2024年高一数学必修一必考知识速查速记手册

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©

考点1集合的含义与表示.....................3

考点2集合间的基本关系.....................4

考点3集合的基本运算.......................6

考点4函数的概念............................7

考点5函数的表示法..........................10

考点6单调性与最大（小）值...................11

考点7奇偶性..............................13

考点8指数与指数幕的运算...................15

考点9指数函数及其性质.....................17

考点10对数与对数运算.......................20

考点11对数函数及其性质..................22

考点12考函数.............................25

考点13函数与方程.........................27

考点14函数模型及其应用...................30

考点1集合的含义与表示

体系扫描

元素的三个特性（列举法、描述法

集合的含义集合的表示方法

两个集合相等常用数集及其记法

1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性

2.元素与集合关系的表示

关系记法

._..._一

。是集合A的元素aEA

a不是集合A的元素a&A

3.常用数集及其表示:

非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集

NN*或N+ZQR

1.集合的表示方法

（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“}”括

起来表示集合的方法.全部资料电子版在公众号：逆袭墙

（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

1.数集与点集

判断用描述法表示的集合是数集还是点集时，关键是看元素的

i㈠牙点2数学（必修1）

一般符号,数集的一般形式是LGA|2（］）｝,点集的一般形式是

｛（ay）”（a,》）｝.

2.集合（川才=1｝,｛1=1｝,｛1｝的区别与联系

｛川z=l）=｛1｝H｛H=1｝,集合工工=1｝与｛1｝是由一个元素1

构成的数集，而集合｛z=l｝的元素是等式工=1，不是数集.

思维启迪

1.集合的表示法中“｛｝”已经包含“所有”的意思，因而花括号

内的文字描述不应再有“全体”、“所有”、“全部”或“集"等，如R=｛实

数集｝或口=｛全体实数｝，都是不对的全部资料电子版在公众号：逆袭墙

2.集合中元素含有参数的问题，在求出参数值后,应把参数值代

入集合检验，看是否满足元素的互异性.

考点2集合间的基本关系

体系扫描

集合相等T真子仆、

//\\//\X

子集・集合间的基本关系」子集的性质

核心归纳

1,子集：若zGA.则&那么AUB（或BNA）,任何集合是其

本身的子集，即AUA.

2.集合相等：若AWB且8胃4则A=B.

3.真子集：若A1B,但存在元素］£8,且16从，则A些B（或

B呈A）.

4.空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

知识纵横

1.区分容易混淆的符号

符号区别

“G”是表示元素与集合之间关系的符号.

e或。“口”是表示集合与集合之间关系的符号,如

1GN,-1WN,N=R

a与{a}“{0}”表示由元素a构成的集合，则

“{0}”是由元素0构成的集合，{0}是由元

{0},。与{0}素0构成的集合，“0”是不含任何元素的集

合，因此0^{0},06{0},0^{0}.

2.子集与真子集的区别

若则A=B或A袅B,若A曙B,则A=B不成立.

思维启迪

1.集合的子集与真子集的个数

一个含有〃个元素的集合，有2”个子集，2”一1个真子集，2"—2

个非空真子集全部资料电子版在公众号:逆袭墙

2.已知集合的关系求参数的值

(1)若AUB,则应分A=0与A/0两种情况讨论.

(2)已知A={z|a&z&6},B={z|c&z<d},其中b>a,d>c,

若A些B,则有右;或

1b<ZaIb&d

考点3数学(必修1)

考点3集合的基本运算

体系:扫描

并集

集合的运算交集运算性质

'(补集"

核心归纳

L并集

三种情

，AUB=(川1eA,或NeB｝,。eA或＞zeB”包括下列

况：zGA,但卫18；力£8,但■zWAiiGA,且xEB.

2.交集

408=｛川H64，且此定义包含三层意义：

(l)AClB中任一元素都是A与B的公共元素.

(2)Ap|B是由所有A与B的公共元素(而不是部分元素)组成的.

(3)当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而

是AnB=。.全部资料电子版在公众号:逆袭墙

3.补集：1八｛，-eu且.，G.V.

