2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题5.9二次函数中的最值问题【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 2【题型2已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 4【题型3已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 6【题型4二次函数中求线段最值】 10【题型5二次函数中求线段和差最值】 18【题型6二次函数中求周长最值】 32【题型7二次函数中求面积最值】 42【题型8二次函数在新定义中求最值】 52【知识点1二次函数的最值】1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．（2）若，如图②，当，；当，．（3）若，如图③，当，；当，．（4）若，，如图④，当，；当，．2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．【题型1已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】（2022秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为（用含m的式子表示）．【变式1-1】（2022秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4【变式1-2】（2022秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4．小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．（1）求b+c的值．（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．【题型2已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．±16 B．-16或12 C．-16【变式2-1】（2022秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为．【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A．3 B．9 C．293 D．【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【题型3已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．【题型4二次函数中求线段最值】【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【变式4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2022春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；（1）过点P作PE⊥AC于点E，求22PE的最大值及此时点P（2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．【题型5二次函数中求线段和差最值】【例5】（2022春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=-34x2-94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．【变式5-1】（2022•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；（2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标；②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2022•建华区二模）综合与实践如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0）交x轴于点（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：；（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-3】（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．【题型6二次函数中求周长最值】【例6】（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．（1）求抛物线的表达式；（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．【变式6-3】（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线l：y=-12x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+8（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．【题型7二次函数中求面积最值】【例7】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求点A的坐标；（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．【变式7-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．（1）求证OC=12（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=-12时，求△（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．【变式7-2】（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=-34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m【变式7-3】（2022•大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；【题型8二次函数在新定义中求最值】【例8】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（-2（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，5①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数【变式8-1】（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【变式8-2】（2022•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．问题发现：（1）如图1，筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD的面积的最大值；问题解决：（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由．【变式8-3】（2022春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）．（1）若A为（3，﹣2），O为坐标原点，则d（O，A）＝；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）若M（1，1），点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．