2021届高三数学（文理）一轮复习题型训练：函数的周期性（含解析）

《函数的周期性》

考查内容：函数周期性的定义与求解，利用周期性求函数值，解析式，抽

象函数的周期性等

选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知定义在R上的函数“力满足〃x)=—/(x+1),且当lWx<2时，

f(x)=9x-9,则/

A.0B.-6C.18D.-18

2.已知函数Ax)对于任意实数了满足条件/(x+2)=—工，若/(2)=工，则

/(x)2

/(2020)=()

11

A.----B.—C.—2D.2

22

3.已知定义在尺上的函数Ax)满足/(%+2)=—/(%),当xc(0,2］时,

/(x)=x-sin7TX,/(I)+/(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.6B.4C.2D.0

4.已知定义在R上的奇函数〃力满足〃x+2)=/(2—X),当—24尤<0时,

f(x)=ax-l(a>Q),且/(2)=—8,贝|/(2019)=()

A.2B.1C.-2D.-1

5.已知函数“无)满足/(x+2)—l=/(x)/(x+2),/(0)=2,则

/(2018)+/(2020)=()

1

A.-1B.2C.1D.——

2

6.函数y=/(%)是以2为周期的偶函数，且当(0,1)时，f(x)=%+1,则在

(1,2)时/(x)=()

A.-x-3B.3-xC.1-xD.x+1

7.设/(%)是定义在H上以2为周期的偶函数，当xw［2,3］时，/(%)=%,则

2,0］时，/(力的解析式为()

A./(x)=2+|x+l|B./(x)=3-|x+l|

C./(%)=2-%D.〃x)=x+4

8.己知〃尤)是定义在R上周期为2的函数，当年［-1』时，/(x)=|x|,那么当

%目一7,-5］时/(力=()

A.|x+3|B.\x-3\C.|x+6|D.|x-6|

9.已知偶函数7。)的图象关于(1,0)对称，且当xe(0,1)时，/(x)=Y,贝I］

xe(9,10)时，Ax)=()

A.%2B.-x2C.(x—8>D.-(10-x)2

10.定义在R上的偶函数〃尤)满足“x+2)=/(x),且在［―1,0］上单调递减，设

a=/(-2.8),b=/(-1.6),c=/(0.5),则。、b,c大小关系是()

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.a>c>b

ii.已知函数“x)是定义在R上的奇函数，y(x+i)是偶函数，且当时，

f(x)=3x-2,则〃2019)+〃2020)=()

A.-1B.0C.1D.2

12.已知函数y=/(x)的周期为2,当xe［0,2］时，/(x)=(x-l)2,如果

g(x)=/(x)-log5|x-l|，则函数y=g(x)的所有零点之和为()

A.2B.4C.6D.8

二.填空题

13.已知定义在R上的函数/(力满足/(X+1)=—/(%),且当1WX<2时，

/(x)=9，—9,则/，£|=

14.已知函数/(%)对VxeR满足/(x+2)=/(—x),

y(x+l)=/(x)/(x+2),且/(x)>0,若/⑴=4,则“2019)+4202。)=一

15.已知/(%)是定义在R上的奇函数，对任意实数x满足/(x+2)=—/(%),

/⑴=2,则/(2019)+/(2020)=.

16.已知兀r)是定义在R上的偶函数，并且/'(x-4)=/(x),当2%W3时，於)=彳,

则次105.5)=.

三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有/(x+2)=—/(%),当

xe［0,2］时，/(x)=2A:-X2.

(1)求证：/(x)是周期函数；

(2)当xe［2,4］时，求“X)的解析式;

(3)计算〃0)+〃1)+〃2)++”2014)的值.

18.已知〃尤)是定义在R上且满足/(x+2)=/(x)的函数.

(1)如果gx<2时，有/(%)=%,求"3)的值；

(2)如果g后2时，有=—若-24W0,求的取值范围；

(3)如果g(x)=x+/(x)在［0,2］上的值域为［3,8］,求g(%)在［-2,4］的值域.

19.设危)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2,且y(l+x)=Xl—%),当一

l<x<0时，f(x)=—x.

⑴判断/(%)的奇偶性；

(2)试求出函数危)在区间［—1,2］上的表达式.

20.已知函数八力的定义域为R,且满足〃x+2)=—/(%).

⑴求证：“可是周期函数；

⑵若“可为奇函数，且当OWxWl时，/(x)=1x,求使/(x)=—1■在［0,2014］

上的所有X的个数.

21.设函数/(%)在R上满足"3+X)="3-x),/(8+x)=/(8-X),且

在闭区间［0,8］上只有/⑴=/(5)=/⑺=0.

(1)求证函数/(九)是周期函数；

(2)求函数/(%)在闭区间［-10,0］上的所有零点；

(3)求函数“可在闭区间［-2012,2012］上的零点个数及所有零点的和.