4,并集、交集、补集的运算性质

I集合的运算I运算性质

I-并集(1)AUB=BUA(2)AUA=A(3)AU0=A

—交集(l)AC|8=BnA(2)Ap|A=A(3)An0=0

'…「-

I----------'I・一'—‘------

(l)AUCuA=U(2)ADCUA=0(3)CUU=0

补集

(4)[u0=U(5)Cu(CuA)=A

知r识纵横

1.对于月1)8={%|7£4，或7£8),不能认为是由A的所有元

素和B的所有元素组成的集合，因为A与8可能有公共元素，这样

就违反了集合中元素互异性的特征.

2.并集中元素的个数

用card(A)表示集合A的元素个数，若A0B=0,则cardCAU

B)=card(A)+card(B)，若AdB六0,则card(AUB)=card(A)+

card(B)-card(AB)金部资料电子版在公众号:逆袭墙

慈1工支枣

1.与AnB=B,AU3=B有关问题的转化依据是

(D若Ap|B=B，则BUA,(2)AUB=B，则AUR

2.若AUB=AAB/iJA=B.

对于一些比较复杂、抽象、条件与结论之间的关系不明朗、难于

从正面入手的数学问题可从问题的反面入手，探求已知和未知的关

系，这时能化难为易•化隐为显，从而解决问题，这就是“正难则反”的

解题策略，也是处理问题间接化原则的体现.

考点4函数的概念

3体系扫描：

定义城对应关系

\

函数的定义函数值域

相等函数区间

考点4数学(必修1)

J-1---/

核心归新

I.函数的概念

对于函数的概念应抓住以下两个方面：

(1)A、B是非空的数集.

(2)一般地，设A、B是非空的数集，在对应关系了下，对于集合•

A中的任意一个数c在集合B中都有唯一确定的数/(z)和它对应.

2.函数的定义域与值域

对于从集合A到集合B的函数》=/(1),/GA,7的取值范围A

叫做函数的定义域，函数值的集合｛/(])6£A｝叫做函数的值域，值

域是集合B的子集全部资料电子版在公众号:逆袭墙

3.相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个

函数相等.

.区间

定义名称符号数轴表示

{•r|a4N46}闭区间[。㈤

X

开区间(a,b)h

{«r|半开半闭区间[a㈤

{jr|aO《同半开半闭区间(a»6]a6

{jc\x^a}[a,+8)

■

(a,+8)

{x|z>a}a

(-8,6]

<«r(-8而-----一

讲出4ILUU七话

知识纵横

1.对于函数y=/(z),«rGAJ(z)是一个整体，表示一个函数,

/是对自变量工进行的程序或方法，一般地函数/(])中可以用

具体的文字来描述，如/(力)=/,/表示为“求平方”；/(7)=27+1,

f表示为“乘2加1”，但有时函数没有解析式，我们就无法用文字写

出它的对应关系，同一“尸可以“操作”于不同形式的变量，如/(了)是

对x进行操作，而/(/)是对/进行“操作”J(3)是对3进行操作.

2./(z)=/+l与且(£)=〃+1表示相等的函数

若两个函数的定义域和对应关系相同，这两个函数就是相等函

数，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关.

3.两个函数的定义域与值域相同，这两个函数不一定相等，如》

=z+l与v=2z+l两个函数的定义域和值域都是R.但这两个函

数不相等.

思维启迪

1•对于给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需检验：

(1)定义域和对应关系是否给出

(2)根据给出的对应关系，自变量才在其定义域中的每一个值是

否都有唯一确定的函数值：y与之对应.

2.求函数定义域的依据

(1)若函数解析式为整式，则定义域为R；(2)若函数解析式为分

式，则分母不为0;(3)若函数解析式为二次根式，则被开方数大于或

等于0;(4)0。有意义，则a卢0.

3.判断两个函数相等的方法

(1)首先看两个函数的定义域，若定义域不同，则两个函数不相

等；若两个函数定义域相同，则进行下一步.

(2)其次在定义域下，化简解析式，看两个函数的对应关系是否

相同，若相同，两个函数相等；若不相同，两个函数不相等.

4.已知/(二)求/(a+】)的方法

把a+1看作一个整体，用a+1换n可求/(a+l).

考点5数学（必修1）

考点5函数的表示法

图象法

I

解析法函数的表示法列表法

分段函数映射

后

L函数的三种表示法

（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系

（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系

2.分段函数

在函数的定义域内，对于自变量z的不同取值范围，有着不同的

对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.