专题5.9二次函数中的最值问题【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 2【题型2已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 4【题型3已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 6【题型4二次函数中求线段最值】 10【题型5二次函数中求线段和差最值】 18【题型6二次函数中求周长最值】 32【题型7二次函数中求面积最值】 42【题型8二次函数在新定义中求最值】 52【知识点1二次函数的最值】1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．（2）若，如图②，当，；当，．（3）若，如图③，当，；当，．（4）若，，如图④，当，；当，．2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．【题型1已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】（2022秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为15+m（用含m的式子表示）．【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当﹣3≤x≤3时，y的最大值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1时，有最小值，∴当﹣3≤x≤3时，y取得最大值时对应的x的值是﹣3，∵当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，∴当﹣3≤x≤3时，y的最大值为15+m，故答案为：15+m．【变式1-1】（2022秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，故选：B．【变式1-2】（2022秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4．小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：∵二次函数y＝x2，∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，∵﹣1≤x≤2，∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，当x＝2时取得最大值，此时y＝4，由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．（1）求b+c的值．（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．【分析】（1）由对称轴-b2=1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4时，y有最大值21；（3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h-16）2【解答】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1，∴-b∴b＝﹣2，∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0），∴9﹣6﹣c＝0，∴c＝3，∴b+c＝1；（2）由（1）可得y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵﹣4≤x≤3，∴当x＝﹣4时，y有最大值21；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h-16）2∴当h=16时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为【题型2已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．±16 B．-16或12 C．-16【分析】由二次函数y＝mx2﹣4mx可得对称轴为x＝2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=12，当m＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，∴对称轴为x=-b①当m＞0时，∵二次函数开口向上，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m=1②当m＜0时，∵二次函数开口向下，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m=-1综上，m的值为12或-故选：B．【变式2-1】（2022秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为2．【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x＝﹣1，所以可得0≤x≤1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵y＝x2+2x+2a+3＝x2+2x+1+2a+2＝（x+1）2+2a+2，∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口方向向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤1时，y的最大值为10，∴当x＝1时，y＝10，把x＝1时，y＝10代入y＝x2+2x+2a+3中可得：1+2+2a+3＝10，∴a＝2，故答案为：2．【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A．3 B．9 C．293 D．【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的图象的对称轴为直线x=--2a∵当x＝1时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c；∴当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，∵当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，∴a+c＝9，故选：B．【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c-b24×1=-3，-b2＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，∴该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c-b24×1∴b＜0，∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，将c＝﹣2代入4×1×c-b24×1=-3，可得b1故选：C．【题型3已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，∴2≤m≤4，故选：C．【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．