22.已知定义在R上的函数/(X)同时满足：①对任意XGR,都有

/(x+1)=-/(%)；②当XC(0,1］时，/(%)=x,

(1)当xe(2,4］时，求/(x)的表达式；

(2)若关于工的方程/。)=2%+加在(2,4］上有实数解，求实数m的取值范围；

(3)若对任意xc(-8,4］,关于x的不等式/(x)>2x+m都成立，求实数m的取

值范围.

《函数的周期性》解析

L【解析】〃x)=-/(x+l),.-./(%+1)=-/(%),

，/(x+2)=-/(x+l)=/(x)，

所以，函数y=/(x)是以2为周期的周期函数，

2.【解析】/(%+2)=/(%+4)=-1=/(x):.T=4

/(x)/(x+2)

/(2020)=/(4)=--i-=-2,故选：c

J\^)

3.【解析】♦.•/(x+4)=—〃x+2)=/(x),的周期为4,

"1)=1,42)=2,/(3)=-/(1)=-1,/(4)=-/(2)=-2,

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2019)=/(1)+/(2)+/(3)=2.

4•【解析】根据题意，函数/(%)是定义在R上的奇函数，则/(-x)=-/(%),

若函数了(尤)满足/(x+2)—f(2-x),则有/(-x)—f(x+4),

则有了(x+4)=-f(尤)，变形可得了(x+8)=-f(x+4)=于(尤)，

则函数了(无)是周期为8的周期函数，

又由函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/(2)=-8,则/(-2)=8,

若当-2Wx<0时，f(x)=〃-1(a>0),且/(-2)=a2-1=8,解可得。=；,

则/(-I)=(1)-1-1=2,则/(1)=-2,

又由函数/(x)是周期为8的周期函数，

则了(2019)=/(3+2016)=/(3)=/(1)=-2；故选：C.

11

5.【解析】/(%+2)=/(x+4)==1-

1-/Wl-/(x+2)/(x)

/(x+6)=———■-=/(%),所以/(x)的周期为6,

l-/(x+4)

f(2018)="6x336+2)=/(2)=-1,

/(2020)=/(6x336+4)=/(4)=1,所以/'(2018)+/(2020)=—g.故选：D.

6.【解析】设无£(1,2),则-(-2,-1),(0,1)

：.f(2-x)=2-x+l=3-x,函数y=/(x)是以2为周期的偶函数

.*./(x+2)=f(x),/(-x)=f(%),则/(2-x)=f(-x)=f(x)=3-x

故选艮

7.【解析】/(力是定义在R上以2为周期的偶函数，

,当xe[_2,—l]时，%+4e[2,3],/(x)=/(%+4)=^+4；

当xe[_l,O]时，-x+2e[2,3],/(%)=/(-%)=/(-%+2)=-%+2,

二当xe[-2,0]时，/(%)=3-卜+1卜故选：B.

8.【解析】设则x+6e[—l,l],由题意知,/(x+6)=|x+6],

因为函数/(可是定义在R上周期为2的函数，

所以/(x+6)=/(x),即/(x)=|x+6].故选:C

9.【解析】偶函数/(X)的图象关于a,0)对称，则/(%)=/(—x),/a—x)=—/(l+无)

得到/(%)=/(-%)=-f(2+x),f(x+2)=—/(x+4),

故/(x+4)=/(x)周期为4,设xe(9,10),则10-xc(0,l)

/(x)=—/(x+2)=-/(x-10)=-/(10-x)=-(10-J,故选：D

10.【解析】：偶函数满足〃x+2)=/(x),.•.函数的周期为2.

由于a=/(—2.8)=〃-0.8),b=/(-1.6)=/(0.4)=/(-0.4),

c=/(O.5)=/(-O.5),-O.8<—0.5<-0.4.且函数/(九)在[—1,0]上单调递减，

:・a>c>b.

11.【解析】=—/(x),/(—x+l)=/(x+l),.,.

/(2+x)=/(-x)=-/(x),/./(4+x)=-/(2+x)=/(x),

最小正周期T=4,又/(0)=0,

7(2019)=/(505X4-1)=/(-1)=-/(1)=-1,

/(2020)=f(505x4)=/(0)=0,/(2019)+/(2020)=—1,故选：A.

12.【解析】由题意可得g(x)=f(x)+log5|x-l|,

根据周期性画出函数f(x)=(x-l)2的图象以及y=log引X-1|的图象，

根据y=log引x-l|在(1,+oo)上单调递增函数，当x二"6"时，log5|x-l|二l,

，当x>6时，y=log5|x-l|>l,此时与函数y=f(x)无交点.

再根据y=log5|x-l|的图象和f(x)的图象都关于直线x=l对称，结合图象可知有8个

交点，则函数g(x)=f(x)-log5|x-l|的零点个数为8,故选D.