3.映射

理解映射的定义应抓住以下两个方面：（1）A、B是两个非空的集

合；（2）在对应关系，下，集合A中的任意一个元素在集合B中都有

唯一确定的元素与之对应.

知织纵％

1.函数的图象不一定是一条光滑的曲线

一些孤立的点

函数图象的构成折线或几段线段

中海的曲蛙的此州印

2.分段函数是一个函数而不是几个函数

虽然分段函数有两个或两个以上的不同表达式，但它是一个函数.

3.从集合A到集合3的映射与从集合B到集合A的映射在

一般情况下是不同的，即映射中A与8是有先后次序的.

4.函数与映射的区别与联系

区另联系

函数集合A、B是非空数集（1）都是多对一或一b对一k

-_—一__--.---

（2）函数一定是映射，而

映射集合A、B是非空集合

映射不一定是函数

思维启迪:

1.用列表法表示的函数的定义域与值域

表中所列的自变量的值与函数值组成的集合分别是函数的定义

域和值域.

2.分段函数的定义域与值域

分段函数的定义域是自变量各段取值区间的并集.值域是各段

函数在自变量相应取值区间上函数值集合的并集.

3.判断曲线是否是函数的图象的方法

如果垂直于］轴的直线始终和曲线至多有一个公共点，则曲线

是函数的图象，否则不是函数的图象.

考点6单调性与最大（小）值

体系扫描

函数的最大（小）值

增函数，函数的单调性.减函数

\/

'单调增区间］单调减区间’

-考点6数学（必修1）

核心归纨［

1,增函数与减函数

（1）定义：设函数八乃的定义域为/,如果对于定义域，内某个

区间。上的任意两个自变量的值m2,当卫1<Z2时，都有了（耳）〈

/（Z2）（/（Z］）>/（Z2）），那么就说函数/（Z）在区间。上是增函数

（减函数）.

（2）几何解释：若函数/（%）在区间。上的图象从左往右是上升

（下降）的，则函数/（%）在区间。上是增函数（减函数）.

2.最大（小）值

（1）定义：

设函数y=/'（z）的定义域为3如果存在实数M满足：

①对于任意的1,都有；

②存在工。£1,使得/（x0）=M.

那么称M是函数、=/（“）的最大值（最小值）.

（2）几何解释：若函数/（z）的图象有最高（低）点，则最高（低）点

的纵坐标就是函数/（G的最大值（最小值）.

央争纵横

1.函数—在区间［1,3］上满足f（l）V”3）,则—在区间

［1,3］上不一定是增函数.根据增函数的定义，乃，也具有任意性，不

能用具体的两个值代替.

2.函数八卫）在区间Di和区间D2上都是减函数，则/（1）在区

间D1UD2上不一定是减函数，如函数y=［■，在（-8,0）和

X

（0,+8）上分别是减函数.但在（-8,0）U（0,+8）上不是单调函

数，故单调区间一般不能取并集.

思维启迪

1.函数单调性的判定方法

（1）定义法

(2)图象法

若能画出函数/(z)的图象，则可由图象直接得到.

(3)利用已知的结论

①函数、=一/(%)与函数》=/(了)的单调性相反.

②当/(%)恒为正或恒为负时，函数)=念与y=/(1)的单调

性相反.

③在公共区间上，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=

增函数.

④函数人7)与f(z)+c(c为常数)具有相同的单调性.

⑤当c>0时，函数八外与=/(])具有相同的单调性；当cVO

时，函数f(z)与c•/(X)具有相反的单调性.

⑥若/(公>0,以7)>0,且/'(z)与g(z)都是增(减)函数，则

/(x)•g(z)也是增(减)函数；若f(z)V0,g(z)VO,且/(了)与以①)

都是增(减)函数，则/(x)•g(i)是减(增)函数.

2,若函数/(%)在句上是增函数，则/5(幻)>/"(]))的解

声(工)〉九(工)

集为<a&g(z)&6.

a《h(a:)&b

V.