【分析】分四种情况讨论：①当m+3≤﹣2时，即m≤﹣5，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；②当m+32＜-2＜m+3时，即﹣4＜m＜﹣3，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；③当m＜﹣2≤m+32时，即﹣3≤m＜﹣2，y的最小值为﹣m2﹣8m﹣7；④当m≥﹣2时，y的最小值为﹣【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∴对称轴为直线x＝﹣2，当m≥﹣2时，则当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，当m＜﹣2＜m+3时，即﹣5＜m＜﹣2，当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小，若m+3+2≥﹣2﹣m，即-72当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，当m+3+2＜﹣2﹣m，即﹣5＜m＜-7当x＝m时，y有最小值为﹣m2﹣4m+5，当m+3+2≤﹣2时，即m≤﹣5，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；综上所述：m≥-72时y的最小值为﹣m2﹣10m﹣16；当m＜-72时，y的最小值为﹣m【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的数量关系，把抛物线解析式中的b换成a的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；（2）分x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；（3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段AB有两个公共点时，结合图象即可判断出a的取值范围．【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a得，9a+3b﹣3a＝0，∴b＝﹣2a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）；（2）∵a＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，∴对称轴为直线：x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，∵当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，∴①当x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧时，有-2(t-2-1)解得t＝4，②当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧时，有-2(t-1)解得t＝0，③当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，综上，t的值为0或4；（3））∵点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B，∴B（3，4），∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0），若此二次函数的图象与线段AB有两个交点，则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，当抛物线经过点A时，为一种临界情况，将A（0，4）代入，4＝0﹣0﹣3a，解得a＝−43当抛物线的顶点在线段AB上时，为一种临界情况，此时顶点的纵坐标为4，∴﹣4a＝4，解得a＝﹣1，∴-43【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．【分析】（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即可根据点（﹣1，0），确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；（2）根据t≤2﹣t，确定t≤1，2﹣t≥1，求出当＝1时取得最大值4，解得N＝1，令y＝1求出值．【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，c）和（0，c），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）．即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3.0）；（2）∵与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴0=-1-b+c-解得：b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3．∵t≤x≤2﹣t，∴t≤1，2﹣t≥1．∴当t≤x≤2﹣t时，当x＝1时取得最大值4，即M＝4，当x＝t或x＝2﹣t时取得最小值N，∵M﹣N＝3，∴N＝1．令y＝l得，1＝﹣t2+2t+3，解得t1=3+1（舍），t2∴t=-3令y＝l得，1＝﹣（2﹣t）2+2（2﹣t）+3，解得t1=3+1（舍），t2∴t=-3综上：t=-3【题型4二次函数中求线段最值】【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求；（3）过点P作PE∥y轴交AC于E，当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC的解析式，设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），则PE＝﹣（t+1）2+1，当t＝﹣1时，PE有最大值，此时P（﹣1，﹣2）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，∴a+b-2=04a-2b-2=0解得a=1b=1∴y＝x2+x﹣2；（2）∵A、B关于抛物线的对称轴对称，∴AM＝BM，∴MB+MC≥AM+MC，当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴AC＝22，∴MB+MC的最小值为22；（3）线段PQ存在最大值，理由如下：过点P作PE∥y轴交AC于E，当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴-2k+b=0b=-2解得k=-1b=-2∴y＝﹣x﹣2，设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），∴PE＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，∴当t＝﹣1时，PE有最大值，此时P（﹣1，﹣2）．【变式4-1】（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则-4k+b=0b=-8解得：k=-2b=-8∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4-19，n2＝﹣4+∴F（﹣1，﹣4-19）或（﹣1，﹣4+②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n=3∴F（﹣1，32③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n=-17∴F（﹣1，-17综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4-19）或（﹣1，﹣4+19）或（﹣1，32【变式4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数的解析式；（2）用待定系数法求直线AB的解析式，可求出PM＝﹣（t-32）2+94，当t=32时，（3）根据题意，分两种情况讨论；①当PB为平行四边形的对角线时，此时t无解；②当PO为平