《新编高等数学》课件2高等数学-第二章 极限与连续

1数列的极限2函数的极限3无穷小与无穷大4极限的运算法则5两个重要极限6函数的连续性第一节数列的极限3极限的概念是由于求某些问题的精确解而产生的，我们先介绍古代数学家刘徽（魏晋期间伟大的数学家），利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法——割圆术。设有一圆，先做内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，再作内接正二十四边形，其面积记为A3，依次逐渐将边数加倍。这样就得到一系列内接正多边形的面积：这就是一个数列。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。一、数列的概念A1，A2，A3，……，An，……4一般地说，按自然数1，2，3，……编号依次排列的一列数称为一个无穷数列，简称数列。其中的每一个数称为数列的一个项，xn，称为数列的通项或一般项。通项为xn

的数列可以简记为数列{xn}。数列{xn}可以看成自变量为正整数的函数：一、数列的概念x1，x2，x3，……，xn，……在几何上，数列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1，x2

，x3，……，

xn

，……5例如，以下都是数列：一、数列的概念一般项是一般项是一般项是6对于数列，当n无限增大时，它能否无限趋向于一个常数，如果能的话，这个常数又是什么，如何求出？二、数列极限的定义割圆术中的数列A1，A2，A3，……，

An，……，从其几何意义上可知，随着n无限增大，

An

的值也逐渐增大，并且无限的接近圆的面积A。定义

设有数列{xn}，如果存在常数a，当n

无限增大时，xn无限趋近于a

，则称数列{xn}以a为极限，或称数列{xn}收敛于a

，记作如果这样的常数a不存在，则称数列{xn}发散。或（）7二、数列极限的定义（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；例2-1观察下列数列{xn}的极限：解：（1）；（2）；（3）发散；（4）；（5）当n→∞时，数列发散（无限增大）；（6）8为了方便起见，有时也将当n→∞

时|

xn|

无限增大的情况说成是数列{xn}趋向于∞，或称其极限为∞（但这不表示数列是收敛的），记作二、数列极限的定义或（）如果当n足够大时能够限定xn的正负，且当n→∞

时|

xn|

无限增大，则可记作或（）例如9下面给出数列极限的严格定义（ε—N

定义）：二、数列极限的定义恒成立，则称数列{xn}以a为极限，或称数列{xn}收敛于a；如果这样的常数a

不存在，则称数列{xn}发散。数列{xn}收敛于a

的几何意义为：对于任意给定的ε>0

，当n>N时，所有的点xn

落在（a–ε，a+ε）内，数列中只有有限个点（至多只有N个）落在其外。定义

设有数列{xn}，如果存在常数a，使得对于任意给定的正数ε

（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式xx2xN+2xN

+1aa+

a-

10性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限是唯一的。三、收敛数列的基本性质性质2（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。推论

无界数列一定是发散的。注意：数列有界数列收敛的必要而非充分条件。如数列{(-1)n+1

}有界，但却是散数列。

第二节函数的极限12数列是定义在正整数集合上的函数，它的极限只是一种特殊的整标函数的极限。

现在我们讨论定义在实数集合上的一般的函数的极限。关于函数的极限，我们主要讨论两种情形：（1）自变量x

的绝对值|x|无限增大或者说趋于无穷大（记作x→∞）时，对应函数值

f(x)

的总的变化趋势；（2）自变量x

无限接近于有限值x0

或者说趋于有限值x0（记作x→

x0

）时，对应函数值f(x)

的总的变化趋势；13定义

设函数f(x)

的在|x|>M（M

为某一正数）时有定义，如果存在常数A，当|x|

无限增大时，对应的函数值f(x)

无限的接近于A

，则称A为函数f(x)

当x→∞时的极限，或简称为f(x)

