岩土工程结构可靠度

关于岩土工程结构可靠度岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区别与共同点

可靠度是“产品或系统在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率”。

可靠性理论侧重于产品或一个系统的可靠度，主要是一些基础理论；岩土工程结构可靠度侧重于工程领域应用。岩土工程自身也是一系统，其可靠度的计算远比单个或一批产品的可靠度计算复杂。1.1引言第2页,共65页，2024年2月25日，星期天岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区别与共同点

产品失效率有浴盆曲线特征；岩土工程结构失效也有浴盆曲线特征，只不过其中间段一般比较长，特征不明显而已。第3页,共65页，2024年2月25日，星期天岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区别与共同点彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用2小时，5年的可靠度和10年的可靠度各为多少？解产品可靠度计算一土坡工程，得出状态函数：已知正压力均值为100KPa，标准差20KPa，土的磨擦角均值为35度，标准差5度，土的粘结力均值50KPa，标准差10KPa。求该土坡的安全度。岩土工程可靠度计算第4页,共65页，2024年2月25日，星期天传统工程结构设计

早期的工程结构设计一般采用容许应力法。容许应力法是按照结构构件的截面计算应力不大于规定的材料容许应力的原则，它要求在荷载作用下，结构或构件某截面应力不超过材料的容许应力。

随着工程结构分析方法的发展，出现了破损(或破坏)阶段设计法。破损阶段设计法与容许应力法的主要区别在于考虑材料的塑性性质，计算截面或构件在塑性状态下的承载能力。安全系数法第5页,共65页，2024年2月25日，星期天工程结构设计容许应力法破损阶段设计法

(a)应力-应变模型(b)损伤模型Mazars损伤模型(a)应力-应变模型(b)损伤模型Loland损伤模型安全系数法第6页,共65页，2024年2月25日，星期天安全系数法优缺点

通常认为安全系数大于1，结构安全；安全系数小于1，结构将产生失稳。安全系数法由于使用方便，应用时间较长、应用范围也比较广。

但长时间的实践也证明，安全系数法具有局限性，表现在：

(1)由于安全系数是根据经验确定的数值，使结构设计非常粗糙。

(2)安全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺度。例如：强度均值相同，方差不同的材料，计算的安全系数一样，但安全度不会一样。

(3)加大结构的安全系数，不一定能按比例地增加结构的安全度。第7页,共65页，2024年2月25日，星期天安全系数法固有缺限

传统的安全系数法设计没有考虑到如下的事实：材料性能、构件尺寸以及结构的荷载都是随机的几何量或物理量，而不是确定的单值量。如岩土的强度测试离散性很大(如果正态分布，方差很大)，结构构件尺寸测量，各次测量的结果肯定有误差。安全系数法只是把这些不确定量用一个笼统的安全系数掩盖起来。

为克服这些缺点，人们发展一门新的学科——工程结构可靠度。第8页,共65页，2024年2月25日，星期天工程结构可靠度定义

工程结构可靠度是在规定的时间内、在规定的条件下，工程结构完成预定功能能力。可靠度是从概率的角度对可靠性的定量描述。可靠度设计是以承认结构有失效(或破坏)的可能性为前提的。(1)半经验半概率法--对影响结构可靠度的某些参数进行数理统计分析，并与经验相结合，然后引入某些经验系数。该法对结构可靠度还不能作出定量的估计。(2)近似概率法--一次二阶矩法，它采用概率论的方法对结构可靠度进行计算，不过不是采用精确的计算方法，而是采用近似的方法计算结构的可靠度，是目前结构可靠度实际计算中应用最多的方法。(3)全概率法--是完全基于概率论的结构可靠度精确分析法。计算比较复杂，目前还很少直接使用该方法。工程结构设计方法第9页,共65页，2024年2月25日，星期天1.2岩土工程中的不确定性

岩土工程的介质很复杂。以岩体为例，岩体是地质体的一部分，这种地质体中存在着大量的结构面，如节理，裂隙，断层等，具有非常复杂的力学特性；以土介质为例，土体的含水率不同，内部孔隙及结构各异，所表现的力学性质(如强度)千差万别。岩土工程地质条件及岩体性质参数具有不确定性，岩土工程中的不确定性主要表现在三个方面：

