北师大版七~九年级全册各章节数学知识点总结

北师大版七~九年级全册各章节数学知识点总结北师大版七年级上册数学各章节知识点总结第一章丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体(1)几何图形的组成点:线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线:面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面:包围着体的是面，分为平面和曲面。体:几何体也简称体。(2)点动成线，线动成面，面动成体。3、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱柱:三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、„„(按名称分)锥圆锥棱锥4、棱柱及其有关概念:棱:在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n棱柱有两个底面，n个侧面，共(n+2)个面;3n条棱，n条侧棱;2n个顶点。5、正方体的平面展开图:11种6、截一个正方体:用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图:从正面看到的图，叫做主视图。左视图:从左面看到的图，叫做左视图。俯视图:从上面看到的图，叫做俯视图。8、多边形:由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成(n-2)个三角形。圆上A、B两点之间的部分叫做弧。弧:扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。第二章有理数及其运算1、有理数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数负有理数或整数有理数分数2、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。4、倒数:如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。5、绝对值:在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(|a|?0)。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a?0;若|a|=-a，则a?0。6、有理数比较大小:正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大;两个负数，绝对值大的反而小。7、有理数的运算:(1)五种运算:加、减、乘、除、乘方(2)有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。(3)运算律a，b,b，a加法交换律(a，b)，c,a，(b，c)加法结合律ab,ba乘法交换律(ab)c,a(bc)乘法结合律a(b，c),ab，ac乘法对加法的分配律第三章字母表示数1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、合并同类项法则:把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、去括号法则(1)括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。(2)括号前是“,”，把括号和它前面的“,”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。5、整式的运算:整式的加减法:(1)去括号;(2)合并同类项。第四章平面图形及其位置关系1、线段:绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。2、射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。3、直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。4、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)。一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。、点和直线的位置关系有两种:5?点在直线上，或者说直线经过这个点。?点在直线外，或者说直线不经过这个点。6、直线的性质(1)直线公理:经过两个点有且只有一条直线。(2)过一点的直线有无数条。(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。(4)直线上有无穷多个点。(5)两条不同的直线至多有一个公共点。7、线段的性质(1)线段公理:两点之间的所有连线中，线段最短。(2)两点之间的距离:两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。(3)线段的中点到两端点的距离相等。(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。8、线段的中点:点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。、角:9有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。10、平角和周角:一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。11、角的表示角的表示方法有以下四种:?用数字表示单独的角，如?1，?2，?3等。?用小写的希腊字母表示单独的一个角，如?α，?β，?γ，?θ等。?用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如?B，?C等。?用三个大写英文字母表示任一个角，如?BAD，?BAE，?CAE等。注意:用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。12、角的度量角的度量有如下规定:把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“?”表示，1度记作“1?”，n度记作“n?”。把1?的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1?=60’，1’=60”13、角的性质(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。(2)角的大小可以度量，可以比较(3)角可以参与运算。14、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。15、平行线:”，读作“AB平行在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“?”表示，如“AB?CD于CD”。注意:(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。、平行线公理及其推论16平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论:如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。补充平行线的判定方法:(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。(3)平行线的定义。17、垂直:两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线AB，CD互相垂直，记作“AB?CD”(或“CD?AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。18、垂线的性质:性质1:平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。19、点到直线的距离:过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。20、同一平面内，两条直线的位置关系:相交或平行。第五章一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。(2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式。4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。5、解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。)(4)合并同类项(5)将未知数的系数化为1第六章生活中的数据1、科学记数法na，101,a,10一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。2、扇形统计图及其画法:扇形统计图:利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。