行四边形的对角线时，此时P（3+212，3-212）或（【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴-9+3b+c=0c=3解得b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3；（2）设线AB的解析式为y＝kx+b，∴b=33k+b=0解得k=-1b=3∴y＝﹣x+3，∵P（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t2+2t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t-32）2当t=32时，PM最长为此时S△ABM=12×（3）存在点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：由（2）知，P（t，﹣t+3），M（t，﹣t2+2t+3），①当PB为平行四边形的对角线时，﹣t+3+3＝﹣t2+2t+3，此时t无解；②当PO为平行四边形的对角线时，﹣t+3＝﹣t2+2t+3+3，解得t=3+212或∴P（3+212，3-212）或（综上所述：P点坐标为（3+212，3-212）或（【变式4-3】（2022春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；（1）过点P作PE⊥AC于点E，求22PE的最大值及此时点P（2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可得直线AC的解析式，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），应用二次函数最值可得线段PD的最大值，证明△PDE是等腰直角三角形，可得出2PE＝PD，即可求得答案；（2）分两种情况：①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1A＝N2A＝CM；②若CM不平行于x轴，如图所示，根据平行四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，∴16a+4b+4=0a+b+4=0解得：a=-1b=-3∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，∵二次函数y＝﹣x2﹣3x+4与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+4，∵直线AC经过点A（﹣4，0），∴0＝﹣4k+4，解得：k＝1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），∴PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝＝﹣（x+2）2+4，∴当x＝﹣2时，PD最大，最大值是4．∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°，∵PF⊥x轴，∴∠ADF＝∠PDE＝45°，∵PE⊥AC，∴△PDE是等腰直角三角形，∴2PE＝PD，∴22PE=1∴22PE的最大值为12PD=1（2）由平移可求得平移后函数解析式为y'＝﹣（x+4﹣4）（x﹣1﹣4）＝﹣x2+5x，对称轴为x=5分两种情况：①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1A＝N2A＝CM=5∵A（﹣4，0），∴点N的坐标为（-32，0）或（②若CM不平行于x轴，如图，设M（52，m），N（n∵A（﹣4，0），C（0，4），∴﹣4+n＝0+5∴n=13∴点N的坐标为（132综上，点N的坐标为（-32，0）或（-13【题型5二次函数中求线段和差最值】【例5】（2022春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=-34x2-94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x＝0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．【解答】解：（1）∵y=-34x2-94x+3=-34（x+4）（x﹣1）=-3∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），对称轴为直线x=-3（2）如图所示：过N作NQ⊥x轴于点Q，由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，∵∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠QBN，又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，∴OQ＝1+3＝4，∴N（4，1）；（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，∴k+b=04k+b=1解得：k=1∴直线NB的解析式为：y=13x当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=3当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，即点P为直线NB与抛物线的交点．解方程组：y=1解得：x1=1y∴当P的坐标为（1，0）或（-409，-4927）时，|NP﹣【变式5-1】（2022•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；（2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标；②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据二次函数解析式化为y＝x2+x+m（x+4）+9，当x＝﹣4时，y与m无关，将x＝﹣4代入取出y的值即可．（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；当点P，M，N三点在一条直线上时，|PM﹣PN|取得最大值，求得直线MN的解析式，再求得点P的坐标，利用勾股定理即可求解；②分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2+（m+1）x+4m+9＝x2+x+m（x+4）+9，∴当x＝﹣4时，m（x+4）＝0，∴y＝（﹣4）2+（﹣4）+0+9＝21，∴对于任意m，二次函数都会经过一个定点（﹣4，21）．（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），∴|PN﹣PM|≤MN，∴当点P，M，N三点在一条直线上时，|PN﹣PM|取得最大值；如图，连接MN并延长，交x轴于点P，∵M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），∴直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣3，∴P（﹣3，0），MN=2∴|PN﹣PM|的最大值为2，且此时P（﹣3，0）．