(1)岩土本身固有的不均匀性；

(2)统计所带来的不确定性；

(3)模型不准确引起的不确定性。第10页,共65页，2024年2月25日，星期天(1)岩土自身固有的不均匀性

岩土介质与其它材料介质的最根本区别是它的性质和结构的不均匀性。

a、岩体中裂隙分布的不确定性：岩体中存在着大量结构面(断层和节理)。

b、岩体力学性质的不确定性：岩体是非均质的各向异性体，各点间的性质往往有较大差异，同一试样在相同试验条件下测定其强度，结果也表现出一定的离散性。c、所受载荷的不确定性：地下岩体工程的结构所受的载荷是多种多样的，同时也具有不确定性，如岩石容重、地应力、地下水、地震、爆破震动、降雨等，这些载荷很难用确定性指标描述，它们都是随机变量第11页,共65页，2024年2月25日，星期天(2)统计所带来的不确定性

目前人们对岩体性质参数的掌握主要方法是通过现场取样，实验室测试，然后统计推断而得到，使得结果不可避免地带有不确定性。具体表现在：

(a)岩体本身固有的性质和结构的不均匀性，使得少量的试验难以得出岩体力学参数，由此产生不确定性；

(b)取样和测试过程中，测试环境条件的变化以及测试方法的不一致等，都使结果有差异；

(c)从实验室试验的力学参数，推断岩体力学参数，这就使结果具有很大的不确定性。不同的人，不同的单位对同一工程进行力学计算，所计算的结果有很大的差异，这完全不奇怪。第12页,共65页，2024年2月25日，星期天(3)模型不准确引起的不确定性

岩土工程的设计和分析是通过数学模型或模拟(例如公式、方程、算法、计算模拟程序等)来实现一组输入变量或基本变量与所要求的输出量之间的联系。岩体力学模型可以采用弹性力学模型；损伤力学模型；弹塑性力学模型；流变力学模型等。采用有限元进行力学计算是通过输入岩体的弹性模型参数、体重、粘结力参数、内摩擦角参数、抗压强度等，得出工程岩体的变形量，应力分布，工程中各点的安全系数等结果。采用不同的模型进行计算，结果肯定不同。第13页,共65页，2024年2月25日，星期天(4)岩土工程可靠度研究的必要性

岩土工程中存在的不确定性，使人们对用安全系数来表示安全程度产生了疑问。岩土工程中的不确定性导致了目前岩土力学分析难以满足工程实际要求。鉴于复杂岩土具有不确定性，以往沿用的“确定”参数和安全系数概念已不完全适用，确定性模型不足以概括复杂的岩石力学特性，可靠性理论有可能为岩石力学提供更合适的分析手段。可靠度分析方法对现有数据资料进行概率统计分析，使许多不确定性因素定量化。

以上分析说明：采用可靠性理论研究岩土工程无疑具有重要的意义。以随机可靠性理论为基础对工程结构进行极限状态设计是工程结构设计理论的一个重大发展。第14页,共65页，2024年2月25日，星期天1.3可靠度理论及可靠度标准的发展

可靠度的研究早在1930年代就开始，当时主要是围绕飞机失效进行研究。可靠度在工程结构设计中的应用大概从1940年代开始。在我国，结构可靠性问题的研究始于1950年代中期。于1984年提出的《建筑结构设计统一标准》采用国际上正在发展和推行的以概率统计理论为基础的极限状态设计方法。1985年建筑科学研究院会同建工、铁道、公路、港工、水工等五大部门，开始编制全国的“工程结构可靠度设计统一标准”。同时，铁路工程结构、公路工程结构、港口工程结构、水利水电工程结构可靠度设计统一标准陆续开始编制。《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB50068-2001)、《公路工程结构可靠度设计统一标准》(GB/T50283-1999)、《港口工程结构可靠度设计统一标准》(GB50158-92)、《水利水电工程结构可靠度设计统一标准》(GB50199-94)和《铁路工程结构可靠度设计统一标准》(CB50216-94)相继建立，使工程结构可靠度设计有据可依。第15页,共65页，2024年2月25日，星期天岩土工程可靠度理论与实践的发展岩土工程的可靠性问题研究明显落后于结构工程。岩土工程可靠度分析有许多应用领域，如边坡、采矿、隧道、挡土墙、地基、桩基、大坝等。我国岩土工程可靠性研究开始于70年代末80年代初，主要集中在土坡、地基、桩基、隧道等工程。第16页,共65页，2024年2月25日，星期天1.4工程结构可靠度研究目的及研究步骤

