2021年四川省内江市中考数学试卷

2021年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣2021的绝对值是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣2．（3分）从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长20%以上，其中4000亿用科学记数法表示为（）A．0.4×1012 B．4×1010 C．4×1011 D．0.4×10113．（3分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A． B． C． D．4．（3分）某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121．这组数据的众数和中位数分别是（）A．152，134 B．146，146 C．146，140 D．152，1405．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度数为（）A．55° B．75° C．80° D．105°6．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．2a3b÷b＝2a3 C．（2a2）4＝8a8 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b27．（3分）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m8．（3分）函数y＝+中，自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≤2且x≠﹣1 C．x≥2 D．x≥2且x≠﹣19．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．4 B．2 C．3 D．10．（3分）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A．20% B．25% C．30% D．36%11．（3分）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2021次操作后得△A2021B2021C2021，则△A2021B2021C2021的面积为（）A． B． C． D．12．（3分）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）分解因式：3a3﹣27ab2＝．14．（5分）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为．15．（5分）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17．（7分）计算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2021）0﹣（）﹣2．18．（9分）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．求证：（1）△ADE≌△BCF；（2）四边形DECF是平行四边形．19．（9分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．20．（9分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）21．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）22．（6分）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+2021＝．23．（6分）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为．24．（6分）已知非负实数a，b，c满足＝＝，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为．25．（6分）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）26．（12分）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元/件）mm﹣10售价（元/件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

2021年四川省内江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣2021的绝对值是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．2．（3分）从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长20%以上，其中4000亿用科学记数法表示为（）A．0.4×1012 B．4×1010 C．4×1011 D．0.4×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．【解答】解：4000亿＝400000000000＝4×1011，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．3．（3分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A． B． C． D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），不符合题意；C．长方体的三视图都是长方形，但这些矩形的长与宽不尽相同，不符合题意；D．球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．（3分）某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121．这组数据的众数和中位数分别是（）A．152，134 B．146，146 C．146，140 D．152，140【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：∵146出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是146个；把这些数从小到大排列为：121，122，134，146，146，152，则中位数是＝140（个）．故选：C．【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，掌握各知识点的定义是解答本题的关键．5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度数为（）A．55° B．75° C．80° D．105°【分析】由平行线的性质可得∠4＝∠1，再利用三角形的外角性质即可求得∠3的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，∴∠4＝∠1＝45°，∵∠3＝∠4+∠2，∴∠3＝45°+35°＝80°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．6．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．2a3b÷b＝2a3 C．（2a2）4＝8a8 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，故A不符合题意．B、原式＝2a3，故B符合题意．C、原式＝16a8，故C不符合题意．D、原式＝a2+2ab+b2，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．7．（3分）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比例出关于x的比例式，求出x的值即可．【解答】解：设这幢高楼的高度为x米，依题意得：＝，解得：x＝36．故这幢高楼的高度为36米．故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．8．（3分）函数y＝+中，自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≤2且x≠﹣1 C．x≥2 D．x≥2且x≠﹣1【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0计算即可．【解答】解：由题意得：2﹣x≥0，x+1≠0，解得：x≤2且x≠﹣1，故选：B．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．4 B．2 C．3 D．【分析】根据圆周角定理求得∠BOC＝120°，过点O作OM⊥BC，然后结合，等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质分析求解．【解答】解：过点O作OM⊥BC，交BC于点M，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，又∵OB＝OC，OM⊥BC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，MB＝MC，∴在Rt△COM中，∠OCM＝30°，∴OM＝OC＝1，CM＝OM＝，∴BC＝2CM＝2，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．10．（3分）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A．20% B．25% C．30% D．36%【分析】设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原售价×（1﹣降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出每次降价的百分率．【解答】解：设每次降价的百分率为x，依题意得：25（1﹣x）2＝16，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．（3分）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2021次操作后得△A2021B2021C2021，则△A2021B2021C2021的面积为（）A． B． C． D．【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：∵点A1，B1分别为BC，AC的中点，∴AB＝2A1B1，∵点A2，B2分别为B1C1，A2C2的中点，∴A1B1＝2A2B2，∴A2B2＝（）2•a，…∴AnBn＝（）n•a，∴A2021B2021＝（）2021•a∴△A2021B2021C2021的面积＝•[（）2021•a]2＝，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．12．（3分）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值为（）A． B． C． D．【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC＝90°，∠BCO＝∠BCD＝30°，解直角三角形求得tan30°＝＝，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到＝（）2，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得结果．【解答】解：连接AC、BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，∴A与C、B与D关于原点对称，∴AC、BD经过点O，∴∠BOC＝90°，∵∠BCO＝∠BCD＝30°，∴tan30°＝＝，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，∵∠BOM+∠NOC＝90°＝∠NOC+∠NCO，∴∠BOM＝∠NCO，∵∠OMB＝∠CNO＝90°，∴△OMB∽△CNO，∴＝（）2，∴＝，∴＝﹣，故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）分解因式：3a3﹣27ab2＝3a（a+3b）（a﹣3b）．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝3a（a2﹣9b2）＝3a（a+3b）（a﹣3b），故答案为：3a（a+3b）（a﹣3b）．【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．14．（5分）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为．【分析】卡片共有5张，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根据概率公式即可得到卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率．【解答】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根据概率公式，P（轴对称图形）＝．