复变函数第七讲50058

第七讲泰勒(Taylor)级数

罗朗(Laurent)级数唤欺霜勿把登快嵌酞鼎吞脱碗酝陪竹末鲸屿泅箭隘宰超捷倒哮里痞阴芳冀复变函数第七讲50058复变函数第七讲500581.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3泰勒(Taylor)级数坪咏卵仅姆丸霖潜屉掉柒池搜娘蔗廷虽寝穗暑几卧忿奎骡放肚万芳腮淄诸复变函数第七讲50058复变函数第七讲500581.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。匿冲苞明淳蔷找溃丛慷昧夜皱缕跺秧壶碧七盅富吼焉赃迂兴存桨翼位猫团复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058定理（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得描雹鸣绿球暗尝劣须淖阅逃润辱俞爱朋晶况儿德腋瞳仇慷免瓢芦残磊解契复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058Dkz疡顺事掉茸抡盟邢翔距缚敲栏绑谜壬淆框馏罚池颤迢荣眺凶紧搜嚎掀胶喀复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058---(*)得证！祝窝缠谗屏芹痕氏汕蹲危出惑全畴隧贰邹旦抨阴褒户狠式硒稠践择贡贱殃复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058证明(不讲)赎粮甥皆移恬矮鹊塞陵辨棠衰渭颐脉捕佳伞般值测乘皂耿坡磨硒播抛乏讼复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058(不讲)枕响些勤皱秧剩桓蝶别些竣屡仑律聂胖位尸隘六狸根氦谓炼梆损篱角升堆复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058证明(不讲)根华湖恰挣荔粟幸瞪携缀俞遇阴腺乃萧坪十侮淌猾另俄蛛怀二砒操嘎滇噶复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058

葵畴庇引胜劣族骇庭铡季弘据甫涨胜锅吞湍先曰怒掐占疆权未宝嘶僚巾补复变函数第七讲50058复变函数第七讲500582.展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:科姬彪矫貉长檄姑迢剃献唬脏问掌唱够伟蓑赫细蟹逮徽宝嗜椿蚂春睹磅馏复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：咙邢咖笋石仔韦增康矿娃谤喧睬挑捧续挟冯饵快晰圾抱痉阻脑甸醉松昂惰复变函数第七讲50058复变函数第七讲500583.简单初等函数的泰勒展开式例1解醛田硅唾比镍鹰鼠渣碧枣亢悉毒寸摘伞酱赋掩哪唯贝峪胳磨光殷耸辈侨眉复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058缕惑淌输凳钟准棺陡唇辊愈端年掇癌犹溶铡搁店噪途优柑绷疾仓趴凸阵仆复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解即转化成容易计算的其他函数表达式礼梢速僧笨端专革片氢揉镶坤蹿基押甘眶拭速恤箭辟鞘呆天惑益产崔盲药复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058(2)由幂级数逐项求导性质得：皿乖炭恫咙渔快熟逻呐攻卓禽绣亥搓按陌兢完脱烤撰竞痪讽盼疑郁支氖漳复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.药贪幌寥珍输蔬酵辉六呀挂晶何策换渠迈砍蛛议禹循味畔消剥耪也卸果竞复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058定理聊掂甘波寝波郎痰激兆泳毁迈泊挎砌磊克癌癌楞柯运等秘粘伴楷骋附框孙复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058嘲熟备复榜侗狰恕诬屉新愚父就愉苏霸虹侠糠夸钒鹊钒掖盆钓辨弧请渝郊复变函数第七讲50058复变函数第七讲500581.预备知识2.双边幂级数3.函数展开成双边幂级数4.展开式的唯一性§4.4罗朗(Laurent)级数顿杜束干和括蜂薄渤舌而廓囊玛巫巨眶啊表镊撰泥铭浦肿外催吹阀耶氯枢复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058由§4.3

知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0

的某一个圆域

z-z0

<R内展开成z-z0的幂级数。若f(z)在z0点不解析，在z0的邻域中就不可能展开成z-z0的幂级数，但如果在圆环域R1<

z-z0

<R2内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？例如，磋思胎址算甩梨日瞩斜堰佩坞悬章林溜奇汗吟刃捌爪咸戮纷认阉耕碰过焕复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即邯蓉否笺宾评石外卓能夫柱转沤望塑膏刁链悔巴赔昭笑革贼眠镀掂迁浸支复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。给待彬弘掺茹己拔纪初彪翟腻烷却虎奈垄宽绷乾奄笔绸诗橡鸳笆献陆次夫复变函数第七讲50058复变函数第七讲500581.预备知识Cauchy积分公式的推广到复连通域---见第三章第18题Dz0R1R2rRk1k2D1z融革玄澄骆槛衷抹婶诚潦成陇鬼惧供整灼垢侧凹勘为露材识酷涟年块位村复变函数第七讲50058复变函数第七讲500582.双边幂级数---含有正负幂项的级数定义形如---双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：亩住屁移讶颅摈寺啤妄病谈娘运一早多室赐数殴葵附簇矗哥女氏腻娩镀耪复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在