在无穷大处的极限，记作一、自变量趋于无穷大时函数的极限考虑函数，当|x|

无限增大时，它所对应的函数值y

就无限的趋近于0

，我们称当x

趋于无穷大时，函数以0

为极限。或（）如果这样的常数A

不存在，则称当x→∞时函数f(x)

没有极限（或称极限不存在）。14定义

设函数f(x)

的在|x|>M（M为某一正数）时有定义，如果存在常数A，使得对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数X，使得当

|x|

>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式类似于数列的极限，也可以给出严格的ε—X

定义：一、自变量趋于无穷大时函数的极限如果定义中限制

x只取正值或者只取负值，我们就分别记为或称为f(x)在正无穷大处或负无穷大处的极限。则称A为函数f(x)当x→∞时的极限。15对于一些简单函数，通过观察函数值或图形就可以得到函数当

x→∞时的极限，如：一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义中的

|x|

>X如果改为x

>X（x<–X），就可得到

f(x)在正无穷大处或负无穷大处的极限。于是容易得到：一般来讲，如果（或），则直线

y=A就是函数y=f(x)的图像的水平渐近线。16注意：定义不要求f(x)

的在点

x0

有定义，因为当x→x0时x≠x0

。二、自变量趋于有限值时函数的极限定义

设函数f(x)

在点

x0

的附近有定义，若存在常数A，当x无限趋向于x0时，对应的函数值f(x)无限的接近于A，则称A为函数f(x)当x→x0

时的极限，记作或（）如果这样的常数A不存在，则称当x→x0

时函数f(x)没有极限（或称极限不存在）。上述定义也可以解释为：只要x与x0足够接近（即|x–x0|足够小），就可以使f(x)

与A任意接近（即|f(x)

–A|任意小）。17点a称为这个邻域的中心，δ

称为这个邻域的半径。并且可以看出，U(a，δ

)也就是以点

a为中心，长度为2δ

的开区间(a–δ，a+δ

)。二、自变量趋于有限值时函数的极限定义

设a与δ

是两个实数，数集{x

||x–a|<δ}称为点a

的

δ

邻域，记作U(a，δ

)，即为了阐述函数的局部性态，还经常用到邻域的概念，它表示某点附近的所有点的集合。aa–δa+δxaa–δa+δx18二、自变量趋于有限值时函数的极限

U(a，δ

)表示与点

a的距离小于δ

的点的全体。有时用到的邻域需要把中心去掉，将U(a，δ

)的中心a去掉后，称为点a

的去心δ

邻域，记作由此，也可以给出函数在一点处极限的严格的ε—δ

定义：定义

设函数f(x)在点

x0

的某去心邻域内有定义，如果存在常数A，使得对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数δ，使得当

0<|x–x0

|

<δ

时，对应的函数值f(x)都满足不等式则称A为函数f(x)当x→x0

时的极限。19二、自变量趋于有限值时函数的极限其几何意义为：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ

，当x落在x0

的去心δ

邻域内时，函数y=f(x)的图形完全落在以为y=A中心线，宽为2ε

的带状区域内。例2-2对于一些简单的函数，可以根据观察判断出它的极限：y=f(x)A+

AA–

yx

x0–

x0

x0

+

O（1）（C为常数）；（2）；（3）（4）20前面给出的x→

x0

时函数f(x)的极限，自变量x是从左右两侧趋近于的，但有时我们只能或只需考虑x是仅从左侧趋近于x0（即x<

x0

）的情形，或是仅从右侧趋近于x0（即x>

x0

）的情形，为此，通常将类似可以定义右极限为三、单侧极限

x<

x0

时，x→

x0

时的情况记作

x>

x0

时，x→

x0

时的情况记作定义

设函数f(x)