考点7奇偶性

体系:扫描

—V函数图象的对称财、

/♦\

/I\

奇函数’函数的奇偶性-偶函数

核心归纳

1.偶函数与奇函数

理解偶函数或奇函数的定义应抓住以下两个方面:

考点7数学（必修1）

（1）函数f（z）的定义域关于原点对称，从而，（一Z）才有意义;

（2）/（—1）=/（]）或/（—x）=­y（x）.

2.奇、偶函数图象的对称性

[4）的图象关于原点对称,：:一於）是奇函数1

4\）的图象关于j轴对称：：1/（'）是偶函数1

知以纵横

1.函数f（z）的定义域关于原点对称，则有

条件结论

/(-1)=/(])/（z）是偶函数

/(-x)=-/(X)/（%）是奇函数

/'(—z)=f(z)且/(—1)=—/(N),/（1）既是奇函数，又是偶

即/(x)=0函数

/（一力¥，（7）,且y（—/（x）f（七是非奇非偶函数

2.偶函数的图象关于9轴对称，但其图象不

一定与,轴相交.如函数八为二击的图象.

思维启迪

I.若奇函数/（幻的定义域包含0,则八0）=0.

2.用定义判断函数奇偶性的等价方法

（1）先求出定义域是否关于原点对称，若对称，再看/（-x）±

/（z）=0之中有无成立的，若/（—i）+/（z）=0,则/（了）为奇函数;

若/（一”）一/（%）=0,则若力为偶函数.

（2）先看定义域是否关于原点对称，若对称，再看勺建=

偶函数；若先乎—一H/DXO），则/（z）为奇函数.

3,分段函数奇偶性的判断方法

分段函数的奇偶性应分段判断

4.奇偶函数在其对称区间上的单调性

奇函数在［a,6］和［—6,—a］上有相同的单调性；偶函数在［a,6］

和［-6,一内上有相反的单调性.

5.判断函数奇偶性的方法

（1）定义法；（2）图象法；（3）利用结论.

偶±偶=偈）语士奇=奇）偶x偶;偶

考点8指数与指数零的运算

r体系扫描

整数指数累

有理数指数

幕及其运算

定义、,一K,一s分数指数幕幕的运算性质

根式指数

性质

无理数指数

幕及其运算

‘核心归纳

1.根式的定义

式子窗叫做根式，这里n叫做根指数,a叫做被开方数.

2.n次方根

一般地，如果那么1叫做a的九次方根.

3.根式的性质

①(%j"=a(〃6N*且n>l)；

数学（必修1）

a"为奇数且）

②v^=J（

|M（九为偶数且

”.分数指数幕

规定：（1）。亭=坛T（a>0,m、〃GN*,且«>1）.

（2）。一胃=W=^^（a>°，M，九GN"，且九>1）.

（3）0的正分数指数募等于0,0的负分数指数幕没有意义.

5.有理指数塞的运算性质

ar,优=ar+$（a>0,厂,sCQ）.

（a）=a"（a>0,厂,sGQ）.

（a6）r=a%，（a>0,6>0,厂GQ）.

如羽做孑嘱

对于根式记号彳,要注意以下四点

（l）n€N*，且（2）当n为大于1的奇数时，夜对任意a£R

都有意义，它表示。在实数范围内唯一的一个〃次方根，（夜”=a.

（3）当m为大于1的偶数时，夜只有当时有意义，当aV。时无

意义.热（。>0）表示a在实数范围内的一个〃次方根，另一个是

一夜,（士窗）”=。.（4）式子行对任意。61<都有意义，当n为奇数

时,如Ja；当n为偶数时,/|a|=广

1—a（aVO）

曳维启理

I.在求值和化简中，如何“处理”分数指数幕和根式?

（1）将根式化成寨的形式；（2）将小数指数塞化为分数指数第;

（3）利用基的性质进行化简，求值.

2.化简结果的要求

（1）一般用分数指数幕的形式表示,也可用根式来表示.

（2）如有特殊要求，则按要求给出结果.

(3)结果中不能同时含有根式和分数指数骞.

(4)结果中不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式.

3.指数运算的常用技巧与方法

(D巧用公式：如平方差、立方差、完全平方公式，例如

6=(aT,(a+—悬),a>0,A>0；

a+6=(a§+b+)•(aT-aT-F6T).

(2)整体代换思想：如：已知2工+2一工=*求81+8r的值.

(3)化归与转化思想：如：根式化为分数指数籍.