②设点H为（t，﹣t﹣3），∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且Q在x轴上方时，过点Q作QF⊥y轴于点F，过点H作HE∥y轴交直线QF于点E，如图：设QF＝m，OF＝n，∴Q（﹣m，n），∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，即∠OQH＝90°，OQ＝QH，∴∠EQH+∠FQO＝90°，∠FOQ+∠FQO＝90°，∴∠EQH＝∠FOQ，∴△EQH≌△FOQ（AAS），∴EQ＝OF＝n，EH＝QF＝m，∴点H的坐标为（﹣m﹣n，n﹣m），∵点H在直线MN上，∴n﹣m＝m+n﹣3，解得m=3当x=-32时，y＝（-32）2﹣2×（∴Q（-32，当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且点Q在x轴下方时，过点Q作QD⊥x轴点D，过点H作HC∥x轴交直线QD于点C，如图：设QF＝p，OF＝q，∴Q（p，﹣q），同理可得，△CQH≌△DOQ（AAS），∴CQ＝OD＝p，CH＝QD＝q，∴点H的坐标为（p﹣q，﹣p﹣q），∵点H在直线MN上，∴﹣p﹣q＝﹣p+q﹣3，解得q=3∴Q（2-102，-32）或（综上，点Q的坐标为（-32，94）或（2-102，-【变式5-2】（2022•建华区二模）综合与实践如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0）交x轴于点（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：（12，-3（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质可求得：C（0，﹣1），D（1，﹣1），再运用待定系数法即可求得答案；（2）连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=-12x-1（3）分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，分别建立方程求解即可；（4）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），分三种情况：①当OM、AN为对角线时，如图1，②当AM、ON为对角线时，如图2，③当OA、MN为对角线时，如图3，分别画出图形，根据菱形性质建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵E（1，0），∴OE＝1，∵四边形OCDE是正方形，∴OC＝CD＝CE＝OE＝1，∠CDE＝∠DEO＝∠OCD＝90°，∴C（0，﹣1），D（1，﹣1），∵抛物线y=12x2+bx+c经过点C（0，﹣1），点∴c=-11解得：c=-1b=-∴抛物线解析式为：y=12x2-∵抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点∴令y＝0，即有12x2-1整理得：（x+1）（x﹣2）＝0，．解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（2，0）；（2）G点坐标为：（12，-∵抛物线y=12x2-12x﹣1经过∴C、D关于抛物线的对称轴：直线x=1连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，∵C、D关于抛物线的对称轴：直线x=1∴CG＝DG，∴AG+CG＝AG+DG＝AD（两点之间，线段最短）∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），∴直线AD的解析式为y=-12x∵连接AD交抛物线的对称轴：直线x=12于点∴当x=12时，y∴G（12，-故答案为：（12，-（3）符合条件的点P的坐标为（4，1）或（3，2），理由如下：∵由（1）知C（0，﹣1），B（2，0），x轴⊥y轴（即OC⊥AB），∴OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，∴BC=5∵在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，∴OF＝t，PF⊥x轴∴BF＝OF﹣OB＝t﹣2，分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，∴BP＝BC=5，FP＝OC＝1，BF＝OB＝2或BP＝BC=5，FP＝OB＝2，BF＝∴t﹣2＝2或t﹣2＝1，∴t＝4或t＝3，∴P（4，1）或（3，2）；（4）存在符合条件的点M和N，点N坐标为（﹣1，﹣1）或（-12，12）或（1设直线AC的解析式为y＝kx+d，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入，得：-k+d=0d=-1解得：k=-1d=-1∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，∵点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，∴设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），①当OM、AN为对角线时，如图1，∵四边形OAMN是菱形，∴AM＝MN＝OA＝1，MN∥OA，∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝1，解得：m＝﹣1+22或m＝﹣1∴M（﹣1+22，∴N（22，-②当AM、ON为对角线时，如图2，∵四边形OAMN是菱形，∴AN＝MN＝OA＝OM＝1，MN∥OA，AN∥OM，∴m2+（﹣m﹣1）2＝1，解得：m＝0或m＝﹣1（不符合题意，舍去），∴M（0，﹣1），∴N（﹣1，﹣1）；③当OA、MN为对角线时，如图3，∵四边形OAMN是菱形，∴MN⊥OA，AM＝OM，MN与OA互相垂直平分，即M与N关于x轴对称，∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝m2+（﹣m﹣1）2，解得：m=-1∴M（-12，∴N（-12，综上所述，点N的坐标为（22，-22）或（﹣1，﹣1）或（-【变式5-3】（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．【分析】（1）由题意可得y＝a（x﹣3）2﹣6，再将（0，0）代入求出a的值即可求函数的解析式；（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则OE＝|m|，AF＝|6+m|，由题意可知直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，求出OM=22|m|，AN=22|6+m|，再由|m|：|6+②设P（t，23t2﹣4t），过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，求出直线AB的解析式后可求E（t，﹣t+6），则PE=-23t2+3t+6，由直线AB与直线PQ的解析式，能确定两直线互相垂直，可求CQ=22BQ，CP=22PE，则PC+CQ=-223（【解答】解：（1）∵OA＝6，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，∵顶点与x轴的距离是6，∴顶点为（3，﹣6），∴y＝a（x﹣3）2﹣6，∵抛物线经过原点，∴9a﹣6＝0，∴a=2∴y=23（x﹣3）（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，∴E（0，m），F（﹣m，0），∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，∴OM=22|m|，AN=2∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，∴OM：AN＝1：3，∴|m|：|6+m|＝1：3，解得m=-32或②设P（t，23t2﹣4t过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴6k+b=03k+b=3解得k=-1b=6∴y＝﹣x+6，∴E（t，﹣t+6），∴PE＝﹣t+6﹣（23t2﹣4t）=-23t2设直线AB与y轴交点为G，令x＝0，则y＝6，∴G（0，6），∴OG＝OA＝6，∴∠OGA＝45°，设直线PQ与x轴交点为K，与y轴交点为L，直线PQ的解析式为y＝x+m，令x＝0，则y＝m∴L（0，m），令y＝0，则x＝﹣m，∴K（﹣m，0），∴OL＝OK，∴∠OLK＝45°，∴∠GCL＝90°，∴PF＝FQ＝3﹣t，设BF与x轴交点为H，∴FH=-23t2+4∴HQ=-23t2+4t﹣3+t=-23t∴BQ＝3-23t2+5t﹣3=-23t∴CQ=22BQ=22（-2∵CP=22PE=22（-2∴PC+CQ=22（-23t2+3t+6）+22（-23t2+5t）=22（-43t当t＝3时，PC+CQ的最大值为92．