2021年广东省春季高考数学模拟试卷12 (二)

2021年广东春季高考数学模拟试卷（12）

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1.已知集合加=｛削x是等边三角形｝,N=｛Rx是等腰三角形｝,则下列判断正确的是。

A.M乎B.M=NC.MeND.M^N

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的基本运算和三角形的性质可求得答案.

【详解】

集合M=｛x|x是等边三角形｝,N=｛x|x是等腰三角形｝,

所以MuN.

工

故选：A.

【点睛】

本题考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.下列函数中，值域是R且是奇函数的是（）

A.y=j?+lB.y=sinxC.y=x-x3D.y=2x

【答案】C

【解析】

【分析】

根据基本函数的值域及其奇偶性一一分析选项中的函数即可.

【详解】

A项中，y=d+l的值域是R,但不是奇函数；

B项中，y=sinx的值域是[-1,1],是奇函数；

C项中，＞=x-》3的值域是我，且是奇函数；

D项中，y=2、的值域是（0,+8）,不是奇函数.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查基本函数的值域和奇偶性，属于简单题.

3.已知coscrsin（乃+a）＜0,那么角。是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据诱导公式化简，再根据三角函数符号确定角所在象限.

【详解】

因此角a是第一或第三象限角，

故选：C

【点睛】

本题考查诱导公式以及三角函数符号，考查基本分析判断能力，属基础题.

4.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是。，b,c且G〃sin8=hsin（5+C）tanC,

则cosC=()

11

A.—B.----C.国.

222~2

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知、Qasin3=/?sinAtanC，再根据正弦定理，可得力sinAsinBsinBsinAtanC，

可得tanC=百，由此即可求出角C，进而求出结果.

【详解】

在,A3c中，sin(3+C)=sinA

所以力$皿（8+0匕11。=人5也41311。，

所以G〃sin3=/?sinAtanC，

由正弦定理可知，^3sinAsinB=sinBsinAtanC，

又A8e(O,»),

所以tanC=J§，

又。£（0,"），所以。=g

所以cosC=，

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

5.在边长为2的正方形ABCD,E为CD的中点，则4£.£C=()

A.--B.—C.-ID.1

22

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算，可以求得结果.

【详解】

以A为坐标原点，建系如图：

则4(0,0),矶1,2),C(2,2),瓶=(1,2),EC=(1⑼，所以X£.EC=1,故选D.

【点睛】

平面向量运算有两种方式：坐标运算和基底运算，坐标运算能极大减少运算量，是我们优先选用的

方式.

6.已知4、人，C,d均为实数，则下列命题正确的是()

A.若a<b,则ac</?d

cd

B.若ab>0,hc—cid>0,则-----<0

ab

C.若a>b,则。一d>Z?-c

ab

D.若a>b,C>d>0则一>—

【答案】c

【解析】

【分析】

根据不等式的性质对各个选项逐一验证，即可得到结果.

【详解】

若0<a<6，()<c<d,则acchd；故选项A错误；

若而>0,bc-ad>0,则幺二也>0,即£一旦>0,故选项B错误；

ahab

若a>b,c>d,则一d>-c,所以a-d>b-c,故选项C正确；

若0d>0,则'>』>0；若a>〃>0,则且>2；故选项D错误；

acdc

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.

7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()

A.72B.48C.27D.36

【答案】D

【解析】

【分析】

由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个直角三角形，直角边长分别是4,6cm,三棱

柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长是3,利用体积公式得到结果

【详解】

由题可得直观图为三棱柱，故体积为：V=S〃=4x6x,x3=36,故选D.

2

【点睛】

本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所给的几何体的形状和

长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题.

8.下列命题正确的是（）

A.一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行

B.一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行

C.一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行

D.一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直线与平面平行的性质逐一判断即可.

【详解】

一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行或异面，故A不正确；

一直线与平面平行，则平面内有无数条直线与已知直线平行，故B不正确；

一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行，故C正确;

一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线平行或异面，故D不正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中直线与平面的位置关系及其运用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

9.如图，8是线段AC上一点，分别以为直径作半圆，AC=6,AB=2,在整个

图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由题，先求出两个白色小半圆的概率，再利用概率之和为1,求得阴影部分的概率即可.