13.【解析】由/(%+1)=—/(%),可得/(x+2)=—/(x+l)=〃x)nT=2

14•【解析】YXER,/(力>0且/(X+1)=/(X)/(X+2),

得小+2)=翁，二4+3)=彳翳=黑产天%=看,

・・•/(X+6)=/(：+3)=/(X),，丁:/口)是以6为周期的周期函数,

/(x+2)=/(-%),.•./(x+l)=/(x>/(一%),可得［〃0)T=7'⑴=4,

・••"0)=2,又“1)=4,得〃2)=瑞=2,=

八4)=舟1回力！

113

.•./(2019)+/(2020)=/(6X336+3)+/(6X336+4)=/(3)+/(4)=-+-=-

15.【解析】,函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，则"0)=0,

且对任意实数X满足/(x+2)=—/⑺，.•.4)=—/(x+2)=/⑺,

所以，函数y=/(x)是以4为周期的周期函数,

7(2019)=/(4x505-l)=/(-l)=-/(l)=-2,

/(2020)=/(4x505)=/(0)=0,因止匕，/(2019)+f(2020)=-2+0=-2.

16.【解析】由已知，“X—4)=/(£),故函数的周期为4.

.•.f(105.5)=f(4x27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).V2<2,5<3,由题意,得f(2.5)=2.5.

.••f(105.5)=2.5.故答案为2.5

17•【解析】⑴/(%+2)=-/(x),?|-

"%)是周期为4的周期函数.

⑵当2,0]时，—xe[0,2],由已知得了(—x)=2(—x)—(―4=—2x—d.

又/(%)是奇函数，二/(一%)=-/(%)=-2%-*,二/(X)=X2+2%,

又当xe[2,4]时,X-4G[-2,0],/./(x-4)=(x-4)2+2(x-4),

又〃尤)是周期为4的周期函数，

/(x)==(无一4)~+2(%-2)=尤2-6x+8，

从而求得xe[2,4]时，/(%)=X2-6%+8.

(3)/(0)=0,/(2)=0,/(1)=1,/(3)=-1,又/(%)是周期为4的周期函数，

/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=/(4)+/(5)+/(6)+/(7)==f(2008)+f(2009)+/(2010)+/(2011)=0

又了(2012)+〃2013)+〃2014)=/(0)+〃1)+〃2)=1,

/(0)+/(1)+/(2)++/(2014)=1.

18.【解析】⑴f(3)=f(l+2)=f(l)=l；

⑵若-2WaW0,则ga+2W2,.・.f(a)=f(a+2)=(a+2—1)2=但+1)屋[0』；

(3)因为g(x)=x+f(x)在[0,2]上的值域为[3,8],所以f(x)在[0,2]上的值域

为[3,6],所以g(x)在[-2,4]上的值域为[1,10].

19.【解析】(l);VU+x)=/U—x),x)=/(2+x).

又7(%+2)=危)，%)=/(x).又危)的定义域为R,・••加)是偶函数.

(2)当x£[0,1]时，—%e[—1,0],则—%)=%；

进而当10烂2时，一13一2二0,y(x)=/(x—2)=—(%—2)=—x+2.

-x,xG[-1,0]

故/(x)=<x,xe(O,l)

-x+2,xe[1,2]

20.【解析】⑴证明：於+2)=一加),

・・・八%+4)=—加+2)=—［—次叨=/(%),・・・八工)是以4为周期的周期函数.

⑵解当00运1时,"%)=

设一13运0,贝！!0二一烂1,.\f(—x)=(―%)=—

•・7(x)是奇函数，.•・/(—%)=—，")，・•・一，")=一万元,即y(x)=5%.

皿1

故#%)=-X-

又设1<%<3,则一l<x—2<1,•t•fix-2)=5(%—2).

又・・"(x)是以4为周期的周期函数

11

•・处—2)=八-2)一段)’—万(广2),；&)=一万(1)(1令<3).

—x,-1<x<1

21

•••加)=《，由兀r)=——,解得x=-L

--(%-2),1<%<3-

:八%)是以4为周期的周期函数，.•犹x)=一g的所有x=4〃一l(〃ez).

人12015-

40<4z?-l<2014,贝nUl—S花-----.又l<H<503(«ez),

44

...在［0,2014］上共有503个x使人x)=-g.

21.【解析】⑴由/(3+x)=/(3—x),/(8+x)=/(8-九)得

/(10+x)=/(8+(8-6+x))=/(6-x)=/(3+3-x)=/(x)

所以〃龙)的最小正周期T=10.

(2)由〃8+x)=/(8—x)知〃9)=〃7)=。

/(1)=/(1-10)=/(-9)=0/(5)=/(5-10)=/(-5)=0

/(7)=/(7-10)=/(-3)=0/(9)=/(9-10)=/(-1)=0

函数y=/(力在闭区间［—10,0］上的零点分别有：T，—3,—5,—9.

(3)由(2)可知一个周期内有4