(4)多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幕写出，

然后利用性质运算.

(5)负化正，大化小，根式化为分数指数嘉，小数化为分数是简化

计算的技巧.

考点9指数函数及其性质

L体系扫描

指数函数图象

值

I调定义

域域〔性

丁核心归纳

1.指数函数的定义

一般地，函数丁=a"a>O,aHl,z€R)叫做指数函数.

-考点9。数学（必修1）

2.指数函数的图象与性质

如巩纵横

L对于指数函数图象和性质的理解要注意以下四点：

（1）当底数a大小不定时，必须分，>1"和“OVaVl”两种情形讨

论.

（2）当OVaVl时，zf+8,»-►（）；当a>l时，;c->—8

当«>1时,a的值越大，图象越靠近）轴，递增速度越快.

当OVaVl时,a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.

（其中。f+8”意义是。接近于正无穷大”）

（3）指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大

小的关系•在了轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

在》轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

（4）指数函数》=0工与）=（T->（a>0且a¥l）的图象关于、

轴对称.

2.从函数）=。工的图象观察;［八为）+/（12）］与/（若卫）

乙乙

的大小.分a>l与OVaVl两种情况讨论.

对两种情况的指数函数图象，分别取两点人（7］,/（不）），

B（i2,f（Z2））连线段，其中（不）+f（Z2）1就是线段AB中点M

乙

的纵坐标，/（口手丝）就是函数丁=。工与直线7=卫产的交点N

的纵坐标，显然无论哪一种情况总有点N在点M下方，所以

电唯后迪〕

1.指数函数y-ar（a>0且,IGR）的结构特征

（1）底数。是大于0,且不等于1的常数;

（2）ax中z的位置仅为z;

（3）。工前面的系数仅为1.

2.如何由指数函数的图象，判断它们底数

的大小关系

底数。越大，函数图象在»轴右侧部分越

远离z轴正半轴.这一性质可通过］取1时,

函数值的大小去理解，a的值即为z取1时的

函数值.如图a>6>l>c>0.

考点70数学（必修1）

3.比较幕的大小的方法

比较大小常用方法有：

（1）作差（商）法；（2）函数单调性法；（3）利用中间值法.

在比较两个哥的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个募的大小比较，可以利用指

数函数的单调性来判断；

（2）对于底数不同，指数相同的两个幕的大小比较，可利用指数

函数图象的变化规律来判断；

（3）对于底数不同，且指数也不同的嘉的大小比较，则应通过中

间值来判断；

（4）对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应先进行分组比较

（特别是与0,1比较），再比较各组数的大小即可.

比较几个数的大小，一般步骤如下：

①首先与零比较，分出正负数；

②正数与1比较，分出大于1、小于1两类；

③在以上两类中再利用函数单调性比较两数的大小.

考点10对数与对数运算

体系:扫描

对---------\/（基本性质

指数式与对

数对数的性质（

数式的互化

的对数的运算性质

概

念常用对数和自然对数

对数的换底公式

核心归纳

1.对数的定义

*

一般地，如果a，=N（a>0,且。#1）,那么数之叫做以a为底N

的7十料•一；百他.=3汀2一甘山Cd1|册71场的庇蜘一\7口11砒百蝌

2,常用对数:通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把

logioN记为IgN.

3,自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底

数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logcN记为InN.

4.对数的基本性质

(1)零和负数没有对数；(2)log°l=0,logaa=l；

(3)对数恒等式：abgaN=NJoga/=6.

5.对数的运算性质

如果a>0,且aHl,M>0,N>0,那么

(l)loga(M•N)=logaM+logaN.

(2)loga=logaM-logaN.

n

(3)logaM=wlogdM(n€R).

6.对数的换底公式

,N>0).

logaN=^^(a>0且。六1">0,且

10g6<2

知彼纵横

1.对数式与指数式的互化要注意以下几点

(l)a6=N(a>0且a¥l)<=>loguN=6(a>0且aHl).

即上述两式是a、6、N之间的同一关系的两种等价表达形式，说

明对数式与指数式可以相互转化.