在点

x0

的左侧附近有定义，若存在常数A，使得当x从左侧无限趋向于x0时，对应的函数值f(x)无限的接近于A，则称A为函数f(x)当x趋于x0

时的左极限，记作21左极限与右极限统称为单侧极限。右极限为三、单侧极限定理

当x→x0时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在点x0处的左、右极限存在且都等于

A，即例2-3设，求1Oxy解左极限为所以22因此；又由于三、单侧极限例2-4设，讨论x→0

时及x→1

时f(x)的极限。解由于，所以x→1

时f(x)的极限不存在，或称不存在。23性质1（函数极限的唯一性）如果存在，则极限唯一。性质2（有极限函数的局部有界性）如果存在，则函数f(x)在点

x0

的某个邻域内有界，即存在常数M，使得在点x0

的某个邻域内有第三节无穷小与无穷大25一、无穷小无穷小的概念在极限的研究中有及其重要的作用。定义在自变量x的某个变化过程中，若函数

f(x)的极限为零，则称f(x)在该变化过程中为无穷小量，简称无穷小。例2-5因为，所以函数是当x→∞时的无穷小。例2-6因为，所以函数(x–

1)是当x→1

时的无穷小。例2-7因为，所以函数sinx

是当x→0

时的无穷小。注意：不要把无穷小与绝对值很小的数混为一谈，无穷小是一个以0为极限的函数，能作为无穷小的常数只有0，其它任何常数，无论其绝对值多么小，也不是无穷小。26一、无穷小下面定理说明了无穷小与函数极限的密切关系：由无穷小的定义，不难理解无穷小的下列性质：性质1

有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。性质3

有限个无穷小的乘积是无穷小。推论

常数与无穷小的乘积是无穷小。定理在自变量x的某个变化过程中，函数

f(x)有极限A的充分必要条件为：f(x)可以表示为A与一个同一变化过程中的无穷小

的和，即27一、无穷小注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小；两个无穷小的商不一定是无穷小。例2-8求极限解：由于，，所以例2-9求极限解：由于，，所以28二、无穷小的比较两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但无穷小的商就不易确定了。可见两个无穷小的商，可以是无穷小，可以是无穷大，也可以是常数或极限为常数的变量，这是因为无穷小在趋于零的过程中快慢不同。例如，当x→0

时，x，2x，x2，x3，x

+x2都是无穷小，而此时为了比较无穷小，我们引入无穷小的阶的概念。29二、无穷小的比较定义

设及是自变量同一变化过程中的无穷小，且，则

（1）如果，则称是比高阶的无穷小，记作；

（2）如果，则称是比低阶的无穷小；

（3）如果，则称与是同阶的无穷小；

（4）如果，则称与是等价无穷小，记作。显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。30二、无穷小的比较由定义可见，当x→0

时，x2是x的高阶无穷小，即x2=o(x)

，而x2是x3的低阶无穷小，x与2x是同阶无穷小。关于等价无穷小，有下面定理：定理

在自变量同一变化过程中，如果，，且存在，则证31二、无穷小的比较求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替；在求分式的极限时，分子及分母中的无穷小因子也可以用等价无穷小来代替。如果用来代替的无穷小选取适当的话，可以使计算简化。在后面的极限计算中我们会遇到利用等价无穷小代换来求极限的例子。需要注意的是，当分子或分母是若干项的和或差时，一般不能对其中某一项作等价无穷小的代换。32三、无穷大（1）limf(x)=∞并不表示f(x)有极限，无穷大“∞”不是数，只是一个符号；

（2）无穷大是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大；

（3）无穷大是一个绝对值无限大的变量，任何绝对值很大的常数都不是无穷大。定义在自变量x的某个变化过程中，若函数

f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)在该变化过程中为无穷大量，简称无穷大，可以记作limf(x)=∞。例如，当x→0

