：①④．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用反证法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（8分）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x（x+1）﹣（x2﹣1）＝2（x﹣1），去括号得：x2+x﹣x2+1＝2x﹣2，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．（8分）某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄x（岁）分为四类：A类：18≤x＜30；B类：30≤x＜40；C类：40≤x＜50；D类：50≤x≤59．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）抽取的C类市民有30人，并补全条形统计图；（2）若本次抽取人数占已接种市民人数的5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？（3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从D类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．【分析】（1）根据抽取的C类的百分比求出其他三类的百分比，由其他三类的人数和除以其他三类的百分比可得抽取的总数，乘以抽取的C类的百分比即可得抽取的C类人数，从而补全条形统计图；（2）根据本次抽取人数占已接种市民人数的5%即可求解；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男和一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意可得，其他三类的百分比为1﹣25%＝75%，其他三类的人数和为20+20+50＝90（人），抽取的总数为90÷75%＝120（人），抽取的C类市民有120×25%＝30（人），补全条形统计图如下：故答案为：30；（2）120÷5%＝2400（人），答：估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有2400人；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男和一女的有8种结果，∴抽取的两人恰好是一男和一女的概率为＝．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图，扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（8分）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．【分析】利用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题．【解答】解：由图可知：S正方形＝4×ab+（b﹣a）2＝2ab+b2+a2﹣2ab＝a2+b2．S正方形＝c2，所以a2+b2＝c2．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积得出是解题关键．20．（8分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）【分析】根据斜坡AC的坡度i＝，可设AB＝5x米，BC＝6x米，继而表示出BD的长度，再由tan30.96°≈0.60，可得关于x的方程，解出即可得出答案．【解答】解：∵斜坡AC的坡度i＝，∴AB：BC＝5：6，故可设AB＝5x米，BC＝6x米，在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，∴tan30.96°＝＝0.60，解得：x＝60，经检验，x＝60是方程的解，∴5x＝300（米），答：该岛礁的高AB为300米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义，表示相关线段的长度．21．（8分）在直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一、三象限分别交于A、B两点，已知B点的纵坐标是﹣2．（1）写出点A的坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将直线y＝x沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，l与反比例函数图象在第一象限内交于点C，与y轴交于点D．（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；（请用“＜”或“＝”或“＞”填空）（ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（1）先求出点B的坐标可得反比例函数的解析式，再根据直线与反比例的交点可得A的坐标；（2）（ⅰ）根据等底等高可确定三角形的面积；（ⅱ）由题意可得OD＝5，求出△ABD的面积即可得到△ABC的面积．【解答】解：（1）∵点B的纵坐标是﹣2，∴﹣2＝x，即x＝﹣6，B（﹣6，﹣2），把B的坐标代入y＝，即k＝12，∴反比例函数的表达式为y＝，当＝x时，x＝6或﹣6（舍），∴A（6，2）；（2）（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；∵直线l是直线y＝x向上平移得到的，∴两条直线互相平行，∵平行线间的距离处处相等，∴S△ABC＝S△ABD；故答案为：＝；（ⅱ）由题意得，OD＝5，∴S△ABD＝S△BOD+S△AOD＝×5×（6+6）＝30，∴S△ABC＝S△ABD＝30．【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，根据题意求出函数解析式是解题关键．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F，且∠ADC＝∠AOF．（1）求证：CD与⊙O相切于点D；（2）若sin∠C＝，BD＝12，求EF的长．【分析】（1）连接OD，根据圆的半径相等，从而∠OAD＝∠ODA，由∠AEO＝90°，∠ADC＝∠AOF，可得∠ADC+∠ODA＝90°，即可证明；（2）由三角形中位线定理可知OE＝＝6，设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，则CB＝OC+OB＝4x，再根据△COF∽△CBD得对应边成比例，即可求出答案．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵OF⊥AD，∴∠AEO＝90°，∴∠AOF+∠OAD＝90°，∵∠ADC＝∠AOF，∴∠ADC+∠ODA＝90°，即∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切于点D；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠AEO，∴OF∥BD，OA＝OB，∴OE＝＝6，∵sinC＝＝，设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，∴CB＝OC+OB＝4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴，∴，∴OF＝9，∴EF＝OF﹣OE＝9﹣6＝3．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角函数等知识，利用设参数表示线段的长是解题的关键．23．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，线段BC上的点P从点B运动到点C，∠ADP的角平分线DQ交以DP为直径的圆M于点Q，连接PQ．（1）当点P不与点B重合时，求证：PQ平分∠BPD；（2）当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，请直接写出此时BP的长度；（3）动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程．【分析】（1）利用等角的余角相等证明∠DPQ＝∠BPQ，即可．（2）分两种情形：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，连接QM．如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，分别求解即可．（3）如图3中，由（2）可知点Q在梯形ABCD的中位线TK所在的直线上，求出点P与B重合时KQ′的长，点P与C重合时QK的长，可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵PD是直径，∴∠PQD＝90°，∴∠QDP+∠QPD＝90°，∵AD∥BC，∴∠ADP+∠DPB＝180°，∴∠ADQ+∠BPQ＝90°，∵QD平分∠ADP，∴∠ADQ＝∠QDP，∴∠QPD＝∠BPQ，∴PQ平分∠BPD．（2）解：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，连接QM．∵MQ＝MP，∴∠MQP＝∠MPQ，∵∠QPM＝∠QPB，∴∠MQP＝∠QPB，∴MQ∥PB，∵DM＝PM，∴AQ＝QB＝6，∵∠A＝∠B＝∠DQP＝90°，∴∠AQD+∠BQP＝90°，∠BQP+∠QPB＝90°，∴∠AQD＝∠BPQ，∴△DAQ∽△QBP，∴＝，∴＝，∴BP＝4．如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，四边形ABPD是矩形，∴BP＝AD＝9，AB＝PD＝12，CD＝＝＝13，综上所述，满足条件的BP的值为4或9．（3）解：如图3中，由（2）可知点Q在梯形ABCD的中位线TK所在的直线上，当点P与B重合时，BD＝＝＝15，∵DM＝MB，∴MQ′＝BD＝，∵DK＝KC，MD＝MB，∴MK＝BC＝7，∴KQ′＝MQ′+MK＝+7＝，当点P与C重合时，KQ＝CD＝，∴QQ′＝Q′K﹣KQ＝﹣＝8．【点评】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．24．（12分）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的