画法:(1)计算不同部分占总体的百分比(在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比)。(2)计算各个扇形的圆心角(顶点在圆心的角叫做圆心角)的度数。(3)在圆中画出各个扇形，并标上百分比。、各种统计图的优缺点3条形统计图:能清楚地表示出每个项目的具体数目。折线统计图:能清楚地反映事物的变化情况。扇形统计图:能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。第七章可能性1、确定事件和不确定事件(1)、确定事件必然事件:生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。不可能事件:有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。(2)、不确定事件:有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件(3)、必然事件确定事件事件不可能事件不确定事件2、不确定事件发生的可能性一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。必然事件发生的可能性是1不可能事件发生的可能性是0北师大版《数学》(七年级下册)知识点总结第一章整式的运算一、单项式、单项式的次数:只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。三、整式:单项式和多项式统称为整式。四、整式的加减法:整式加减法的一般步骤:(1)去括号;(2)合并同类项。五、幂的运算性质:mnm，n1、同底数幂的乘法:a,a,a(m,n都是正整数)mnmn2、幂的乘方:(a),a(m,n都是正整数)nnn3、积的乘方:(ab),ab(n都是正整数)mnm,n4、同底数幂的除法:a,a,a(m,n都是正整数,a,0)六、零指数幂和负整数指数幂:01、零指数幂:a,1(a,0);1p,2、负整数指数幂:a,(a,0,p是正整数)pa七、整式的乘除法:1、单项式乘以单项式:法则:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。2、单项式乘以多项式:法则:单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3、多项式乘以多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。4、单项式除以单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。5、多项式除以单项式:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。八、整式乘法公式:221、平方差公式:(a，b)(a,b),a,b2222、完全平方公式:(a，b),a，2ab，b222(a,b),a,2ab，b第二章平行线与相交线一、余角和补角:1、余角:定义:如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。性质:同角或等角的余角相等。2、补角:定义:如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。性质:同角或等角的补角相等。二、对顶角:我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质:对顶角相等。三、同位角、内错角、同旁内角:直线AB，CD与EF相交(或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角。其中?1与?5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角;?3与?5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角;?3与?6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。四、平行线的判定:1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称:同位角相等，两直线平行。2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称:内错角相等，两直线平行。3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称:同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法:(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。(3)平行线的定义。五、平行线的性质:(1)两直线平行，同位角相等。(2)两直线平行，内错角相等。(3)两直线平行，同旁内角互补。六、尺规作图:1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角。第三章生活中的数据一、科学记数法:na101,a,10一般地，一个绝对值较小的数可以表示成的形式，其中，n是负整数。二、近似数和有效数字:1、近似数:利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。2、有效数字:对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。三、形象统计图:第四章概率一、事件发生的可能性;人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。二、游戏是否公平:游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。三、摸到红球的概率:1、概率的意义摸到红球可能出现的结果数P(摸到红球)=所有可能出现的结果数2、确定事件和不确定事件的概率:(1)必然事件发生的概率为1记作P(必然事件)=1(2)不可能事件发生的概率为0，P(不可能事件)=0(3)如果A为不确定事件，那么0<P(A)<13、概率的求法:一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的mm个结果，那么事件A发生的概率为P(A)=n第五章三角形一、三角形及其有关概念1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形的表示:三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。3、三角形的三边关系:(1)三角形的任意两边之和大于第三边。(2)三角形的任意两边之差小于第三边。(3)作用:?判断三条已知线段能否组成三角形?当已知两边时，可确定第三边的范围。?证明线段不等关系。4、三角形的内角的关系:(1)三角形三个内角和等于180?。(2)直角三角形的两个锐角互余。5、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。6、三角形的分类:(1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类:直角三角形(有一个角为直角的三角形)三角形锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)斜三角形钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。7、三角形的三种重要线段:(1)三角形的角平分线:定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。性质:三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。(2)三角形的中线:定义:在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质:三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。(3)三角形的高线:定义:从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。性质:三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部;直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点;钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部;8、三角形的面积:1三角形的面积=×底×高2二、全等图形:定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质:全等图形的形状和大小都相同。三、全等三角形1、全等三角形及有关概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2、全等三角形的表示:全等用符号“?”表示，读作“全等于”。如?ABC??DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。