高等数学(专科)复习题及答案

中南高校现代远程教化课程考试（专科）复习题与参考答案《高等数学》（专科）一、填空题1．函数的定义域是.解.。2．若函数，则 ．解.3．答案：1正确解法：4.已知，则_____,_____。由所给极限存在知,,得,又由,知5.已知，则_____,_____。,即,6．函数的间断点是。解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。因为所以函数在处是间断的，又在和都是连续的，故函数的间断点是。7.设,则8．，则。答案：或9．函数的定义域为。解：函数z的定义域为满意下列不等式的点集。 的定义域为：且}10．已知,则.解令，，则，，11．设,则。∵。12．设则＝

。解13..解：由导数与积分互为逆运算得，.14.设是连续函数，且，则.解：两边对求导得，令，得，所以.15．若，则。答案：∵∴16．设函数f(x,y)连续，且满意，其中则f(x,y)=______________.解记，则，两端在D上积分有：，其中（由对称性），即，所以，17．求曲线所围成图形的面积为，（a>0）解：18.；解：令，则原幂级数成为不缺项的幂级数，记其各项系数为，因为，则，故.当时，幂级数成为数项级数，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为.19．的满意初始条件的特解为.20．微分方程的通解为.21．微分方程的通解为.22.设n阶方阵A满意|A|=3，则=||=.答案：23.是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是.答案：2;24.f(x)=是次多项式，其一次项的系数是。解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。25.A、B、C代表三事务，事务“A、B、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC.26.事务A、B相互独立，且知则.解：∵A、B相互独立，∴P(AB)=P(A)P(B)∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.627.A，B二个事务互不相容，则.解：A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.828.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.解：设A、B、C分别表示事务“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有P()=P(A)=0.3629.已知事务A、B的概率分别为P（A）＝0.7,P（B）＝0.6,且P（AB）＝0.4，则P（）＝；P（）＝；解：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.330.若随机事务A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为.解：P(A+B)=1–P二、单项选择题1．函数（）A.是奇函数；B.是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。所以B正确。2．若函数，则（）A.；B.；C.；D.。解：因为，所以则，故选项B正确。3．设，则=（）．A．xB．x+1C．x+2D．x解由于，得＝将代入，得=正确答案：D4．已知，其中,是常数，则（）(A),(B)(C)(D)解.,答案：C5．下列函数在指定的改变过程中，（）是无穷小量。A.；B.；C.；D.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A,C,D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（）(A);(B);(C)；(D)解.,故不选(A).取,则,故不选(B).取,则,故不选(D).答案：C7．设，则在处（ ）A．连续且可导 B．连续但不行导C．不连续但可导 D．既不连续又不行导解：（B），，因此在处连续，此极限不存在从而不存在，故不存在8．曲线在点（1，0）处的切线是（）．A． B．C． D．解由导数的定义和它的几何意义可知，是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ，即正确答案：A9．已知，则=（）．A.B.C.D.6解干脆利用导数的公式计算：,正确答案：B10．若，则（）。A．B．C．D．答案：D先求出，再求其导数。11．的定义域为（）．A．