【题型6二次函数中求周长最值】【例6】（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标；（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，即为△AEP的周长最小时，点P的坐标；（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，-12m2-m+4），利用MN＝CD【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，∴0＝16a﹣8a+4，∴a=-1∴y=-1令y＝0，得-1解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴点B的坐标为（2，0），令x＝0，则y＝4，∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图，由y=-1可得对称轴为：x=--1∵△AEP的边AE是定长，∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．点A关于x＝﹣1的对称点为点B，∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），∴0=2k+b2=b，解得k=-1∴直线BE：y＝﹣x+2，令x＝﹣1，得y＝3，∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．∵MN∥CD，∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，∵CD＝4﹣2＝2，∴MN＝CD＝2，∵点M在直线y＝﹣x+2上，∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，-1∴|-m+2+1即|1当12解得m=±22此时点M的坐标为：（22，2-22）或（-22当12解得m＝0（舍去），综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（22，2-22）或（-22【变式6-1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣1.0），B（3.0）两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x＝1，结合A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，再求AC的解析式即可得到答案；（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴a-b-3=09a+3b-3=0解得：a=1b=-2∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，∵点C的横坐标是2，yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴2m+n=-3-m+n=0解得：m=-1n=-1∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），①当AB为对角线时，则-1+3=2+x0+0=-3+y解得：x=0y=3∴E（0，3）；②当AC为对角线时，则-1+2=3+x0-3=0+y解得：x=-2y=-3∴E（﹣2，﹣3）；③当BC为对角线时，则3+2=-1+x0-3=0+y解得：x=9y=-3∴E（6，﹣3）．综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．【变式6-2】（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．（1）求抛物线的表达式；（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．【分析】（1）利用特定系数解答，即可求解；（2）先求出直线AB的表达式为y＝x﹣1，可得△PCD是等直角三角形，从而得到△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（2+1）PC，设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x（3）分三种情况讨论，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：c=-15解得：b=-4c=-1则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0），∵A（0，﹣1），B（5，4），∴a=-15k+a=4解得：a=-1k=1∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，设直线AB交x轴于点M，当y＝0时，x＝1，∵OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°，∴∠OAB＝45°，∵CP∥y轴，∴∠DCP＝∠OAB＝45°，∵PD⊥AB，∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，∴PC=CD2+DP2=2∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（2+1）PC设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），∴（2+1）PC＝（2+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（2+1）[（x-5∵﹣（2+∴当x=52时，△PCD周长取得最大值，最大值为254此时点P的坐标为（52，-（3）如图，过点A作P1A⊥y轴，交抛物线于点P1，∵CP1∥y轴，∴∠ACP1＝45°，∴△ACP1是等腰直角三角形，∴点A（0，﹣1），∴点P1的纵坐标为﹣1，当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣4x﹣1，解得：x1＝4，x2＝0（舍去），此时点P1（4，﹣1）；如图，当P2A⊥AB时，∵CP2∥y轴，∴∠ACP2＝45°，∴△ACP2是等腰直角三角形，点C，P2关于直线AP1对称，设点P2（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），∴12[（m2﹣4m﹣1）+（m解得：m1＝3，m2＝0（舍去），此时点P2（3，﹣4）；如图，若AC＝CP3，作CE⊥y轴于点E．