工程结构可靠度分析的目的大概可分为三类：(1)已知结构尺寸、荷载、材料特性以及目标可靠指标，校核结构的可靠度；(2)校核现行规范，给出规范中有关系数所对应的安全水准；(3)在给定目标可靠指标下，计算现行规范设计式中的系数，得出具有新的分项系数下的设计表达式，以供设计使用。工程结构可靠度分析步骤具体包括：(1)确定工程的可靠度分析模式；(2)基本变量数据的搜集；(3)基本变量的概率模型及统计参数；(4)建立工程极限状态方程；(5)计算可靠度与可靠指标，并进行决策。第17页,共65页，2024年2月25日，星期天第18页,共65页，2024年2月25日，星期天第三章：工程结构可靠度分析方法

3.1可靠度基本概念

3.1.1极限状态

1、工程结构的功能函数无论是房屋、桥梁、隧道等工程结构设计时，应使其在使用期内，力求在经济合理前提下满足下列各项要求：

(1)能承受正常施工和正常使用期间可能出现的各种作用(包括荷载及外加变形或约束变形)—结构的安全性；

(2)在正常使用时具有良好的性能—结构的适用性；

(3)在正常使用时具有足够的耐久性—结构的耐久性；

(4)在偶然事件发生时或发生后，能保证必要的整体稳定性—结构的安全性。结构的安全性、适用性和耐久性三者总称为结构的可靠性。可靠性的数量描述一般用可靠度。安全性的数量描述则用安全度。可靠度比安全度的含义更广泛，更能反映结构的可靠程度。第19页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.1极限状态

1、工程结构的功能函数工程的可靠性通常受各种荷载、介质强度、几何尺寸、计算公式准确性等因素的影响，这些因素均具有随机不确定性，称影响工程可靠度的随机因素为基本变量。设X1,X2,…,Xn表示影响工程结构某一功能的基本变量，则与此功能对应的功能函数可表为：3.1可靠度基本概念

考虑结构功能仅与荷载效应S(荷载引起的内力)和结构抗力R(结构承受荷载效应的能力，如强度、刚度、抗裂度等)两个基本变量有关的最简单情况，结构的功能函数为：第20页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.1极限状态

2、工程结构极限状态

工程结构的可靠状态：工程结构处于满足其功能要求的状态。用功能函数来描述：3.1可靠度基本概念

工程结构的失稳状态：工程结构处于未能满足其功能要求的状态。用功能函数来描述：

工程结构的极限状态：介于可靠状态与失稳状态之间的状态，即为工程结构极限状态。用功能函数表示为：第21页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.1极限状态

2、工程结构极限状态

3.1可靠度基本概念

用荷载效应S和抗力R表示的结构极限状态方程为：

结构极限状态是结构由可靠状态转向失稳状态的一个临界状态，是判别结构是否满足预定功能要求的标志。第22页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.1极限状态

3、工程结构极限状态分类

3.1可靠度基本概念

根据结构的不同功能要求，极限状态可划分为三类：

(1)承载能力极限状态若结构或结构构件达到最大承载能力或达到不适于继续承载的变形，则认为其达到承载能力极限状态。如：结构失去平衡(倾覆)；结构受力超过材料强度或过度变形而不适于继续承载；结构或结构构件丧失稳定。

(2)正常使用极限状态若结构或结构构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值，则认为其达到正常使用极限状态。如：影响正常使用或外观的变形；影响正常使用或耐久性能的局部损坏。

(3)整体性极限状态(抗连续破坏极限状态)

结构由于局部损坏而达到其余部分将发生连续破坏(或连续倒塌)状态限值。第23页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.1极限状态

