方程与方程组的迭代解法

关于方程与方程组的迭代解法引言第2页,共72页，2024年2月25日，星期天6.1方程求根法试探法与二分法迭代法及其收敛条件迭代法收敛速度加速收敛技术牛顿迭代法弦割法第3页,共72页，2024年2月25日，星期天6.1.1试探法和二分法理论依据：第4页,共72页，2024年2月25日，星期天试探法第5页,共72页，2024年2月25日，星期天二分法（区间平分法）第6页,共72页，2024年2月25日，星期天于是第7页,共72页，2024年2月25日，星期天求方程f(x)=0的根的二分法算法第8页,共72页，2024年2月25日，星期天例题例设方程解：取h=0.1,扫描得：又即在有唯一根。第9页,共72页，2024年2月25日，星期天有根区间：[1.300000000,1.400000000][1.300000000,1.350000000][1.300000000,1.325000000][1.312500000,1.325000000][1.318750000,1.325000000][1.321875000,1.325000000][1.323437500,1.325000000][1.324218750,1.325000000][1.324609375,1.325000000]x≈1.32480f=3.6990*10^(-4)第10页,共72页，2024年2月25日，星期天6.1.2迭代法及收敛性对于有时可以写成形式

如：第11页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代法及收敛性

考察方程。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入中的右端得到，再以为一个猜测值，代入的右端得反复迭代得第12页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代法及收敛性

若收敛，即

故是的一个根第13页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代法的几何意义

交点的横坐标y=x第14页,共72页，2024年2月25日，星期天简单迭代法

将变为另一种等价形式。选取的某一近似值，则按递推关系产生迭代序列。这种方法称为简单迭代法。第15页,共72页，2024年2月25日，星期天例题第16页,共72页，2024年2月25日，星期天例题精确到小数点后五位第17页,共72页，2024年2月25日，星期天例题但如果由建立迭代公式仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列第18页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代法的收敛性第19页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代收敛定理证明：不失一般性，不妨设否则为方程的根。首先证明根的存在性令

第20页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代收敛定理

则，即由条件2）是上的连续函数所以是上的连续函数。故由零点定理在上至少有一根第21页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代收敛定理再证根的唯一性设有均为方程的根则因为0<L<1，所以只可能，即根是唯一的。第22页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代收敛定理最后证迭代序列的收敛性

与n无关，而0<L<1

即第23页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代收敛定理误差估计

若满足定理条件，则

这是事后估计，也就是停机标准。L越小，收敛速度越快。

这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。

第24页,共72页，2024年2月25日，星期天第25页,共72页，2024年2月25日，星期天例题例证明函数在区间[1,2]上满足迭代收敛条件。证明：第26页,共72页，2024年2月25日，星期天例题

第27页,共72页，2024年2月25日，星期天例题若取迭代函数，不满足收敛定理，故不能确定收敛到方程的根。第28页,共72页，2024年2月25日，星期天简单迭代收敛情况的几何解释第29页,共72页，2024年2月25日，星期天6.1.3迭代收敛速度迭代法收敛的阶定义设序列收敛到，若有实数和非零常数C，使得其中，，则称该序列是p

阶收敛的，C

称为渐进常数。

第30页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代法收敛的阶当p=1时，称为线性收敛；当p>1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。迭代法p阶收敛的充要条件是：迭代函数满足第31页,共72页，2024年2月25日，星期天6.1.4加速收敛技术第32页,共72页，2024年2月25日，星期天第33页,共72页，2024年2月25日，星期天6.1.5Newton迭代法第34页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法

去掉的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：第35页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法

第36页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法几何解释

几何意义第37页,共72页，2024年2月25日，星期天例用牛顿法求的近似解。解：由零点定理：第38页,共72页，2024年2月25日，星期天例题例用Newton法计算解：第39页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法算法框图第40页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法算法第41页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收敛性定理设函数，且满足若初值满足时，由Newton法产生的序列收敛到在[a,b]上的唯一根。第42页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收敛性证明：根的存在性根的唯一性第43页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收敛性收敛性第44页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收敛性

第45页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收敛性第46页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法收敛性推论在定理条件下，Newton迭代法具有平方收敛速度。第47页,共72页，2024年2月25日，星期天Newton迭代法的变形第48页,共72页，2024年2月25日，星期天6.2.4弦截法Newton迭代法有一个较强的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。

第49页,共72页，2024年2月25日，星期天弦截法令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2第50页,共72页，2024年2月25日，星期天弦截法第51页,共72页，2024年2月25日，星期天弦截法的几何解释第52页,共72页，2024年2月25日，星期天弦截法收敛定理第53页,共72页，2024年2月25日，星期天6.2线性方程组迭代解法

迭代法适用于系数矩阵为稀疏矩阵的方程组.基本迭代法基本迭代法的收敛条件第54页,共72页，2024年2月25日，星期天6.2.1基本迭代法(Jacobi迭代法)第55页,共72页，2024年2月25日，星期天第56页,共72页，2024年2月25日，星期天6.2.1基本迭代法(Seidel迭代法)第57页,共72页，2024年2月25日，星期天第58页,共72页，2024年2月25日，星期天6.2.1基本迭代法(SOR迭代法)第59页,共72页，2024年2月25日，星期天6.2.2基本迭代法收敛条件第60页,共72页，2024年2月25日，星期天迭代收敛定理第61页,共72页，2024年2月25日，星期天例6.4判断求解AX=b的三种迭代法是否收敛，其中A为第62页,共72页，2024年2月25日，星期天第63页,共72页，2024年2月25日，星期天(2)A对称正定，但|2D-A|=0,说明2D-A不正定，故Jacobi迭代发散，0<ω<2时SOR迭代收敛；(3)A为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代收敛，0<ω<=1时SOR迭代收敛；第64页,共72页，2024年2月25日，星期天第65页,共72页，2024年2月25日，星期天6.3非线性代数方程组的迭代解法第66页,共72页，2024年2月25日，星期天6.3