时，

，cotx

都是无穷大；当x→0+

时，

，lnx

都是无穷大；当x→+∞

时，x3，ex

，lnx

都是无穷大。注意33三、无穷大定义如果（或），则直线x=x0是函数y=

f(x)的图像的铅直渐近线。例2-10因为，所以直线x=1是曲线的铅直渐近线。无穷大与无穷小有如下关系：定理

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小且f(x)≠0，则为无穷大。例2-11当x→0

时，x3是无穷小，而是无穷大。例2-12当x→∞

时，x

+1是无穷大，而是无穷小。第四节极限的运算法则35一、极限的四则运算在下面的讨论中，极限过程的自变量的趋向没有标出，表示对任何一个自变量的变化过程都成立，只要在同一问题中自变量的趋向相同即可。并且这些运算法则对于数列的极限也是同样适用的。注意：定理中的（1）（2）都可以推广到有限个函数的情形，但不可应用到无穷多个数列的情形。定理

如果，，则

（1）

（2）

（3）当B≠0时，36一、极限的四则运算由（2）可得下面推论：下面计算一些函数的极限。推论如果limf(x)存在，c为常数，n为正整数，则

（1）

（2）例2-13求解37一、极限的四则运算由上例可以看出，求多项式函数当x→x0时的极限，只要用x0

代替函数中的x即可（代入法），即例2-14求解38一、极限的四则运算例2-15求解这里分母的极限不为零，于是可见，求有理分式函数（其中P(x)，Q(x)都是多项式函数）当x→x0时的极限，如果Q(x0)≠0，也只需用x0

代替函数中的x即可（代入法），即39一、极限的四则运算例2-16求解这里分母的极限不为零，于是例2-17求解x→3时，分子分母的极限都为零，不能分别取极限再求商，注意到分子分母都具有公因子x–3，而x→3

时x≠3，可以消去公因子后再求极限，于是注意：对于这种Q(x0)=0且P(x0)=0的有理分式函数，在求当x→x0时的极限时，分子分母一定都具有公因子x–x0，由于当x→x0时x≠x0，所以分子分母可以消去不为零的公因子后再求极限。40例2-18求解一、极限的四则运算41一、极限的四则运算例2-19求解当x→1

时，分母的极限为零，分子的极限为3，不能用商的极限运算法则，但由于于是由无穷小与无穷大的关系可得42一、极限的四则运算例2-20求解注意：对于Q(x0)=0且P(x0)≠0的有理分式函数，求当x→x0时的极限时，可以先求其倒数的极限，再利用无穷小与无穷大的关系得到结果。再来看一些当x→∞时有理分式函数的极限。43一、极限的四则运算例2-21求解由于分子分母的极限都是∞，所以不能用商的极限运算法则。做适当变形，即分子分母同时除以它们的最高次幂x3，然后取极限，得44一、极限的四则运算例2-22求解分子、分母同时除以x3，然后取极限，得45一、极限的四则运算例2-23求解由上例，以及无穷小与无穷大的关系可得一般地，对于当x→∞时有理分式函数的极限，当a0≠0，b0≠0，m，n为非负整数时有以下结论：46二、复合函数求极限对于多项式函数和有理分式函数f(x)，只要f(x)在点x0处有定义，则当x→x0时f(x)的极限值就是f(x)在点x0处的函数值。这里我们指出，一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都具有这样的性质，即如果f(x)是基本初等函数，定义域为D，而x∈D，则例如，f(x)=sinx是基本初等函数，而点在它的定义域内，所以下面给出一个复合函数求极限的定理。47二、复合函数求极限定理

设函数u=

φ(x)当x→x0时的极限等于a，即，而函数y=f(u)在点u=a

处有定义且，则复合函数y=f[φ(x)]当x→x0时的极限存在且等于f(a)，即定理表明，满足定理条件的情况下，函数符号可以和极限符号交换次序。例2-24求解48二、复合函数求极限例2-25求解例2-26求解49二、复合函数求极限注意：在求一些无理分式函数的极限时，如果分子分母都是趋于零的，可以通过先进行有理化，再约去公因子的方法求极限。例2-27求解50二、复合函数求极限例2-28求解虽然此题不是无理分式，但由于相减的两项都是趋于无穷的，因此也需要用有理化的方法来做。51二、复合函数求极限例2-29求解此题相减的两项都是趋于无穷大的，因此需要通分后再计算。第五节两个重要极限53一、准则Ⅰ和第一个重要极限准则I