∵∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，即AE＝CE，∴P3C＝AC=AE设点P3（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）=2m解得：m1＝5-2，m2∴此时点p3（5-2，6﹣62综上所述，点P的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5-2，6﹣62【变式6-3】（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线l：y=-12x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+8（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）①如图1，连接BP，先求得B（﹣10，0），设P（m，15m2+85m﹣4），可得S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m②由①可得：P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），可得OE＝BE＝5，故点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，可得QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，运用勾股定理可得BC＝229，即可得出△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝229+4；运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-25x﹣4，进而可得Q（﹣5，﹣2），F（﹣5，-【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+85∴4a+16解得：a=1∴该抛物线的表达式为y=15x2+（2）①如图1，连接BP，∵抛物线y=15x2+85x﹣4，令y＝0，得15解得：x1＝﹣10，x2＝2，∴B（﹣10，0），设P（m，15m2+8∵PE⊥x轴，∴E（m，0），∴OE＝﹣m，BE＝m+10，PE＝﹣（15m2+85m﹣4）=-15∴S＝S△PBE+S梯形OCPE=12×（m+10）×（-15m2-85m+4）+12×（-15∵S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，∴当m＝﹣5时，S的最大值为45；②由①得：当m＝﹣5时，S的最大值为45，∴P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），∴OE＝BE＝5，∵PE⊥x轴，∴直线PE是线段OB的垂直平分线，∴点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，∴QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，在Rt△BCO中，BC=OB2∴△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝229+设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣10，0），C（0，﹣4）代入，得-10k+b=0b=-4解得：k=-2∴直线BC的解析式为y=-25当x＝﹣5时，y=-2∴Q（﹣5，﹣2）；∵直线l的解析式为y=-12∴当x＝﹣5时，y=-12×∴F（﹣5，-3∴FQ=-32-故△QOC周长的最小值为229+4，FQ的长为1【题型7二次函数中求面积最值】【例7】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求点A的坐标；（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．【分析】（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，可求A点坐标；（2）①联立方程组y=-x2+2x+3y=kx+k，求出D点坐标，求出直线BC的解析式，联立方程组y=kx+ky=-x+3，求出E点坐标，过D点作DG∥y轴交BC于点G，则可知G（3﹣k，k），求出DG＝3k﹣k2，可求S△EBD﹣S△CEF＝﹣2（k-158）2+8132②设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），联立方程组y=ax2-2ax-3ay=ax+a，求出点D（4，5a），分三种情况讨论：①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，（1，-2677）；②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，P（1，﹣4）；③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）①∵a＝﹣1，∴y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），联立方程组y=-x整理得，x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0，解得k＝﹣1或k＝3﹣k，∴D（3﹣k，4k﹣k2），设直线BC的解析式为y＝k'x+b，∴3k'+b=0b=3解得b=3k'=-1∴y＝﹣x+3，过D点作DG∥y轴交BC于点G，∴G（3﹣k，k），∴DG＝3k﹣k2，联立方程组y=kx+ky=-x+3解得x=3-k∴E（3-k1+k，4k在y＝kx+k中，x＝0时，y＝k，∴F（0，k），∴S△BDE=12×（3-3-k1+k）×（3k﹣k2），S△CEF=∴S△EBD﹣S△CEF=12×（3-3-k1+k）×（3k﹣k2）-12×（3﹣k）×3-k1+k=∴当k=158时，S△EBD﹣S△CEF的最大值为②以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），∵k＝a，∴y＝ax﹣a，联立方程组y=ax解得x=4y=5a或x=-1∴D（4，5a），①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，∴4+m＝0，t＝am2﹣2am+2a，∴m＝﹣4，∴Q（﹣4，21a），∴64+（16a）2＝25+25a2+9+（21a）2，解得a=±7∵a＜0，∴a=-7∴t=-26∴P（1，-26②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，∴1+m＝3，5a＝t+am2﹣2am﹣3a，∴m＝2，∴Q（2，﹣3a），∴25+25a2＝9+9a2+4+64a2，解得a=±1∵a＜0，∴a=-1∴t＝﹣4，∴P（1，﹣4）；③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，∴m﹣1＝5，t+5a＝am2﹣2am﹣3a，∴m＝6，∴Q（6，21a），∴49+（21a）2＝25+25a2+4+（16a）2，此时a无解；综上所述：P点坐标为（1，-26【变式7-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．（1）求证OC=12（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=-12时，求△（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b，c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC．OE，即可得出结论；（2）当a=-12时，抛物线为y=-12x2+x+32，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，求出点C′的坐标，根据△CMN周长的最小值为CM+CN+MN＝C″M+C′N+（3）过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，可求出当x取32时，S四边形ABQC有最大值，对比D【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴a-b+c=09a+3b+c=0解得b=-2ac=-3a∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，把B、D两点的坐标分别代入