3、工程结构极限状态分类

3.1可靠度基本概念

根据结构极限状态被超越后结构的状况，结构的极限状态可划分为两类：

(1)不可逆极限状态当产生超越极限状态的作用被移掉后，仍将永久地保持超越效应的极限状态。即因超越极限状态而产生的结构的损坏或功能失常将一直保持，除非结构被重新修复。承载能力极限状态一般可认为是不可逆极限状态。

(2)可逆极限状态产生超越极限状态的作用被移掉后将不再保持超越效应的极限状态。即产生超越的原因消失结构将从不期望状态(g(x)<0)转化到期望状态(g(z)>0)。可逆极限状态的概率设计法尚处于研究中，尚未能进入工程实践。第24页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

可靠度是在规定的时间内、规定的条件下，完成预定功能的概率。工程结构的可靠性是在规定的时间内，工程结构在规定的条件下，完成预定功能能力。可靠度是从概率的角度对可靠性的定量描述。

“规定的时间”一般是指结构设计基本准期，不同的工程结构，规定的时间要求不同。普通建筑结构的设计基准期为50年。由于荷载效应一般随设计基准期增长而增大，而影响结构抗力的材料性能指标则随设计基准期的增大而减小，因此“规定的时间”越长，结构的可靠度越低。

“规定的条件”指正常设计、正常施工、正常使用。不考虑人为错误或过失因素。

“预定功能”是指结构在经济合理的前提下，在安全性、适用性与耐久性方面的要求。第25页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

设工程结构的功能函数为：

结构破坏的概率Pf为：X1,X2,…,Xn表示影响工程结构某一功能的随机变量，Z函数也为随机变量，则可靠度可Ps表示为：

有下列关系式：第26页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

若已知结构荷载效应S和抗力R的概率密度函数分别为fs(x)及fR(y)，由于S与R相互独立：第27页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念上面两式是由分布函数和密度函数计算系统可靠度。第28页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

由结构失效率可知结构的可靠度。由于结构失效一般为小概率事件，工程结构可靠度分析一般计算结构失效概率。无论功能函数是线性的还是非线性的，理论上均可求取结构失效概率Pf或可靠度Ps。这必须要求功能函数中的随机变量为独立变量，且关于各随机变量的概率分布密度函数可以获得的前提下，用精确表达式计算可靠度才可能。但在实际工程中，这些要求常常难以满足。通常计算结构可靠度的方法是近似法，常用的近似法有一次可靠度分析法、蒙特卡罗模拟、统计矩法等．

由于：第29页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念

1、R和S服从正态分布假设R和S分别服从正态分布N(μR，σR)，N(μS，σS)，则功能函数Z也服从正态分布，有：

考虑工程结构功能函数仅由荷载效应S和结构抗力R组成的简单情况。第30页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念计算出β后，查正态分布表，得可靠度Ps，Pf=1-Ps第31页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念2、R和S服从对数正态分布

考虑工程结构功能函数仅由荷载效应S和结构抗力R组成的简单情况。第32页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念2、R和S服从对数正态分布

第33页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念3、可靠指标与安全系数之间的关系

传统的设计原则是抗力不小于荷载效应，其可靠性用安全系数来表示。中值安全系数为：

当功能函数为Z=R-S，R和S分别服从正态分布时，中值安全系数k0与可靠指标的关系为：第34页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念3、可靠指标与安全系数之间的关系

当功能函数为Z=R-S，R和S分别服从对数正态分布时，中值安全系数k0与可靠指标的关系为：

中值安全系数只与基本变量的平均值有关，而可靠指标不但与基本变量的平均值有关，而且与基本变量的标准差或变异系数相关，即与基本变量跟均值的离散程度相关。安全系数没有概率意义。第35页,共65页，2024年2月25日，星期天3.2一次可靠度分析法

一次可靠度分析法(FirstOrderReliabilityMethod,FORM)计算结构构件可靠度的基本思路是：首先将结构构件功能函数Z=g(Xl，X2，…，Xn)展开成Taylor级数，忽略高阶项，仅保留线性项，再利用基本随机变量X=(Xl,X2,…,Xn)的一阶矩、二阶矩求取Z的均值μz与标准差σz，从而确定结构构件可靠指标。根据功能函数线性化点的取法不同以及是否考虑基本随机变量的分布类型，一次可靠度分析法分为：均值一次二阶矩法(中心点法)，改进的一次二阶矩法(验算点法)和JC法。第36页,共65页，2024年2月25日，星期天3.2一次可靠度分析法