B．C．

D．解z的定义域为}个，选D。12.下列极限存在的是（）（A）（B）（C）（D）解A.当P沿时，，当P沿直线时，，故不存在；B.，不存在；C.如推断题中1题可知不存在；D.因为，所以，选D13.若，在内（）.（A）（B）（C）（D）解：14．设为奇函数，且时，则在上的最大值为（ ）A． B．C． D．解：（B）因为是奇函数，故，两边求导，从而，设，则，从而，所以在[-10，-1]上单调增加，故最大值为15．函数()(A)、有极大值8（B）、有微小值8（C）无极值（D）有无极值不确定解，，，为极大值（A）15.设（）.（A）依靠于 （B）依靠于（C）依靠于，不依靠于 （D）依靠于，不依靠于解：依据周期函数定积分的性质有,17.曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为（）.（A）（B）（C）（D）解：所求旋转体的体积为故应选(B).18.设，，，则有（）.（A） （B）（C） （D）解：利用定积分的奇偶性质知，，，所以，故选（D）.19．下列不定积分中，常用分部积分法的是（）。A．B．C．D．答案：B。20．设，则必有（）（A）I>0(B)I<0(C)I=0（D）I0的符号位不能确定解：D：21．设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（）()（A）等于0（B）等于(C)等于+（D）不存在且非C）解：由极坐标，原极限22.设函数项级数，下列结论中正确的是().（A）若函数列定义在区间上，则区间为此级数的收敛区间（B）若为此级数的和函数，则余项，（C）若使收敛，则全部都使收敛（D）若为此级数的和函数，则必收敛于解：选（B）.23.设为常数，则级数（）.（A）肯定收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）敛散性与有关解：因为，而收敛，因此原级数肯定收敛.故选（A）.24.若级数在时发散，在处收敛，则常数（）.（A）1（B）-1（C）2（D）2解：由于收敛，由此知.当时，由于的收敛半径为1，因此该幂级数在区间内收敛，特殊地，在内收敛，此与幂级数在时发散冲突，因此.故选（B）.25.的特解可设为（）（A）（B）（C）（D）解：C26.微分方程的阶数是指（）（A）方程中未知函数的最高阶数；（B）方程中未知函数导数或微分的最高阶数；（C）方程中未知函数的最高次数；（D）方程中函数的次数.解：B27.下面函数()可以看作某个二阶微分方程的通解.（A）（B）（C）（D）解：C28.A、B均为n阶可逆矩阵，则A、B的伴随矩阵=（）.（A）；（B）；（C）（D）；解答：D29.设A、B均为n阶方阵，则必有[]。(A)|A+B|=|A|+|B|(B)AB=BA(C)|AB|=|BA|(D)(A+B)–1=A–1+B–1解：正确答案为(C)30.A,B都是n阶矩阵,则下列各式成立的是（）（A）（B）（C）（D）解答：B31.在随机事务A，B，C中，A和B两事务至少有一个发生而C事务不发生的随机事务可表示为（）（A）（B）（C）（D）解由事务间的关系与运算知，可选（A）32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）（A）（B）（C）（D）解基本领件总数为，设A表示“恰有3个白球”的事务，A所包含的基本领件数为=5，故P(A)=，故应选（D）。33.已知，且,则下列选项成立的是（）（A）;（B）（C）（D）解由题可知A1、A2互斥，又0<P(B)<1，0<P(A1)<1，0<P(A2)<1，所以P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2故应选（C）。三、解答题1.设函数问（1）为何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？解：（1）要在处有极限存在，即要成立。因为所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取随意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是于是有，即时函数在处连续。2．已知，试确定和的值解.,,即,故3．设，求的间断点，并说明间断点的所属类型解.在内连续,,,,因此,是的其次类无穷间断点;,因此是的第一类跳动间断点.4．求方程中是的隐函数的导数（1）,解：方程两边对自变量求导，视为中间变量，即整理得（2）设，求，；解： ，5．设由方程所确定,求.解:设,,,,,,.6．设函数在[0,1]上可导，且，对于（0,1）内全部x有证明在（0,1）内有且只有一个数x使.7.求函数的单调区间和极值.解函数的定义域是令，得驻点，-20+0-0+极大值微小值故函数的单调增加区间是和，单调削减区间是与，当-2时，极大值；当0时，微小值.8.在过点的全部平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.解:设平面方程为,其中均为正,则它与三坐标平面围成四面体的体积为,且,令,则由,求得.由于问题存在最小值,因此所求平面方程为,且.9．求下列积分(1)解：极限不存在，则积分发散.(2)解是D上的半球面，由的几何意义知I=V半球=(3)，D由的围成。解关于x轴对称，且是关于y的奇函数，由I几何意义知，。4．判别级数（常数）的敛散性.假如收敛，是肯定收敛还是条件收敛解：由，而，由正项级数的比较判别法知，与同时敛散.而收敛，故收敛，从而原级数肯定收敛.4．判别级数的敛散性.假如收敛，是肯定收敛还是条件收敛解：记，则.显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比较法知发散，从而发散.又显见是Leibniz型级数，它收敛.即收敛，从而原级数条件收敛.4．求幂级数在收敛区间上的和函数：解：，所以.又当时，级数成为，都收敛，故级数的收敛域为.设级数的和函数为，即.再令，逐项微分得，，，，，，故，又明显有，故5．求解微分方程(1)的全部解.解原方程可化为，（当），两边积分得，即为通解。当时，即，明显满意原方程，所以原方程的全部解为与。(2)解当时，原方程可化为，令，得，原方程化为，解之得；当时，原方程可化为，类似地可解得。综合上述，有。(3)解由公式得。三、求解下列各题

1．计算下列行列式：（.2），解：（3）解：3．设矩阵A，B满意矩阵方程AX＝B，其中，,求X．解法一：先求矩阵A的逆矩阵．因为