4、三角形全等的判定:(1)边边边:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。(2)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)(3)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)(4)边角边:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)直角三角形全等的判定:对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)第六章变量之间的关系1、变量、自变量、因变量:2、函数的三种表示法:(1)关系式法(2)列表法(3)图像法第七章生活中的轴对称一、轴对称1、轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2、轴对称:对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。3、性质:(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分。(2)对应线段相等，对应角相等。二、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。三、线段的垂直平分线(简称中垂线):定义:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。四、等腰三角形、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。12、等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，(3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3、等腰三角形的判定:(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。(2)如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等五、等边三角形:1、等边三角形:三边都相等的三角形叫做等边三角形。2、等边三角形的性质:(1)具有等腰三角形的所有性质。(2)等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60?。3、等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形。(2):三个角都相等的三角形是等边三角形(3):有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形。北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理222a，b,c直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2、勾股定理的逆定理222a，b,c如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。222a，b,c3、勾股数:满足的三个正整数，称为勾股数。第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类:3(1)开方开不尽的数，如等;7,2π(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;3(3)有特定结构的数，如0.1010010001„等;o(4)某些三角函数值，如sin60等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(|a|?0)。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a?0;若|a|=-a，则a?0。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根21、算术平方根:一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法:记作“”，读作根号a。a性质:正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。22、平方根:一般地，如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。表示方法:正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。,a性质:一个正数有两个平方根，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。a,0的双重非负性:注意a0,a3、立方根3一般地，如果一个数x的立方等于a，即x=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。3表示方法:记作a性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。33注意:，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。,a,,a四、实数大小的比较1、实数比较大小:正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大;两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。(2)求差比较:设a、b是实数，a,b,0,a,b,a,b,0,a,b,a,b,0,a,baaa(3)求商比较法:设a、b是两正实数，,1,a,b;,1,a,b;,1,a,b;bbba,b,a,b(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数，则。22a,b,a,b(5)平方法:设a、b是两负实数，则。五、算术平方根有关计算(二次根式)1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。2、性质:2(1)(a),a(a,0)a(a,0)2(2)a,a,,a(a,0)(3)()ab,a,b(a,0,b,0)a,b,ab(a,0,b,0)aaaa(4)(),(a,0,b,0),(a,0,b,0)bbbb3、运算结果若含有“”形式，必须满足:(1)被开方数的因数是整数，因式是整式;(2)被开方数a中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算(1)六种运算:加、减、乘、除、乘方、开方(2)实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。(3)运算律a，b,b，a加法交换律(a，b)，c,a，(b，c)加法结合律ab,ba乘法交换律(ab)c,a(bc)乘法结合律a(b，c),ab，ac乘法对加法的分配律第三章图形的平移与旋转一、平移1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。2、性质平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。二、旋转1、定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。第四章四边形性质探索一、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360?。四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360?。(n,2),推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于180?;多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360?。n(n,3)6、设多边形的边数为n，则多边形的对角线共有条。从n边形的一个顶点出发能引(n-3)条对2角线，将n边形分成(n-2)个三角形。二、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等。(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等3)平行四边形的对角线互相平分。((4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点:(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。(2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。