【详解】

万x『万x22

■7+74

可得概率为P=1一一--

冗乂3-9

2

故选C

【点睛】

本题主要考查了几何概型中面枳型，会求得面积是解题关键，属于基础题.

10.如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一

个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为（）

A.B.C.D.85,4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后,

把剩下的五个数字求出平均数和方差.

【详解】

由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，

1,o84+84+86+84+87

所剩数据84,84,86,84,87的平均数为-------------------=85：

方差为（［（84-85）2+（84—85『+（86一85『+（84-85『+（87—85）［=［.

故答案为C

【点睛】

茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，

确保检拿这部分的分数.

11.已知圆。：/+丁2一2%—3=0,直线/：y=丘+1与圆C交于A,B两点，当弦长最短时

人的值为()

A.IB.y/2C.-ID.-72

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线的方程，判定直线过定点E(0,l),根据圆的方程求得圆心坐标C(l,0),利用圆的弦的性质

判定直线/与CE垂直时弦长最短，利用两点间距离公式求得CE的斜率，进而利用两直线垂直

的条件求得上的值.

【详解】

据题意直线/：y="+1恒过定点£(0,1),圆心。(1,0),

当直线/与CE垂直时，弦长|同同最短，

此时kcE=—1，二%=1.

故选A.

【点睛】

本题考查圆的弦长最值问题，涉及直线过定点，两直线的垂直关系，属基础题.

12.若圆G：/+y?=1与圆C2：x?+),-6x-8y+加=0外切，则”?=().

A.21B.9C.-21D.-9

【答案】B

【解析】

【分析】

化为圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式，即可求解

答案.

【详解】

由圆G：/+y2=i,得到圆心坐标G(°，。)，半径为4=1，

由圆。2：/+/一6*-8》+加=0,得到圆心坐标。2(3,4),半径为与=125—加，

圆心G与圆G外切，所以在而+1，

解得〃2=9,故选B.

【点睛】

本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的合理应用，列出相应的

方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

f2V+1xw0

13.已知函数/(力=\~八，若=贝!|a=O

2x+log3o,x>0''

A.3B.9C.27D.81

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出/(-1)=9,在代入/(x)=2x+logs”,解方程求出a.

【详解】

3

解：由已知/(-1)=2-1+1=5，

3

••/(/(-l))=/(-)=3+log3a=5,

解得：a=9,

故选：B.

【点睛】

本题考查已知分段函数的函数值求参数的值，是基础题.

14.已知“X)是R上的奇函数，且满足〃x+4)=/(x),当xe(O,2)时，〃x)=2d,则

〃7)=()

A.-2B.2C.4D.-4

【答案】A

【解析】试题分析：由/(x)满足/(x+4)=/(x),所以函数是以4为周期的周期函数，且函数

“X)在R上是奇函数，当xe(O,2)时，/(力=2%2,则〃7)=〃7-8)=/(-1)=一〃1)=一2.

考点：函数的性质的应用.

15.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表

示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为()

A.120B.145C.270D.285

【答案】B

【解析】

【分析】

记第"个五角形数为%,由题意知:4=4,。3一。2=7,。4一。3=16”可得

4一。,1=3(〃-1)+1，根据累加法，即可求得答案.

【详解】

记第〃个五角形数为凡，

由题意知：4=1,生_《=4,%一生=7,4—。3=10…

可得a“一=3(〃-1)+1,

由累加法得a,=◎〃”,

a1。—145.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了根据累加法其数列通项公式，解题关键是掌握数列基础知识，考查了分析能力和计

算能力，属于中档题.

二、填空题

16.某单位对员工编号为1到60的60名员工进行常规检查，每次采取系统抽样方法从中抽取5名

员工.若某次抽取的编号分别为X,17,y,Z,53,贝Ijx+y+z=.

【答案】75

【解析】

【分析】

由X,17,y,Z,53成等差数列，利用等差数列的性质可求解.

【详解】

53-17

由系统抽样可得公差为二j—=12,得x=5,y=29,z=41，所以x+y+z=75.

【点睛】

本题考查系统抽样，解题关键是掌握系统抽样的性质：系统抽样中样本数据成等差数列.

17.已知高为8的圆柱内接于一个直径为1()的球内，则该圆柱的体积为.