泰勒(Taylor)中值定理(一元):

如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶导数，则当x在(a，b)时，f(x)可表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和：一元函数第37页,共65页，2024年2月25日，星期天3.2一次可靠度分析法

泰勒公式(二元):

设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到(n+1)阶导数，有：一次可靠度分析常取前面两项。即线性项。可以推广至有n元情况第38页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.1均值一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法1、均值一次二阶矩法(中心点法)

当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量

X=(Xl,X2,…,Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。随机变量标准差与其函数标准差的近似表达。第39页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.1均值一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法1、均值一次二阶矩法(中心点法)

计算步骤：

当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量

X=(Xl,X2,…,Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。

(1)用各随机变量的均值代入功能函数，得出功能函数的均值μZ；

(2)求功能函数的标准差σZ；

(3)求β和Pf。将随机变量的均值代入

第40页,共65页，2024年2月25日，星期天例1：如图所示，土体沿着圆弧滑裂面绕o点发生滑动破坏，W为滑动土体自重，破内土层分两层，F1F2分为第一二层土体提供的抗滑阻力，T为载荷。随机变量服从独立正态分布，功能函数表示为：

求土坡沿着圆弧滑裂面滑动破坏的概率第41页,共65页，2024年2月25日，星期天滑动破坏的可靠度指标为：其中代入求得第42页,共65页，2024年2月25日，星期天例2：功能函数为非线性函数，对于上述土体滑动问题也可以定义安全系数如下：

若安全系数小于1，则土体发生滑动破坏。

可得功能函数为

首先计算功能函数在中心点的导数：得到β=2.187，土体滑动破坏的失效概率第43页,共65页，2024年2月25日，星期天3.2

设计验算点法-(改进一次二阶矩法)

针对均值一次二阶矩法将功能函数线性化点取作基本随机变量均值点带来的问题，改进的一次二阶矩法将功能函数线性化点取在设计验算点，从而提高了计算β的精度，并保证了对同一结构问题β的唯一性。改进的一次二阶矩法也称为验算点法。当极限状态方程中包含有多个相互独立的正态随机变量X=(Xl,X2,…,Xn)，假设方程为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)=0，则此超曲面Z=0上距离中心点M=(μX1，μX2，…，μXn)最近的点P＊=(x1＊，x2＊，…，xn＊)为设计验算点，简称验算点。显然，xi＊(i=1，2，…，n)满足极限状态方程：第44页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.2改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法偏导数在验算点的值第45页,共65页，2024年2月25日，星期天令为的标准化随机变量，即β则有：即：定义变量Xi灵敏度系数如下则有：第46页,共65页，2024年2月25日，星期天在原X空间中的x*对应标准正态随机变量Y空间中的点y*称为验算点。上式表明在Y空间内极限状态面在y*点处线性近似平面。以二维随机变量空间为例，如图所示。可以证明从原点o做极限状态平面的法线，刚好通过点y*。法线方向余弦为cosθYi等于灵敏度系数。即cosθYi=αXi计算可得y*到原点的距离为β。因此可靠度指标就是标准正态化空间中原点到极限状态面的最短距离。验算点在Y空间的坐标为则在原始X空间的坐标为第47页,共65页，2024年2月25日，星期天计算步骤：

(1)假定初始验算点x*，一般可设x*=μX

(2)计算灵敏度系数αXi

(3)计算β

(4)计算新的x*

(5)以新的x*重复上述步骤，直至前后两次β值之差小于允许误差（一般为±0.01）

第48页,共65页，2024年2月25日，星期天

例3：功能函数为非线性函数，独立正态变量，对于上述土体滑动问题也可以定义安全系数如下：

若安全系数小于1，则土体发生滑动破坏。

可得功能函数为

采用验算点法迭代计算结果如下

第49页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法-JC法

1、当量正态化一次二阶矩法适用于结构功能函数所含随机变量为独立、正态变量情况。但在可靠性分析中，极限状态方程常常包含非正态分布的随机变量。

JC法的基本思路是：对非正态变量当量正态化，将其转换为等效正态随机变量，即可利用一次二阶矩法求结构可靠指标。

“当量正态化”的条件是：

(1)在设计验算点xi＊处，非正态变量Xi(其均值为μXi，标准差为σXi)的分布函数值FXi(xi＊)与当量正态变量X’i(其均值为μXi’，标准差为σXi’)的分布函数值Fxi’(xi＊)相等；