3、平行四边形的判定(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积S=底边长×高=ah平行四边形三、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质(1)矩形的对边平行且相等(2)矩形的四个角都是直角(3)矩形的对角线相等且互相平分(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。3、矩形的判定(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S=长×宽=ab矩形四、菱形1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质(1)菱形的四条边相等，对边平行(2)菱形的相邻的角互补，对角相等(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条，是对角线所在的直线。3、菱形的判定(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形2)定理1:四边都相等的四边形是菱形((3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S=底边长×高=两条对角线乘积的一半菱形五、正方形(3~10分)1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质(1)正方形四条边都相等，对边平行(2)正方形的四个角都是直角(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种:先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为b2b2S=a,正方形2六、梯形、梯形的相关概念(一)1一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。2、梯形的判定(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。(二)直角梯形的定义:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下:一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形(三)等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性质(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行。(2)等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。(3)等腰梯形的对角线相等。(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。3、等腰梯形的判定(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形((3)对角线相等的梯形是等腰梯形。(选择题和填空题可直接用)(四)梯形的面积1(1)如图，S,(CD，AB),DE梯形ABCD2(2)梯形中有关图形的面积:?;S,S,ABD,BAC?;S,S,AOD,BOC?S,S,ADC,BCD七、有关中点四边形问题的知识点:(1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形;(2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形;(3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形;(4)顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形;(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形;(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形;(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形;八、中心对称图形1、定义在平面内，一个图形绕某个点旋转180?，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图:第五章位置的确定一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关概念1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点)，不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫做点P的坐标。点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不a,b能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同位置的点的坐标的特征(1)、各象限内点的坐标的特征,x,0,y,0点P(x,y)在第一象限,x,0,y,0点P(x,y)在第二象限,x,0,y,0点P(x,y)在第三象限,x,0,y,0点P(x,y)在第四象限(2)、坐标轴上的点的特征,y,0点P(x,y)在x轴上，x为任意实数,x,0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)即原点,(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上x与y相等,点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数,(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P’,(x，-y)点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P’,(-x，y)点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P(x，y)关于原点的对称点为P’(-x，-y),(6)、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:y(1)点P(x,y)到x轴的距离等于x2)点P(x,y)到y轴的距离等于(22x，y(3)点P(x,y)到原点的距离等于三、坐标变化与图形变化的规律:坐标(x，y)的变化图形的变化x×a或y×a被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍x×a，y×a放大(缩小)为原来的a倍x×(-1)或y×(-1)关于y轴或x轴对称x×(-1)，y×(-1)关于原点成中心对称x+a或y+a沿x轴或y轴平移a个单位x+a，y+a沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单第六章一次函数一、函数:一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数)，分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点(1)关系式(解析)法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式(解析)法。(2)列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。3)图象法(用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点:以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点3)连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。(五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念y,kx，b一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的,一次函数(x为自变量，y为因变量)。y,kx，by,kx中的b=0时(即)(k为常数，k0)，称y是x的正比例函数。特别地，当一次函数,2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:y,kx，by,kx的图像是经过点(0，b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0，0)的一次函数直线。k的符号b的符号函数图像图像特征y图像经过一、二、三象限，y随x的增大b>00x而增大。k>0y图像经过一、三、四象限，y随x的增大b<00x而增大。y图像经过一、二、四象限，y随x的增大b>0而减小0xK<0y图像经过二、三、四象限，y随x的增大b<0而减小。0x注:当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质y,kx一般地，正比例函数有下列性质:(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大;2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。