【答案】72"

【解析】

•.•圆柱的高为8,它的两个底面的圆周在直径为10的同一个球的球面上,

，该圆柱底面圆周半径『752-42=3，

该圆柱的体积：V-Sh-rex32x8=72TT-

18.若不等式也2-4x—l<0对一切实数X都成立，则实数我的取值范围是.

【答案】-43

【解析】

【分析】

对不等式的最高次项的系数进行分类讨论进行求解即可.

【详解】

当左=0时，原不等式变为一1<0,显然对一切实数x都成立；

当我时，要想不等式h?—h—1<0对一切实数x都成立，则满足：

k<0且△=(—%y+4左<0,解得T<k<0,综上所述：实数A的取值范围是-4<左40.

【点睛】

本题考查了已知不等式恒成立求参数问题.考查了分类讨论思想.

19.设偶函数f(x)对任意x6R,都有/(%+3)=-六，且当x6[—3,-2]时，/(%)=4%,贝!!

/(2018)=.

【答案】-8

【解析】

由条件可得/(X+6)=/(x),函数的周期为6,/(2018)=/(6X336+2)=/(2),/(2)=/(-2)=

—8>故填：-8.

【点睛】本题考查了函数的性质，注意涉及周期性，属于基础题型，在函数中会有一些比较抽象的

式子，有关于周期的，对称的，很多同学不太理解，重点说说这些抽象的式子，周期的有f(x+T)=

f(x),函数的周期为r,/(x-a)=f(x-b),周期为|a-b|,或是有关半周期的式子f(x+7)=

一/0)=六=一白，这些都说明半周期为7,或是已知f(x)=f(x+l)-f(x+2),我们可以再得到

/(%+1)=/(x+2)-f(x+3),两式相结合，也可以得到/'(x)=-f(x+3),函数的半周期为3等式

子，学习时不要弄混.

三、解答题

20.如图，学校规划建一个面积为300m2的矩形场地，里面分成两个部分，分别作为铅球和实心球

的投掷区，并且在场地的左侧，右侧，中间和前侧各设计一条宽2m的通道，问：这个场地的长,

宽各为多少时，投掷区面积最大，最大面积是多少？

【答案】长为30〃?，宽为10加时，投掷区面积最大为192mt

【解析】

【分析】

设场地的长为x，宽为投掷区域面积为S,则孙=300(x>0,y>0),S=(x-6)(y—2)展

开后利用基本不等式即可求最值.

【详解】

设场地的长为％,宽为丫,投掷区域面积为S,

则xy=3(X)(%>0,y>0),

W312-2x2“-3y=312—4j3x300=312-4x30=192,

孙=300x=30

当且仅当《,八时等号成立,

y=10

所以这个场地的长为30，〃，宽为10机时，投掷区面积最大，最大面积是192m2.

【点睛】

本题主要考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值解决实际问题.

21.已知正三棱柱ABC-A4G的边长均为26，E,P分别是线段AG和的中点.

(1)求证：E尸〃平面ABC

(2)求三棱锥C-ABE的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)3.

【解析】

【分析】

(1)取AC的中点为G,证明EEBG为平行四边形，得EF//GB,从而得证线面平行；

(2)由E为AG的中点，得E到底面A8C的距离是G到底面ABC的距离的一半，这样换底计算

体积％即可得.

【详解】

证明；(1)取AC的中点为G,连结GE,GB，

在△ACG中，EG为中位线，所以EG〃Cq,EG=gcq,

乂因为CCJ/BB],CC,=BB],尸为的中点，

所以EG//BF,EG=BF,

所以£F8G为平行四边形，

所以EF//GB.乂EF•平面ABC，G5u平面ABC，

所以EF〃平面ABC.

(2)因为％-48£=”-桢「因为E为A£的中点，

所以£到底面ABC的距离是C,到底面ABC的距离的一半，

即三棱锥E-A6C的高〃==6，

乂，A8C的面积为S=^x(2&『=36，

所以*BE//C=F=；X3GXG=3.

【点睛】

本题考查证明线面平行，考查棱锥的体积，掌握线面平行判定定理是证明线面平行的关键，求三棱

锥体枳时，注意寻找高易得的面为底面进行计算，俗称换底法.

22.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G

通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.

（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少

万个.（精确到万个）

（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量

每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建