设在变量的某一变化过程中，对于函数f(x)，g(x)，h(x)，有g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=

limh(x)=A，则lim

f(x)=A。这个准则对于数列的极限也是同样适用的。利用这个准则，可以证下列重要极限：54一、准则Ⅰ和第一个重要极限证明：如图2-6，设单位圆O，圆心角∠AOB=x，过A点作圆的切线，与OB的延长线交于D点，再作BC⊥OA，于是可得：，，这里（

）

显然：

∆AOB的面积<扇形AOB的面积<∆AOD的面积而∆AOB的面积扇形AOB的面积∆AOD的面积55一、准则Ⅰ和第一个重要极限从而有（），即（）两边同时除以sinx，得，于是由于cosx与都是偶函数，则上式当时也成立。（）因为，，所以由准则I56一、准则Ⅰ和第一个重要极限对于第一个重要极限，其一般形式为：（方框□代表同一变量）例2-30求解例2-31求解57例2-32求解例2-33求解一、准则Ⅰ和第一个重要极限58例2-34求解利用变量代换，令x=sint，则当x→0

时t→0，且arcsinx=t，于是类似的，也可以得到由第一个重要极限，以及上面几个例子，我们得到了一些常用的等价无穷小：一、准则Ⅰ和第一个重要极限（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）59例2-35求解由于当x→0

时，sin3x~3x，tan5x~5x，所以例2-36求解由于当x→0

时，sinx~x，arctanx~x，所以一、准则Ⅰ和第一个重要极限60二、准则Ⅱ和第二个重要极限如果数列{xn}满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1

≤…，则称数列{xn}是单调增加数列；如果数列{xn}满足x1≥x2≥…≥xn

≥xn+1

≥…，则称数列{xn}是单调减少数列。单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。准则II

如果无穷数列{xn}单调且有界，则数列必收敛。前面曾经讲过，收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛，现在由准则II说明：如果数列有界并且是单调的，就一定收敛。利用这个准则，可以证明下列重要极限：61二、准则Ⅱ和第二个重要极限考虑数列的情形，设，由下表可以看出，xn是单调增加的，且越来越接近某一常数：可以证明无穷数列{xn}是单调增加且有界的（小于3），所以是存在的，这个极限是无理数，通常用记号e

来表示，即1210100100010000100000……22.252.593742.704812.716922.718142.71827……62二、准则Ⅱ和第二个重要极限无理数e的值为2.71828182845904523536…，以e为底的对数叫做自然对数。可以证明，当x趋向于+∞或–∞时，函数的极限都存在且都等于e，所以利用变量代换，令，则当x→∞时，z→0，于是可得63二、准则Ⅱ和第二个重要极限对于第二个重要极限，其一般形式为：例2-37求解（三角∆代表同一变量）64二、准则Ⅱ和第二个重要极限例2-38求解65二、准则Ⅱ和第二个重要极限例2-39求解66二、准则Ⅱ和第二个重要极限例2-40求解67二、准则Ⅱ和第二个重要极限例2-41求解例2-42求解令

u=ex–1，即x=ln(1+u)，则当x→0

时，u→0，于是由上面两例，我们又得到了常用的等价无穷小：ln(1+x)~x（x→0），ex–1~x

（x→0）68三、幂指函数的极限形如f(x)g(x)（其中f(x)>0）的函数叫做幂指函数。第二个重要极限就是幂指函数的极限。幂指函数的极限的一般计算方法为：在自变量同一变化过程中，如果limf(x)=A>0，limg(x)=B，则69三、幂指函数的极限例2-43求解70三、幂指函数的极限例2-44求解71三、幂指函数的极限例2-45求解第六节函数的连续性73一、函数连续性的概念自然界中有许多现象都是连续变化的，如气温的变化，行星的运动，植物的生长等，都是连续变化的。这种现象反映在数学上就是函数的连续性，高等数学中所讨论的主要是连续变化的量。我们先引入改变量的概念，设变量u从初值u1

