2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-1　直线与直线垂直 课件（55张）

8.6.1直线与直线垂直新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系逻辑推理2.会求两异面直线所成的角直观想象知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS01知识梳理·读教材⁠

⁠

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.问题

（1）直观上，你认为这两种异面有什么区别？（2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？

⁠

⁠

⁠知识点一

异面直线所成的角1.已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线

a'与b'

⁠所成的角α叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2.空间两条直线所成角α的取值范围是

0°≤α≤90°

⁠.提醒

（1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.a'与b'

0°≤α≤90°

知识点二直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是

直角⁠，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a

⊥

⁠b.提醒

两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.直角⊥

⁠

⁠1.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（

）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析：如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（

）A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条解析：过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A.3.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为

⁠.

解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.答案：60°02题型突破·析典例⁠

⁠题型一求异面直线所成的角【例1】在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，

由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.通性通法求两异面直线所成角的一般步骤（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；（2）计算角：求角度，常利用三角形；（3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.提醒

找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行直线若在外，补上原体在外边.⁠

⁠1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为（

）

2.如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：（1）BE与CG所成的角；解：（1）∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.（2）FO与BD所成的角.解：（2）如图，连接FH，易知FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.题型二证明直线与直线垂直【例2】在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.证明

如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.通性通法证明空间中两条直线垂直的方法（1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等.⁠

⁠在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，

则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.⁠

⁠1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（

）A.BC1B.A1DC.ACD.BC解析：连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.

A.90°B.60°C.45°D.30°

3.（多选）四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是（

）A.MN与PD是异面直线B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB解析：由题意可知四棱锥P-ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，MN与PD是异面直线，A正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，所以MN∥平面PBC，B正确；因HC∩AC＝C，C不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正确.故选A、B、D.4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为

⁠.

解析：连接BC1，A1C1（图略），∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.答案：60°03知能演练·扣课标1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（）A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（

）A.2条B.4条C.6条D.8条解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D.

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是（

）A.AB与CD所在直线垂直B.CD与EF所在直线平行C.AB与MN所在直线成60°角D.MN与EF所在直线异面解析：画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.故选C、D.6.（多选）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是（

）A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝CDD.异面直线PM与BD所成的角为45°解析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN⊂平面DAC，PQ⊄平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ⊂平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC⊄截面PQMN，MN⊂截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选A、B、D.7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有

⁠条.

解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条.答案：28.已知四面体A-BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为

⁠.

解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE，

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.（1）求证：MN∥A1C1；解：（1）证明：连接AC，∵M，N分别为AD，DC的中点，∴MN∥AC且AC∥A1C1，∴MN∥

A1C1.（2）求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.

11.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（

）B.2D.4

12.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是（

）A.直线EF，AO共面B.直线EF，BB1是相交直线C.直线EF与BC1所成的角为30°

13.在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且B