(5、一次函数的性质y,kx，b一般地，一次函数有下列性质:(1)当k>0时，y随x的增大而增大2)当k<0时，y随x的增大而减小(6、正比例函数和一次函数解析式的确定y,kx确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数，,y,kx，b需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。,7、一次函数与一元一次方程的关系:任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数，k?0)的形式(而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数，k?0)(当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同(结论:由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数，k?0)的形式(所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时，求相应的自变量的值(从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值(第七章二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。、二元一次方程的解2适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法6、一次函数与二元一次方程(组)的关系:(1)一次函数与二元一次方程的关系:直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解(2)一次函数与二元一次方程组的关系:ac11y,,x，二元一次方程组的解可看作两个一次函数ax，by,c,1111bb11,ax，by,c222,ac22y,,x，和的图象的交点。1bb22当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解;当函数图象(直线)平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。第八章数据的代表1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:平均数、众数、中位数2、平均数1(1)平均数:一般地，对于n个数我们把叫做这n个数的算术平均(x，x，？，x)x,x,？,x,12n12nn数，简称平均数，记为。x(2)加权平均数:3、众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。4、中位数一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。北师大版《数学》(八年级下册)知识点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一.不等关系※1.一般地,用符号“<”(或“?”),“>”(或“?”)连接的式子叫做不等式.?2.要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.※3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数<===>大于等于0(?0)<===>0和正数<===>不小于0非正数<===>小于等于0(?0)<===>0和负数<===>不大于0二.不等式的基本性质※1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即ab如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.,cc(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:ab如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,,cc※2.比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,那么a<b;即:a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0a<b<===>a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三.不等式的解集:※1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.※2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.?3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:?边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;?方向:大向右,小向左四.一元一次不等式:※1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.※2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.※3.解一元一次不等式的步骤:?去分母;?去括号;?移项;?合并同类项;?系数化为1(不等号的改变问题)※4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)bx,?当a>0时,解为;a?当a=0时,且b<0,则x取一切实数;当a=0时,且b?0,则无解;bx,?当a<0时,解为;a?5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:?审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;?设:设出适当的未知数;?列:根据题中的不等关系,列出不等式;?解:解出所列的不等式的解集;?答:写出答案,并检验答案是否符合题意.五.一元一次不等式与一次函数六.一元一次不等式组※1.定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)一元一次不解图示叙述语言表达等式集x,a,x>b两大取较大,bax,b,x,a,x>a两小取小,abx,b,x,a,a<x<b大小交叉中间找,abx,b,在大小分离没有解x,a,无解,abx,b,(是空集)第二章分解因式一.分解因式※1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.※2.因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二.提公共因式法※1.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.ab，ac,a(b，c)如:※2.概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;ma，mb,mc,m(a，b,c)(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:※3.易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三.运用公式法※1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.※2.主要公式:22(1)平方差公式:a,b,(a，b)(a,b)222(2)完全平方公式:a，2ab，b,(a，b)222a,2ab，b,(a,b)?3.易错点点评:442222因式分解要分解到底.如就没有分解到底.x,y,(x，y)(x,y)※4.运用公式法:(1)平方差公式:?应是二项式或视作二项式的多项式;?二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;?二项是异号.(2)完全平方公式:?应是三项式;?其中两项同号,且各为一整式的平方;?还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.※5.因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四.分组分解法:※1.分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.am，an，bm，bn,a(m，n)，b(m，n),(a，b)(m，n)如:※2.概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.※3.注意:分组时要注意符号的变化.五.十字相乘法:2ax，bx，c※1.对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积,,,a,a,ac,c,c1212ac11ca22且满足,往往写成的形式,将二次三项式进行分解.b,ac，ac12212如:ax，bx，c,(ax，c)(ax，c)11222※2.