2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-3 第一课时　平面与平面平行的判定 课件（67张）

第一课时平面与平面平行的判定新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明逻辑推理2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行直观想象知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS01知识梳理·读教材⁠

⁠上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层.问题展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？你是依据什么判断的？

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⁠知识点

平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的

两条相交直线⁠与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言⁠

⁠两条相交直线提醒

判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂β，b⊂β，a∩b＝P；②两条相交直线a，b都与平面α平行，即a∥α，b∥α.⁠

⁠1.在正方体中，相互平行的面不会是（

）A.前后相对侧面B.上下相对底面C.左右相对侧面D.相邻的侧面解析：由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.2.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对解析：由图①和图②可知，α与β平行或相交.3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有

⁠对.

解析：相对的两个侧面以及上下两底面相互平行，所以六棱柱的面中互相平行的有4对.答案：402题型突破·析典例⁠

⁠题型一平面与平面平行判定定理的理解【例1】已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（

）A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D.平面α与平面β不相交解析选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面（不重合）的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行.故选D.通性通法平面与平面平行的判定方法（1）定义法：两个平面没有公共点；（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；（3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.⁠

⁠下列命题正确的是（

）A.一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行解析：对于A、C、D选项，两个平面均有可能相交，而对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故A、C、D错误，B正确.题型二平面与平面平行的证明【例2】如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；证明（1）因为B1B

DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.（2）若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明（2）由BD∥B1D1，BD⊄平面EB1D1，B1D1⊂平面EB1D1，得BD∥平面EB1D1.如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，又DF⊄平面EB1D1，B1E⊂平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.⁠

⁠

同理，FM

CD，又因为AB

CD，所以FM

AB，从而四边形FMAB是平行四边形，所以AM∥BF，即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD，D1E⊄平面FBD，所以D1E∥平面FBD.又B1B

D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形，故B1D1∥BD，又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD，从而B1D1∥平面FBD，又D1E∩B1D1＝D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.通性通法1.利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤2.转化思想转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.⁠

⁠如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：（1）B，C，H，G四点共面；证明：（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.（2）平面EFA1∥平面BCHG.证明：（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.⁠

⁠1.已知α，β是两个不重合的平面，直线a⊂α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：a⊂α，a∥β，α，β可能相交，也可能平行；由面面平行的定义可知，若α∥β且a⊂α，则a∥β.故p是q的必要不充分条件.故选B.

A.平行B.相交C.垂直D.以上都有可能

3.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是

⁠.

解析：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理，可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.答案：平行4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.03知能演练·扣课标⁠

⁠1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是（）A.n是直线且n⊂α，n∥βB.n，m是异面直线且n∥βC.n，m是相交直线且n⊂α，n∥βD.n，m是平行直线且n⊂α，n∥β解析：要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n⊂α，n∥β，m⊂α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（

）A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1解析：易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于D，由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.3.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（

）A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个解析：①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.4.在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是（）A.△A1B1C1边界的一部分B.一个点C.线段的一部分D.圆的一部分解析：如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于E，连接BE，因为BD∥AA1，BD⊄平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C，同理DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C，所以M∈DE（M不与D重合，否则没有平面BDM），故选C.5.（多选）已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（

）A.若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥βB.若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥βC.若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥βD.若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b解析：A项，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；B项，若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，由面面平行的判定可得α∥β，正确；C项，若a∥α，b∥β，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；D项，若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，由线面平行的性质定理得a∥b，正确.故选B、D.6.（多选）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有（

）A.存在平面γ，使得α，β都平行于γB.平面α内的任意一条直线都平行于βC.α内有不共线的三点到β的距离相等D.存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β解析：对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行于β，当然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；对于C，不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平行，可在平面α内作l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选A、B、D.7.已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是

⁠.

解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ（图略）.设γ∩β＝l，则l⊂β，且b∩l≠⌀.∵a∥β，∴a∥l，∴l∥α.又∵b∥α，∴根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案：平行8.如图所示的多面体中，四边形ACC1A1为矩形.设D，E分别是线段BC，CC1的中点，M为线段AB上一点，则当点M满足

⁠时，直线DE∥平面A1MC.

答案：M是AB的中点9.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是

⁠.

解析：依题意，由展开图还原几何体，如图所示.连接EF，FG，GH，HE，∵F，G分别为PD，PC的中点，∴FG∥DC.同理，EF∥AD，EF∩FG＝F，AD∩DC＝D，∴平面EFGH∥平面ABCD.连接BD，AC，交于点O，连接GO.∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC中点.又G为PC中点，∴OG∥PA.∵PA⊄平面BDG，GO⊂平面BDG，∴PA∥平面BDG.∵EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.连接FH，∵F，H分别为PD，PB的中点，∴FH∥BD，又FH⊄平面BDG，BD⊂平面BDG，∴FH∥平面BDG.EF与平面BDG相交.故正确结论的序号是①②③④.答案：①②③④10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.又因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.因为四边形ABCD为平行四边形.所以BC∥AD，所以MQ∥BC.又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PBC.

B.1解析：如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR.因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，B1D1⊂平面B1D1C，PQ⊄平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C.因为

12.如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是CC1，C1D1，DD1，CD，BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥平面A1BD，则点M轨迹的长度是（）

13.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为

⁠.解析：如图，分别取C1D1，B1C1的中点P，Q，连接B1D1，NP，PQ，QB，PD.

14.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，C