(完整)高中数学提高精练：解析几何中定值问题的解题技巧.专题研究(教师版)

【课题】：圆锥曲线定点定值·专题研究【学习目标】：学会在研究解析几何问题时根据具体情况灵活技巧地去处理问题.【学习过程】：高考试卷中的解析几何题，是干扰学生得高分的“瓶颈”．三种情况：①无法取得适当的运算途径，往往是只做第一问，得到4～5分，心安理得；②期望突破第二问，但运算途径不合理，越算越复杂，耽误时间，耗时耗精力，运气好的话，再得到2～3分；=3\*GB3③思路正确，途径合理，但演算过程中稍不注意出一点点错，前功尽弃，严重影响整体解题心情。与期望得高分往往距离较大。圆锥曲线定点定值问题往往运算量大，占用时间长，这就对学生的运算能力、处理数据能力提出了较高要求，也要注意一些运算技巧，力争快速地准确寻找解题突破口，争取节省宝贵时间，提高准确率.同时.不得不指出，千万不要过于依赖技巧，一定要重视平时运算基本功的培养.探究1：“特殊”探求.已知椭圆：．是椭圆上的两个动点，点是椭圆上的一个定点．如果直线的斜率互为相反数，试证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值．解：①“特殊”探讨：取点(即右顶点)直线的方程：．由．②一般性的证明：设过点的直线方程为：由．设方程的两根为、，则·＝＝．分别用“”“”替换“”＝，＝，＝，＝．所以直线的斜率=．即直线的斜率为定值，其值为．练习：1、已知椭圆的左焦点,长轴长与短轴长的比值是.(1)求椭圆的方程（）（2）过作两直线，交椭圆与,,,四点，若，求证：为定值解析：（1）（2）特殊位置验证，然后证明之，答案2、已知椭圆：的离心率为，点在上.（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点,,线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值解析：（1）（2）特殊位置验证，然后证明之，答案3、已知椭圆：的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.（1）求的方程（2）设,为椭圆上的任意两点，为坐标原点，且.求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值解析：（1）（2）特殊位置验证，然后证明之，答案小结：曲线定点、定值问题常用方法步骤：先用特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置、极限位置、特殊值、特殊图形，求出定点、定值；然后有目标地进行运算，后续运算仅仅是一个填空程序.圆锥曲线定点定值问题往往运算量大，占用时间长，而“对偶运算”、“对称运算”、“合情推理”等是强力支撑．可以大大降低运算量，减轻思维负担.探究3：先局部后整体，有序进行重组.过双曲线－＝的右顶点，作两条斜率分别为、的直线、，交双曲线于、．其中·＝－，＋，且＞，求直线的斜率为定值，并求这个定值．分析：题设条件是·＝－，提示了解题顺序．先局部地分别求出、，然后重组为·＝－．可以预见：一定能消除参数.解：设过右顶点(1，0)的直线方程：，由方程组：·＝－．由＝1(？)＝－＝－＝－【注：用的是“对偶”运算】．又＝－·，代入上式：＝－＝，＝．所以＝＝－，【注：用的是“由局部→整体的重组”下的“整体消参”】由对称性：＝－＝∥轴，得直线的斜率.小结：解析几何题目的解题顺序应该是：先局部，后整体，有序进行重组，整体消参.而“对偶运算”、“对称运算”、“合情推理”等是强力支撑．可以大大降低运算量，减轻思维负担，节省宝贵时间，达到“事半功倍”、“设而不求”的效果.①本题是“对偶运算”的经典题目，反复“复制”运算结果，节约了大量的时间；②在“对偶运算”的帮助下,“代点、代入”与“由局部→整体的重组”有效合成为一体；③本题可以先取＝4，＝1，＝－4，求出直线的斜率后，再有目标地运算．探究4：“代点配凑、代入消参”的解题定式.（09·宣武）已知是椭圆：＋上两个不同的点，满足＋＝，求证：|·|是定值，并求这个定值．解：设、(＋)＋(＋)＝；①代点：＋，＋②配凑：[＋(＋)]＋[＋(＋)]＝；(＋)＋(＋)＝＋＝1．③代入消参：·＝＝＝＝＝＝|·|定值．小结：（1）“代点配凑、代入消参”的解题定式，是非常重要的运算，在求定点定值和轨迹方程时常常用到．同时还要注意：用“特殊”探求处理定点、定值、定形问题，仅仅是一种方法，并不是所有的问题都必须采用，不要构成错误的“思维定势”.复杂一点的问题，其题型特征是：曲线上有两个动点.于是很容易误导“直线与曲线相交于两点”运算模式；一旦用上式，得到的是无效运算．（2）“点差法”，本质上是“代点配凑、代入消参”的解题定式的先期运用．反之：“代点配凑、代入消参”的定式，是“点差法”运算的深化．同时，“代点配凑、代入消参”的运算定式，也是“先局部，后整体，有序地运算”的深化．“代点配凑、代入消参”的运算定式所以求解时，可以按照“点差法”的模式：“先局部，后整体，有序地运算”；（3）“代点配凑、代入消参”的解题定式，仅仅是比“点差法”的运算多了一个“消参”环节，从而得到常数；有时候，“代点配凑、代入消参”不一定用到基本特征式.“代点配凑、代入消参”的解题定式：①代点：因为、在曲线上，；＋，＋②配凑：按照求解目标，两式相加或相减，得到关于、、、的整体关系式；(＋)＋(＋)＝把上述关系式，整合为含有、的式子，经过配凑得到一个新的关系式；＋＝1③代入消元：把配凑得到的结果，代入求解目标，继续运算．·＝＝＝＝(是“点差法”运算的复制)圆锥曲线定点定值·专题研究过定点作直线与椭圆：＋相交于不同的两点，点在线段上，且．求证：点总在定直线上．证明：记λ＝＝，则λ＞０，且λ≠１．由四点共线＝－λ，＝λ．设点，，①代点：＋，＋；②配凑：＝－λ，＝λ＝，＝，＝，＝＝，＝；③代入消参：＝＋＝·[（＋）－(＋）]＝·（1－）＝1，所以：点Q的轨迹方程为：＝1．小结：①把线段的比，转化为向量关系．然后直接采用“定式”运算．这里没有使用“基本特征式”参与运算；②根据求解目标：“”，代入、配凑、消元，一气呵成．圆锥曲线定点定值·专题研究（江苏省盐城中学2015届高三上学期1月月阶段性考试题第18题，本小题满分16分）若椭圆的方程为，、是它的左、右焦点，椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为、，直线的方程为，是椭圆上任一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；（Ⅲ）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与轴交于点，．