二次三项式的分解:x，px，q2a1x，px，q,(x，a)(x，b)p,a，bq,ab1b※3.规律内涵:2(1)理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,x，px，q它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.※4.易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第三章分式一.分式※1.两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.AA整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,BB对于任意一个分式,分母都不能为零.整式,有理式※2.整式和分式统称为有理式,即有:,分式,※3.进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.AA，MAA,M,,,(M,0)BB，MBB,M※4.一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二.分式的乘除法※1.分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.ACADA,DACAC,,,,,,即:,BDBDBDBCB,C2.分式乘方,把分子、分母分别乘方.※nnAA,,即:,(n为正整数),,nBB,,nnnnAAAA,,,,逆向运用,当n为整数时,仍然有,成立.,,,,,nnBBBB,,,,※3.分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.三.分式的加减法※1.分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.※2.分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;ABA,B,,上述法则用式子表示是:CCC(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;ACADBCAD,BC,,,,上述法则用式子表示是:BDBDBDBD※3.概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.四.分式方程※1.解分式方程的一般步骤:?在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;?解这个整式方程;?把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.※2.列分式方程解应用题的一般步骤:?审清题意;?设未知数;列出(分式)方程;?根据题意找相等关系,?解方程,并验根;?写出答案.第四章相似图形一.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两Am条线段的比AB:CD=m:n,或写成.,Bnac※2.四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、,bdb、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3.注意点:?a:b=k,说明a是b的k倍;?由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;?比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;ab?除了a=b之外,a:b?b:a,与互为倒数;baacacA_C_B_?比例的基本性质:若,,则ad=bc;若ad=bc,则,bdbd_图1二.黄金分割ACBC※1.如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C,ABAC5,1黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.AC:AB,,0.618:12※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四.相似多边形?1.一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五.相似三角形※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5.相似三角形周长的比等于相似比.※6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的条件※1.相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形A_D_l_1_基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的B_E_l__2延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.F_C_l_3_?两角对应相等;?一个锐角对应相等;_图2?两边对应成比例,且夹角相?两条边对应成比例:等;a.两直角边对应成比例;?三边对应成比例.b.斜边和一直角边对应成比例.※2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.ABBC,如图2,l//l//l,则.123DEEF※3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八.相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九.图形的放大与缩小※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3.位似变换:?变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.?一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.?利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.第五章数据的收集与处理一.每周干家务活的时间※1.所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.※2.为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.二.数据的收集※1.抽样调查的特点:调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章证明(一)二.定义与命题※1.一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.※2.可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.※3.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.※4.有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.?5.根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.三.为什么它们平行※1.平行判定公理:同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)※2.平行判定定理:同旁内互补,两直线平行.※3.平行判定定理:同错角相等,两直线平行.四.如果两条直线平行※1.两条直线平行的性质公理:两直线平行,同位角相等;※2.两条直线平行的性质定理:两直线平行,内错角相等;※3.两条直线平行的性质定理:两直线平行,同旁内角互补.五.三角形和定理的证明※1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180??2.一个三角形中至多只有一个直角?3.一个三角形中至多只有一个钝角?4.一个三角形中至少有两个锐角六.关注三角形的外角※1.三角形内角和定理的两个推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.九年级上册所有知识点汇总三角形有关性质、定理及反证法知识要点三角形的性质与判定:序必记必记知识必记内容巧记方法号项目SSS三边对应相等的两个三角形全等1SAS公理三角形全等的判定公理两边及夹角对应相等的两个三角形全等;两ASA角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边对应相等的两个三角2AAS定理三角形全等的判定定理形全等3公理三角形全等的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等等腰三角形的性质的推4定理等腰三角形的两个底角相等等边对等角论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底5定理等腰三角形的判定定理“三线合一”边上的高互相重合有一个角等于60?