(2)注意a、6、N各自的位置

名称

式子

abN

指数式d=N底数指数募

对数式log”=6底数对数真数

2.对数的运算性质需注意

公式成立的前提条件是所有底数大于0且不等于1,真数大于

淳点“数学（必修1）

。，如lg［（—2）X（~3）］#;lg（—2）+lg（—3）,lg（—10）2^21g（—10）.

3.对数的换底公式中，等式右端分子是左端真数的对数，分母是

左端底数的对数，不要记混.

思维启迪

如何化简复杂的对数式

（1）对于同底的对数的化简常用方法是：

①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；

②“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）.

（2）对于常用对数的化简要创设情境充分利用“Ig5+lg2=l”来

解题.

（3）对于多重对数符号的对数的化简,应从内向外逐层化简求值.

（4）当真数是“厂士厂”的式子时，常用方法是“先平方后开

方”或“取倒数”.

考点U对数函数及其性质

体系扫描

/（对数函数由蒙户、定义域

定‘义】对数函数）对数函数性质（（值域函数值的变化情况j

【反函数停调性）

k/</

指数函数

核《归纳

1.对数函数的定义

一般地，函数y=log4（a>0,且。中1）叫做对数函数，其中Z是

自变量，函数的定义域是（0.+8）.

指数函数》=。£（。＞0,且aKl）与对数函数了=logq（。＞0,且

互为反函数.

知识纵横

1.对数函数、=1=―（。＞0,且。^1）的结构特征

（1）底数。是大于。且不等于1的常数；

（2）真数位置是Z；

（3）logM前面的系数仅为1.

2,对数函数性质如何记忆

对数函数的性质，可观察图象进行总结，从图象观察性质直观、

叮考点〃)数学(必修1)

思维启迪

1.由对数函数的图象，判断它们

底数大小的方法

(1)对于底数都大于1的对数函

数，底数越大，函数图象向右的方向

越接近1轴；对于底数都大于0而小

于1的对数函数，底数越大，函数图

象向右的方向越远离X轴.

(2)作直线y=l与各图象交点

的横坐标即各函数的底数的大小，如图，a>6>l>c>d>0.

2,比较两个对数型的数的大小的常用方法

(1)直接法：由函数的单调性直接得到.

(2)作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来

确定.

(3)作商法：把要比较大小的两数作商与1来比较.

⑷媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大

小，从而间接地求得这两数的大小.

3•如何判断y=logJ(/)的单调性

函数y=logj(x)可看作是)=logV与£=/(%)两个简单函数

复合而成的，则由复合函数的判断法：同增异减知：当时，若

£=/(])为增函数，则1y=logj(z)为增函数，若z=/(G为减函数，则

y=logj(i)为减函数；当OVaVl时,若£="])为增函数，则y=

logj(z)为减函数，若£=/(%)为减函数，则y=logj(z)为增函数.

考点12嘉函数

体系扫描

走三丫的图象\

定义域

的图象j\

",、4幕函数j/值域

/_-\

幕函数/

募函数T="的图象

的定义的性质单调性

■•『x*的图象、/)

\...1.।uit~_/奇偶性

、.尸m的图象

1.幕函数的主义

一般地，函数叫做幕函数，其中工是自变量，a为常数.

2.在同一直角坐标系内的幕函数,v.r,v

1的图象如图1所示.

图1

_，多吏q数学(必修1)

3.幕函数的性质

从图1可以观察得到募函数的特征如下:

特缸、的数■

1

y-x丁=N2产不

性质

{il/WR.

定义域RRR[0,-Foo)

•rWO}

{力CR，

值域R[0,+oo)R[0,+oo)

yWO)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

,—■___

-r€[0,•r£(0,

+8)时，增+8)时,减

单调性增增增

xE(一8,]£(—oo,

0]时，减0)时，减

(1,1)、(1,1)、(1,1)、(1,1).

定点(1,1)

(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

一一-----

知识纵横■___________

1.理解籍函数的定义、注意以下三点

(1)它的系数为1,自变量z为罄的底数，指数a为任意实数.

(2)求嘉函数解析式，可根据待定系数法，设函数为/(7)=］。，

据条件求出a.

(3)注意区分募函数与指数函数，塞函数的底数为自变量，指数

为常数；而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.