证明：为定值．解：（1）（2）设，则，=（3）设，,由得所以代入椭圆方程得=1\*GB3①同理由得=2\*GB3②由=1\*GB3①-=2\*GB3②得圆锥曲线定点定值·专题研究（南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学试题第18题，本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线xyAOBMPQ（第18题图）F2F1llxyAOBMPQ（第18题图）F2F1l（1）已知点(eq\F(eq\R(,6),2)，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C上存在点T，使得eq\F(TA,TF1)＝eq\R(,2)，求椭圆C的离心率的取值范围；②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AP,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(BQ,\s\up7(→))，求证：λ＋为定值．18．解：（1）设椭圆C的方程为eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意，得eq\b\lc\{(\a\al(eq\F(a2,c)＝m＋1，,(m＋1)－c＝m，))解得eq\b\lc\{(\a\al(a2＝m＋1，,b2＝m，,c＝1．))所以椭圆方程为eq\f(x2,m＋1)＋eq\f(y2,m)＝1．因为椭圆C过点(eq\F(eq\R(,6),2)，1)，所以eq\f(3,2(m＋1))＋eq\f(1,m)＝1，解得m＝2或m＝－eq\f(1,2)(舍去）．所以m＝2．4分（2）①设点T(x，y)．由eq\F(TA,TF1)＝eq\R(,2)，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2．…6分由eq\b\lc\{(\a\al(x2＋y2＝2，,eq\F(x2,m＋1)＋eq\F(y2,m)＝1，))得y2＝m2－m．故0≤m2－m≤m，得1≤m≤2．所以椭圆C的离心率e＝eq\F(1,eq\R(,m＋1))eq\o(\s\up1(),∈)[eq\F(eq\R(,3),3)，eq\F(eq\R(,2),2)]．10分②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则eq\o(\s\up8(),AM)＝(x0＋2，y0)，eq\o(\s\up8(),AP)＝(x1＋2，y1)．由eq\o(\s\up8(),AM)＝eq\o(\s\up8(),AP)，得eq\b\lc\{(\a\al(x0＋2＝(x1＋2)，,y0＝y1．))从而eq\b\lc\{(\a\al(x0＝x1＋2(－1)，,y0＝y1．))……12分因为eq\f(x02,2)＋y02＝1，所以eq\f([x1＋2(－1)]2,2)＋(y1)2＝1．即2(eq\f(x12,2)＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．因为eq\f(x12,2)＋y12＝1，代入得2(－1)x1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1，故x1＝－eq\f(3－1,2)，所以x0＝eq\f(－3,2)．同理可得x0＝eq\f(－＋3,2)．……14分因此eq\f(－3,2)＝eq\f(－＋3,2)，所以λ＋＝6．16分（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．直线AM的方程为y＝eq\F(y0,x0＋2)(x＋2)．将y＝eq\F(y0,x0＋2)(x＋2)代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得(eq\F(1,2)(x0＋2)2＋yeq\o(\s\up5(2),0))x2＋4yeq\o(\s\up5(2),0)x＋4yeq\o(\s\up5(2),0)－(x0＋2)2＝0(*)．因为eq\f(x02,2)＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4yeq\o(\s\up5(2),0)x－3xeq\o(\s\up5(2),0)－4x0＝0．因为x0x1＝－eq\F(3xeq\o(\s\up5(2),0)＋4x0,2x0＋3)，所以x1＝－eq\F(3x0＋4,2x0＋3)．同理x2＝eq\F(3x0－4,2x0－3)．14分因为eq\o(\s\up8(),AM)＝eq\o(\s\up8(),AP)，eq\o(BM,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\o(BQ,\d\fo1()\s\up7(→))，所以λ＋＝eq\F(x0＋2,x1＋2)＋eq\F(x0－2,x1－2)＝eq\F(x0＋2,－eq\F(3x0＋4,2x0＋3)＋2)＋eq\F(x0－2,eq\F(3x0－4,2x0－3)－2)＝eq\F((x0＋2)(2x0＋3),x0＋2)＋eq\F((x0－2)(2x0－3),－x0＋2)＝6．即λ＋为定值6．16分圆锥曲线定点定值·专题研究(2014·苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(6),2))).(1)求椭圆E的方程．(2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M.①设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；②设过点M垂直于PB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．2．解：(1)由题意得2c＝2，所以c＝1.又eq\f(2,a2)＋eq\f(3,2b2)＝1，消去a得2b4－5b2－3＝0，解得b2＝3或b2＝－eq\f(1,2)(舍去)，则a2＝4，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3