改变到终值u2，终值与初值的差u2

–u1就叫做变量u的改变量（也叫增量），记作注意：∆u是一个整体记号，是变量u的改变量，它可以是正的，也可以是负的。但自变量的改变量不能为零。下面讨论函数的连续性。74一、函数连续性的概念定义

设函数y=

f(x)

在点

x0

的某邻域内有定义，若当自变量的增量∆x=x–x0趋于零时，对应函数的增量∆y=f(x0+∆x)

–f(x0)也趋于零，即则称函数y=

f(x)

在点

x0

处连续。如果记x=x0+∆x，则f(x0+∆x)

=f(x)，而∆x→0等价于x→x0，∆y→0（即f(x)

–f(x0)→0）等价于f(x)

→

f(x0)

，因此函数y=

f(x)

在点

x0

处连续的定义也可叙述如下：或75一、函数连续性的概念则称函数y=

f(x)

在点

x0

处连续。定义

设函数y=

f(x)

在点

x0

的某邻域内有定义，若函数f(x)当x→x0

时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值，即由定义可知，函数f(x)

在点

x0

处连续则f(x)

在点

x0

处必有极限，但f(x)

在点

x0

处有极限时不一定在点

x0

处连续，甚至f(x)

在点

x0

处可能没有定义。相应于函数左、右极限的概念，给出函数左、右连续的概念。76一、函数连续性的概念则称函数y=

f(x)

在点

x0

处左（右）连续。如果函数f(x)

在点

x0处及其左（右）侧附近有定义，且满足显然可见，函数在一点处连续的充要条件为函数在该点既是左连续的，又是右连续的。在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，则函数在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。77一、函数连续性的概念现在此结论可以表述为：在前面我们曾指出，基本初等函数f(x)

在其定义域内的任何一点

x0处都满足基本初等函数在其定义域内的每点处都是连续的。也就是说，基本初等函数在其定义域内是连续的。如果函数在一点不连续，那么该点也叫做间断点。定义

如果函数f(x)

在点

x0不连续，则称函数f(x)在点x0间断。相应的点x0称为函数f(x)的间断点。78一、函数连续性的概念由函数在某点连续的概念可知，设函数f(x)

在点

x0的某邻域内（至多除了点x0本身）有定义，如果f(x)

在点

x0处有下列情形之一，则点x0是f(x)的一个间断点。（1）在点

x0处没有定义，即f(x0)不存在；通常把f(x)

在点

x0的左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点，除第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点。（2）不存在；（3）在点

x0处有定义，且存在，但是。79二、初等函数的连续性根据连续函数的定义及极限的四则运算，容易知道：定理设函数f(x)

与g(x)在点

x0处连续，则，在点

x0处有（1）f(x)±g(x)在点

x0处连续；（2）f(x)·g(x)在点

x0处连续；（3）

当g(x0)≠0

时，在点

x0处连续；另外，根据连续函数的定义及复合函数求极限的法则，也可以得到：定理

设函数u=φ(x)在点x=x0处连续，且

φ(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u=u0处连续，则复合函数y=f[φ(x)]在点x=x0处也是连续的。80二、初等函数的连续性最后，我们也指出：单调增加（减少）的连续函数的反函数也是单调增加（减少）且连续的。前面已经指出，基本初等函数在其定义域内都是连续的，现在又给出了连续函数的四则运算及复合函数的连续性，因此可以得到重要结论：

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。有了初等函数的连续性，当我们求初等函数在其定义域内某点的极限时，只需求函数在该点的函数值即可。81二、初等函数的连续性例2-46设