故答案为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．15．（5分）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣2且a≠0．【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣2）≥0，解得a≥﹣2且a≠0．故答案为a≥﹣2且a≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案为：．【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17．（7分）计算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2021）0﹣（）﹣2．【分析】先分别化简绝对值，二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数，然后再计算．【解答】解：原式＝6×﹣（﹣1）﹣2×1﹣4＝3﹣+1﹣2﹣4＝﹣3．【点评】本题考查实数的混合运算，理解a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0），熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（9分）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．求证：（1）△ADE≌△BCF；（2）四边形DECF是平行四边形．【分析】（1）由SAS证明△ADE≌△BCF即可；（2）由全等三角形的性质得DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，则∠EDC＝∠FCD，再证DE∥CF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC＝BD，∴AC﹣CD＝BD﹣CD，即AD＝BC，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ADE与△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS）；（2）由（1）得：△ADE≌△BCF，∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，∴∠EDC＝∠FCD，∴DE∥CF，∴四边形DECF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明△ADE≌△BCF是解题的关键．19．（9分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题；（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50（名）；（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10（名），补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×＝600（名）；（4）列表如下：甲乙丙丁甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）﹣﹣﹣所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为＝．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（9分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）【分析】作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF﹣CE＝AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【解答】解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABFC是矩形，∴CF＝AB，∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，∴AB＝2，∴CF＝2，设DF＝x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，则BF＝＝x（米），在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC＝，∴EC＝（x+2）米．∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．解得：x＝4+1，则CD＝4+1+2＝（4+3）米．答：CD的高度是（4+3）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．【分析】（1）把A的坐标代入y＝即可求得k2，得到反比例函数的解析式，再把B（﹣2，n）代入反比例函数的解析式即可求得n的值，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得；（3）设P（x，x+1），利用三角形面积公式得到AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，根据两点间的距离公式得到（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，然后解方程求出x即可得到P点坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），∵S△AOP：S△BOP＝1：4，∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）22．（6分）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+2021＝2020．【分析】解法一：由等式性质可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，再将代数式转化为x•x2﹣2x2+2021，把x2＝x+1代入进行降次后化简，再将x2﹣x＝1整体代入计算可求解；解法二：由等式性质可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，将代数式化为x2（x﹣2）+2021，把x2＝x+1代入进行降次后化简，再将x2﹣x＝1整体代入计算可求解．【解答】解法一：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，x3﹣2x2+2021＝x•x2﹣2x2+2021＝x（x+1）﹣2x2+2021＝x2+x﹣2x2+2021＝﹣x2+x+2021＝﹣1+2021＝2020．解法二：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，∴原式＝x2（x﹣2）+2021＝（x+1）（x﹣2）+2021＝x²﹣x﹣2+2021＝1﹣2+2021＝2020，故答案为2020．【点评】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为x2＝x+1，x2﹣x＝1是解题的关键．23．（6分）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为2或14．【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，得BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝5，得CD＝＝3，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．【解答】解：过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝5，∴CD＝＝3，①△ABC是钝角三角形时，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC•BD＝＝2；②△ABC是锐角三角形时，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC•BD＝×7×4＝14，故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．24．（6分）已知非负实数a，b，c满足＝＝，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为．【分析】设＝＝＝k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，可得S＝﹣4k+14；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，∴S＝a+2b+3c＝2k+1+2（3k+2）+3（3﹣4k）＝﹣4k+14．∵a，b，c为非负实数，∴，解得：﹣≤k≤．∴当k＝﹣时，S取最大值，当k＝时，S取最小值．∴m＝﹣4×（﹣）+14＝16，n＝﹣4×+14＝11．∴＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设＝＝＝k是解题的关键．25．（6分）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为+1．【分析】取AD的中点H，连接CH，OH，由勾股定理可求CH的长，由直角三角形的性质可求OH的长，由三角形的三边关系可求解．【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝1，∴CH＝＝＝，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴OH＝AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为OH+CH＝+1，故答案为：+1．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）26．（12分）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元/件）mm﹣10售价（元/件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【分析】（1）用总价除以单价表示出购进衬衫的数量，根据两种衬衫的数量相等列出方程求解即可；（2）设购进甲种衬衫x件，表示出乙种衬衫（300﹣x）件，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据衬衫的件数是正整数解答；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种衬衫的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【解答】解：（1）依题意得：＝，整理，得：3000（m﹣10）＝2700m，解得：m＝100，经检验，m＝100是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫x件，乙种衬衫（300﹣x）件，根据题意得：，解得：100≤x≤110，∵x为整数，110﹣100+1＝11，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为w，则w＝（260﹣100﹣a）x+（180﹣90）（300﹣x）＝（70﹣a）x+27000（100≤x≤110），①当60＜a＜70时，70﹣a＞0，w随x的增大而增大，∴当x＝110时，w最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当a＝70时，70﹣a＝0，w＝27000，（2）中所有方案获利都一样，③当70＜a＜80时，70﹣a＜0，w随x的增大而减小，∴当x＝100时，w最大，此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件；综上：当60＜a＜70时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当a＝70时，（2）中所有方案获利都一样；当70＜a＜80时，应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD＝∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB＝∠ODA，则∠CAD＝∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE＝3，AD＝2，解直角三角形得到∠DAB＝30°，则∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，DF＝2，再根据S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB即可得解；（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM＝，EM＝，则MB＝，再根据勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵＝，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AE，∴△OGD∽△EGA，∴＝，