的等腰三角形是等边三角6定理等边三角形的判定定理形有一个角等于30?的直在直角三角形中，如果有一个锐角等于30?，7定理角三角形的性质那么它所对的直角边等于斜边的一半8定理等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形等角对等边符号语言:若直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的9定理勾股定理?C=90?，平方222则c=a+b如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，10概念互逆定理那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理符号语言若，如果三角形的两边的平方和等于第三边的平22211定理勾股定理的逆定理则a+b=c，方，那么这个三角形为直角三角形?C=90?。直角三角形全等的判定斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全12HL定理定理等证明方法:综合法、反证法综合法:?审题:找出已知、求证的各量之间的关系;?分析解题思路:一般采用逆向思考，即从结论入手，追溯结论成立的理由。?书写推理过程，从已知入手，将分析过程倒着写出来反证法:在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的方法称为反证法。(步骤:?提假设:假设命题的结论不成立，?推矛盾:从假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;?得结论:从而肯定命题的结论)几种常见的结论和它的否定形式:“a,b”“a?b”“a=b”“a?b”或“a,b，a,b”“a?b”“a与b相交”“点在直线上”“点在直线外”“至少有一个”“一个都没有”“至少有两个”“至多有一个”互逆命题:如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。(“条件”与“结论”交换)互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。易错易混点1.如图Z—01，?ABC为AD为中线，?BAD=?DAC，求证:AB=AC。如图Z—02所示，在?ABC中，2.AD是它的角平分线，且AB=AC，DE、DF分别是垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证BE=CF。ZM—01ZM—02典型例题1.在?ABC中，AB=2，AC=，?2B=30?，则?BAC的度数是_____________。2.已知:如图Z—03所示，?ABC中AB=AC，D是AB上一点，过D作DE?BC于E，并与CA的延长线相交于F。求证:AD=AF。3.已知:如图Z—04，在Rt?ABC中，?C=90?，?BAC=30?，求证:AB=2BC。变形题:在直角三角形中，如果一条直角边等于斜ZM—03ZM—04边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30?.已知:求证:4.如图Z—05所示，在?ABC中，?1=?2，?ABC=2?C。求证:AB+BD=AC。ZM—07ZM—05ZM—065.如图Z—06，在?ABC中，?CAB=90?，?C=30?，AD是BC边上的高，BE是?ABC的平分线，AD与BE交于点F，求证:?AEF是等边三角形。6.折叠矩形纸ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图Z—07，若AB=2，BC=1，求AG的长。线段的垂直平分线与角平分线知识要点序必记必记知识必记内容巧记方法号项目1定理线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有了中垂线，相等就有了相等的线段联想等腰三到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直2定理线段垂直平分线的判定角形的“三线平分线上合一”三角形的三条边上的垂三角形的三边的垂直平分线相交于一点，并三边中垂线3定理直平分线的性质且这一点到三个顶点的距离相等共点有线段垂直平分线时，通常把垂直平分线上的点与线段的两端点连接起提示来，利用等腰三角形的性质来解决问题图形与符号4定理角平分线的性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等结合记忆在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，5定理角平分线的判断在这个角的平分线上三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线相交于一点，且这一三条角平分6定理的性质点到三条边的距离相等线共点易错易混点1.已知:如图ZM—12，DE?AB，DF?AC，垂足分别为E、F，DE=DF，求证:AD垂直平分EF。ZM—12ZM—13ZM—142.如图ZM—13，P是?AOB的平分线上的一点，OC=OD，PC=2cm，求PD的长。3.现有不在一条直线上的A、B、C三城.(1)在A、B城间建一果品批发市场，使其到A、B两城距离相等，此市场位置惟一么,它们的位置有什么关系,(2)在B、C两城间建一水果仓库，使其到B、C两城距离相等.仓库位置惟一么,它们的位置有什么关系,(3)为减少运费，现将果品批发市场与仓库建在同一位置，并分别到两城距离相等.应如何选址,画图说明.典型例题1.已知，如图ZM—14，在?ABC中，?B=70?，DE是AC的垂直平分线，且?BAD:?BAC=1:3，则?C=____________。2.到三角形三个顶点距离相等的点是()A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高线的交点D.三条中垂线的交点3.如图ZM—15，已知?ABC中，AD平分?BAC，EF垂直平分线AD交BC的延长线于E，求证:(1)?2EAC=?B;(2)DE=CE?BE.ZM—15ZM—16ZM—174.如图ZM—16，已知?ABC中，?A的平分线与BC的垂直平分线MD交于点D，DE?AB于E，DF?AC交AC的延长线于F。1求证:CF=(AB—AC).25.如图ZM—17所示，在?ABC中，?B=22.5?，?C=60?，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于F，BD=，AE?BC于E，求EC的长。62一元二次方程知识要点一元二次方程概念:含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。22经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax+bx+c=0(a?0)，即它的一般形式:ax+bx+c=0(a?0)。2应从两方面理解一元二次方程的一般形式:(1)若ax+bx+c=0是一元二次方程，则有a?0;(2)若a?0(b、c2可以为零)，则ax+bx+c=0是一元二次方程。判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件:?含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;?必须是2整式方程;?二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后，若符合ax+bx+c=0(a?0)，则为一元二次方程，否则不是。估计一元二次方程的解:能使一元二次方程两边相等的x的值是一元二次方程的解，估计一元二次方程的解，只是估计“解”的取值范围，比如在哪两个数之间。22方法:当相邻两个整数，一个使ax+bx+c,0，一个使ax+bx+c,0，则一元二次方程的解就介于这两个数之间。认真观察代数式的特点和取值走向，才能很快找到这样的两个相邻整数。易错易混点3223221.下列关于x的方程:(1)ax+bx+c=0;(2);(3);(4)中，一a，,52x,x,3,0x,2x，x,0a元二次方程的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个222.判断方程m(x+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程。22(1)一变:若方程m(x+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程，则m应满足_________。22(2)二变:若方程m(x+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程，则m的值为__________。2m，1，，m,1x，3mx,2,03.m为何值时，关于x的方程是一元二次方程,典型例题1.下列方程是关于x的一元二次方程的是()22A.ax+bx+c=0B.kx+5k+6=0321322x,x,,0C.D.(m+3)x+2x-2=03422.若下列方程是关于x的一元二次方程，求出m的取值范围。4m,22，，(1);(2)