(2)在设计验算点xi＊处，非正态变量Xi的概率密度函数值fXi(xi＊)与当量正态变量X’i的概率密度函数值fXi’(xi＊)相等。根据以上两个条件可以计算出当量正态分布的均值和标准差。第50页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

非正态分布函数当量正态分布函数第一个条件：分布函数相等。第51页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

非正态分布密度函数当量正态分布密度函数第二个条件：分布密度函数相等。第52页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

非正态分布密度函数当量正态分布密度函数第二个条件：分布密度函数相等。第53页,共65页，2024年2月25日，星期天JC法迭代计算步骤：

（1）假定初始验算点xi*，一般取xi*=μXi

（2）对于非正态分布变量，分别计算出和

（3）计算出灵敏度系数，式中用代替，用代替

（4）计算β

（5）计算新的xi*，重复上述步骤，直到前后两次β之差小于允许误差值。

第54页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

对于对数正态分布变量Xi，其分布函数和分布密度函数为：分布密度函数：在正态分布公式中令z=(t-μ)/σ，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量z服从标准正态分布。对数正态分布的密度函数为：正态分布的密度函数为：第55页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

对于对数正态分布的分布函数和分布密度函数：由公式，当量标准差为：由公式，当量均值为：关键的两个公式：第56页,共65页，2024年2月25日，星期天例4：功能函数为非线性函数，独立非正态变量，对于上述土体滑动问题也可以定义安全系数如下：

若安全系数小于1，则土体发生滑动破坏。

可得功能函数为：

假设F1,F2服从对数正态分布，W服从正态分布，T服从极值I型分布（极大值），采用JC法计算可靠度指标及验算点的值。解：对于F1对数正态分布的参数为对于F2对数正态分布的参数为对于极值I型（极大值）的参数为：第57页,共65页，2024年2月25日，星期天第58页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

2、相关随机变量的处理

对于随机变量相关的情形，需将它们先变换为相互独立的变量，然后再运用一次二阶矩法或改进的一次二阶矩法求可靠指标和失效概率。将相关变量变换为不相关变量的方法是：通过正交变换。

(1)相关正态随机变量的情况假设相关正态基本随机变量Xi=(X1,X2,…,Xn)，其协方差矩阵为：第59页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

2、相关随机变量的处理

相关正态基本随机变量Xi=(X1,X2,…,Xn)，其协方差矩阵为：如果Xi=(X1,X2,…,Xn)是不相关正态基本随机变量，其协方差矩阵为：第60页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

2、相关随机变量的处理

若Xi=(X1,X2,…,Xn)转换为不相关随机变量Yi=(Y1,Y2,…,Yn)，令：将{X}值代入极限状态方程Z=g(X1,X2,…,Xn)=0，得:Z=f(Y1,Y2,…,Yn)=0式中：[A]是正交矩阵，表示[D]=[A]T[CX][A][D]矩阵为特征向量构成的矩阵，其对角上的值为对应不相关随机变量的方差。[D]即为不相关随机变量的协方差矩阵。Matlab求解式为：[V,D]=eig(C)C=[361;640;102][A,D]=eig(C)第61页,共65页，2024年2月25日，星期天

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

2、相关随机变量的处理

由Xi=(X1,X2,…,Xn)相关随机变量转换为不相关随机变量Yi=(Y1,Y2,…,Yn)的方法与步骤：(1)根据相关随机变量Xi的协方差矩阵[CX]，求得特征值矩阵[D](即不相关随机变量方差矩阵)和正交矩阵[A]，由[D]可求得不相关随机变量的方差。由