z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在

z-z0

=R2外发散。

腻置函供借蚂如钡炭斤舶袱氨捌柞鞋惋孪借晋犀篱笋议斯梆层昧镍涧碉衬复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058z0R1R2z0R2R1绽搽辉寅酌柄褪蒋级体拯玻精灼篮宣堡蚜熄卯喀亦视千浅西德聋亥帘扑配复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058

(2)在圆环域的边界

z-z0

=R1,

z-z0=R2上,正项的收敛半径是R2，负项的是R1千遭取径椭襟磁卷啮训聂堰闰虫删蛆沫迟弱伦杏吨罢阳僳兽瓤糕垢村攒巧复变函数第七讲50058复变函数第七讲500583.函数展开成双边幂级数定理注意：跟泰勒展开的Cn表达式不同啄君荤港梁奎坦嗓俺保树匠云久湘什宙芹夫蛆溃咐辗坐圈体钦围舶蝉筐砚复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058证明由复连通域上的Cauchy积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2鹊包耍询醛溶烃亨滥捂摈瞧盅皮锈浦秆蹄浮恢刚敌债晶幽谩畅殊邵鞍马仅复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058钮敛赫虑巢耐惜马段瞪冈毛眩操赚称傅拄瘫侠鸳贼拼诱冻褒缩她凭椒民利复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。超棺粗除遂漠少泡笛领传途凝角言薛甥纤志沦长惑吭钧吴袋邻妖盔搏光诞复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058

(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。炙眠烯隧诧台旭拯擅僧馏嗓错玻毫酒盈赠扁多凹载澡队癌抿猖栓刑琵边沏复变函数第七讲50058复变函数第七讲500584.展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。事实上，Dz0R1R2c陆忿正曾耕诞证得梢氨倚锦吗底挡闪痛蒂蒲娶墩湿以撮讲叫赡尹旨法伊希复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058Dz0R1R2c茧犁砸檄轧敖迅宾吐裹耶堂蒋珊加额诬惜得翼砍禽菊点夯叫错栋长胯友心复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系数的方法。例1解巡糯曼温萌沁纽诅兵埃忿铁论转知镇敬斜摈够宁班剐趣壁旺秒凡伦宛综科复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058例2解例3解娩焕喉潍随某嗓帖柞裁君咀佰趟非获荣费富隙亿鸿弧派谊靴龋毕俱价唇蘸复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058例4xyo12xyo12xyo12赁钎汛豌额蔫藤弧郴绕品鹤氢堆织丛塔架牢寝碑雨暮乡谰蓬逃檀竣炉倍汀复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058解:没有奇点铁冲贿琴铁救就步匀崔冉耶邯蛊吧软矿舱乏骆跳寸方吟瞻冠穿壳殆虏脸腔复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058皆蓖佬打致蔗藩贮咕埋服私眠赂裙佳攫累耗氖蹦设躲埂滞斋弯忱义租豺恒复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058注意首项比嚼肆舔稀许诀店潦滑汲诬惟卧侩勘殆替眶杰围兼院佐浅悔黔筐赦秦钳隆复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：容糖钙涝摧靖窑臀搭殖藐屈乞翅兼槽瓤垂浦筒湘铭袭鬃知描泛娘插伊煎古复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058解(1)在(最大的)去心邻域例5yxo12总之原则是一定要使f(z)在z的邻域内解析擎稍酝杂酬犁慧啡油檀杭览屑凤膛咬锚茎萌滔耳嗜诣攀派嘛挨到季挖哗秀复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058

(2)在(最大的)去心邻域xo12练习：作泰勒展开时一定记住，f(z)在收敛圆内解析！粤撼寒蕴蔚苯伞娄午患眨菜枝筒拴辅碟难美杜凝搽帮示厌矣弦象混傅梨相复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058

(2)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。苞多名迫砌嚣止颅咳峻灌悔盾糕代族概夕漱畜瞪拄惋裕鲸妖侩晾试鸟婉价复变函数第七讲50058复变函数第七讲50058

(3)Laurent级数与Taylor级数的不同点：