2.结合［核心归纳］中的2、3函数图象及特征得到募函数的性质

如下：

(1)所有的基函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都通过点(1.1)；

(2)如果a>0,则基函数的图象过原点，并且在区间［0,+8)上

(3)如果aVO,则辕函数的图象在区间(0.+8)上是减函数；

(4)当a为奇数时,磨函数为奇函数，当a为偶数时.暮函数为偶

函数.

思维后远3

I.判断一个函数是否为鬲函数的方法

主要看的系数是否为1,底数是否为自变量1的系数为1的

单项式.

2.如何确定幕函数的定义域？

幕函数的定义域随着a取值的不同而不同.

(1)当a为正整数时0=1。的定义域为R.

(2)当a为正分数时，设a=为互质的正整数，则

n

»=］与=行7.若〃为偶数时，y=z与的定义域为［0.+8);若〃为

奇数时~=z岸的定义域为R.

(3)当a为负整数时，定义域为｛川zGR且zKO).

3.如何比较两个幕的大小？

(D如果同底数不同指数,则可运用指数函数的单调性比较大小.

(2)如果同指数不同底数，则可运用辕函数的单调性比较大小.

⑶如果两个哥的指数和底数全不同，此时需要引入中间变址.

常用的中间变量有0,1或由一个塞的底数和另一个塞的指数组成.

考点13函数与方程

数

函

点

零点定义零

存

方程的根与的

性

函数的零点在

¥去!

考点73数学(必修1)

核心归纳

1.函数的零点

对于函数y="z),我们把使/(^)=0的实数x叫做函数y=

f(%)的零点.

2.二次函数的零点个数与相应二次方程的实根个数的关系

方程0/+6%+《=0(々大0)

判别式函数了=<2〃+6z+c(a#0)

的根

△〉0两个不相等的实根两个零点

△=0两个相等的实根一个二重的零点

△V0无实根无零点

3.函数零点的存在性定理

如果函数y=/(z)在区间［。泮］上的图象是连续不断的一条曲

线，并且有/(a)•f(6)V0,那么，函数？=/(1)在区间(a,6)内有零

点，即存在cG(a,6),使得f(c)=O,这个c也就是方程"z)=0的

根.反过来，若函数了=/(］)的一个零点在区间(。")内，则必有f(a)

•/(6X0.

4.二分法的概念

对于在区间［。，切上连续不断，且f(a)•/(6)<0的函数)=

/(］),通过不断地把函数/(G的零点所在的区间一分为二，使区间

的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

工知识纵横

1.函数的零点与方程根的联系

方程/(X)=O有实数根㈡函数？=/(7)的图象与X轴有交点㈡

函数y=/(z)有零点.

2.函数零点的性质

对于任意函数、=/(z),只要它的图象是连续不断的，则有

(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持

3.关于函数零点的存在性定理要注意以下几点

(1)符合该定理的条件，则函数存在零点，但零点不一定唯一；

(2)不符合f(a)•f(b)<0的函数不一定无零点；

(3)此定理是用二分法求方程根的近似值的基础；

(4)只有当函数、=/(r)在区间上的图象是一条连续不断

的曲线时，才能使用函数零点的存在性定理去判断.’

.1.对于二分法的定义要注意如下两点

(1)二分法的基本思想：逼近思想；

(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点

适用，对函数的不变号零点不适用.

思维启迪

1.函数的零点有两种求法

(1)代数法：求方程/(7)=0的实数根.

(2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数

丁=/("的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

2.如何求方程根所在的大致区间

方法一：对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符

号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内,这种

方法需多次尝试，比较麻烦.另外在这个区间内也不一定只有一个

解.

方法二：画图法，若F(i)=O对应函数y=F(z)比较简单，其图

象容易画出，就可以观察图象与1轴相交的点的位置，交点横坐标就

是方程F(i)=O的解，从而得到F(x)=O的根所在大致区间；若函

数y=F(z)的图象不容易画出，则将F(z)分解为的形

式，且y=/(公与v=g(幻较容易画出图象，它们交点的横坐标就是

F(z)=O的解，这种方法要求作图要准确，否则得不出正确答案.

方法三：将方法二与方法一结合，从形与数两个方面共同完成这

考点⑭数学（必修1）

考点14函数模型及其应用

体系扫描

一

几

函

类

数

指数爆炸：指数函数模型）畲数学模型及数学建模