【大赛决赛】28.1 锐角三角函数课件 -2022-2023学年九年级数学人教版下册

第二十七章锐角三角函数28.1锐角三角函数湖北省咸宁市第三初级中学唐先祥28.1锐角三角函数4课时28.1.1锐角三角函数定义2课时28.1.2特殊角的三角函数值1课时28.1.3用计算器求锐角三角函数值 1课时

教学内容及课时安排（1）利用两个相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）；理解锐角三角函数的概念；知道30°，45°，60°的三角函数值．（2）会使用计算器求已知锐角的三角函数值，以及求已知三角函数值对应的锐角．（3）能用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值，能用相关知识解决一些简单的问题．教学目标28.1锐角三角函数——正弦学习目标1.掌握正弦的定义，会求锐角的正弦值；2.了解同一角的正弦值是不变的，在锐角范围（大于0度，小于90度）内，正弦值与角的度数之间的变化规律；3.通过观察发现三角函数的命名规则，体会数学定义和命名之美；通过探究活动体会到数学万变不离其宗的规律.创设情景

ABC“斜而未倒”BC=5.2mAB=54.5m意大利的伟大科学家伽俐略，曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验.．α比萨斜塔倾斜角∠α是多少度？通过本章的学习就可以解决这一问题

1.以前我们学习了哪些函数？

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．我们今天学习一种新的函数．复习提问2.函数定义是什么？一次函数，二次函数，反比例函数

问题

:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．ABC

分析：提出问题在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于?思考ABC50m35mB'C'AB'＝2B'C'

＝2×50＝100(m)

在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？?思考ABC

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？归纳猜想

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'因此

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大。ABCA'B'C'探究

任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？即

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c有关概念一个角的正弦表示定值、比值、正值。

1.sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.

2.sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”.sinA不表示“sin”乘以“A”.

3.正弦的常见写法有以下两种形式：(1)sinA，sin42°，sinβ（省去角的符号）;(2)sin∠DEF，sin∠1（不能省去角的符号）.4.当A为锐角时，

0<sinA<1

概念的理解例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：(1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABC34

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比ABC135例析自主练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC35(1)BAC

1(2)2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，求sinA的值．

课堂小结

1.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是定值．

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA．3.sinA是∠A的函数.28.1锐角三角函数——余弦﹑正切学习目标1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.(重点)2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难点)

1.正弦函数的定义是什么？下面让我们一起来探究吧！复习提问2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定，其他边之间的比是否随之确定呢？

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA

即ABCcab对边斜边探索新知

在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边比随之确定．此时，其他边的比是否也随之变化呢？为什么？猜想1：∠A邻边与斜边的比是定值.猜想2：对边与邻边的比是定值.

ABCDEF探索新知证明：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF.，总结：在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，这个锐角的对边与邻边的比值也是一个常数，与直角三角形的大小无关．∴有关概念如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°

我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA,即

我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.3.当A为锐角时，

0<sinA<1，0＜cosB＜1，

tanA>0

概念的理解

1.对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以sinA、cosA、tanA都是A的函数。2.sinA、cosA、tanA都没有单位，它们表示一个比，一个比值

例2

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝

，求cosA、tanB的值．解：∵又ABC6例析1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．自主练习ABC1312ABC23(1)(2)

2.在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．自主练习答案解：由勾股定理ABC13122.在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？ABC则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2cABC自主练习答案

解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为=acsinA=在Rt△ABC中=bccosA==abtanA=1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）。3、sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。定义中应该注意的几个问题:

课堂小结28.1锐角三角函数——特殊角的三角函数值学习目标1.熟记30°，45°，60°的三角函数值(重点)2.能灵活运用30°，45°，60°的三角函数值进行相关运算.(重点、难点)

AB

C∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanAcosA∠A的邻边∠A的对边斜边sinA斜边斜边回顾锐角三角函数如图?思考两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．学.科.网设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a另一条直角边长＝30°60°45°45°30°设两条直角边长为a，则斜边长＝60°45°30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?学.科.网例3求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）解:（1）cos260°＋sin260°学.科.网＝1（2）＝0例析

例4、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AB=,BC=,求∠A的度数。(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求α.学.科.网(1)(2)例析解：(1)在图中，∴∠A=45°∵(2)在图中，∴α=60°∵tanα=1.求下列各式的值：(1)1-2sin30°cos30°(2)3tan30°-tan45°+2sin60°(3)(cos230°+sin230°)×tan60°自主练习

自主练习答案1.求下列各式的值：(1)1-2sin30°cos30°(2)3tan30°-tan45°+2sin60°(3)(cos230°+sin230°)×tan60°解：(1)原式(3)原式(2)原式自主练习答案

解：如图，∵tanB=∴∠B=60°∴∠A=90°-∠B=30°28.1锐角三角函数——用计算器求锐角三角函数值及锐角学习目标1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值.(重点)2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小.

(重点)3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.(难点)导入新课

复习

锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1填写下表：

通过前面的学习，我们知道当锐角A是30°、45°、60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？思考讲授新课用计算器求锐角的三角函数值或角的度数例1(1)用计算器求sin18°的值；解：第一步：按计算器键；sin第二步：输入角度值18；屏幕显示结果sin18°=0.309016994.不同计算器操作的步骤可能不同哦！典例精析(2)用计算器求tan30°36′的值；解：方法①：第二步：输入角度值30.6(因为30°36′=30.6°)；屏幕显示答案：0.591398351.第一步：按计算器键；tan屏幕显示答案：0.591398351.方法②：第一步：按计算器键；tan第二步：输入角度值30，分值36(使用键)；D.M′S(3)已知sinA=0.5018，用计算器求∠A的度数.第二步：然后输入函数值0.5018；屏幕显示答案：30.11915867°(按实际需要进行精确).解：第一步：按计算器键；2ndFsin－1还可以利用键，进一步得到∠A=30°07′08.97″(这说明锐角A精确到1′的结果为30°7′，精确到1″的结果为30°7′9″).2ndFD.M′S利用计算器探索三角函数的性质例2

通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°___2sin15°cos15°；

②sin36°____2sin18°cos18°；③sin45°____2sin22.5°cos22.5°；④sin60°____2sin30°cos30°；⑤sin80°____2sin40°cos40°.猜想：(1)已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.======(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法验证(1)中的结论．证明：∵S△ABC

=AB·sin2α·AC

=sin2α，

S△ABC=×2ABsinα·ACcosα=sinα·cosα，∴sin2α＝2sinαcosα.自主练习1.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.答案：(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)－0.78172.已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确