基于偏微分方程的图像平滑方法的研究学士学位论文

成都理工大学毕业设计（论文）PAGEPAGE53基于偏微分方程的图像平滑方法的删除研究删除作者姓名：刘洋专业班级：信息与计算科学2008070201指导教师：王茂芝摘要在信息化的社会里，图像在信息传播中所起的作用越来越大。所以，消除在图像采集和传输过程中而产生的噪声，保证图像受污染度最小，成了数字图像处理领域里的重要部分，图像平滑作为图像处理中的重要环节，也逐渐受到人们的关注，图像平滑的目的主要是消除噪声。本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑方法按空间域和频率域的分类及各种方法的特点，由于传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。首先介绍图像处理应用时的常用函数及其用法；其次详细阐述了几种去噪算法原理及特点；最后运用Matlab软件对一张含噪图片（含高斯噪声或椒盐噪声）进行仿真去噪，本文分别从各向同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究，进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。关键词：图像平滑；偏微分方程；各向同性扩散；各向异性扩散

BasedonpartialdifferentialequationsforimagesmoothingmethodimagesmoothingmethodresearchbimagesmoothingmethodresearchbasedonpartialdifferentialequationsAbstractIntheinformationsociety,theroleofimageinthedisseminationofinformation.Therefore,toeliminatethenoiseintheimageacquisitionandtransmissionprocesstoensurethatanimportantpartoftheimagecontaminatedminimum,hasbecomethefieldofdigitalimageprocessing,imagesmoothingasanimportantlinkinimageprocessing,butalsograduallybytheattention,smooththeimagemainpurposeistoeliminatenoise.Thispaperdescribesthedevelopmentofimagesmoothing,imagesmoothingmethodaccordingtotheclassificationofthespaceandfrequencydomainsandthecharacteristicsofthevariousmethods,thesemethodsduetothetraditionaldenoisingwillalsounderminetheimageoftheimportantcharacteristicswhichleadsbasedonpartialdifferentialequationsimageSmoothingMethod.Firstintroducedthecommonfunctionsandtheirusageinimageprocessingapplications;elaboratedtheprincipleandcharacteristicsofseveraldenoisingalgorithm;Matlabsoftwareonanoisyimage(withGaussiannoiseorsaltandpeppernoise)simulationdenoisingInthispaper,researchfromtheisotropicdiffusionequationandanisotropicdiffusionforimagesmoothingmethodbasedonpartialdifferentialequations,andfurtherimprovetheimagesmoothingmethodinordertoachievethepurposeofbettersmoothingeffectKeywords:Imagesmoothing;partialdifferentialequations;isotropicdiffusion;anisotropicdiffusion

目录第1章前言 11.1课题研究背景 11.2图像平滑的研究现状 21.2.1领域平均法 21.2.2低通滤波法 31.2.3多图像平均法 41.2.4中值滤波法 41.2.5各向同性扩散方程 61.2.6各向异性扩散方程 61.3本文的研究目标和主要内容 7第2章偏微分方程基础知识 82.1偏微分方程的导出与定解 82.1.1偏微分方程的概念 82.1.2几个典型的数学物理方程 82.1.3初边值问题 92.2热传导方程初值问题的求解 122.3二阶偏微分方程的分类与化简 132.3.1二阶偏微分方程的分类 132.3.2二阶偏微分方程的化简 152.4与图像处理有关的偏微分方程的例子 15第3章图像的基本知识 173.1图像介绍 173.1.1图像概述 173.1.2图像分类 183.2静态灰度图像的数学模型 183.2.1静态灰度图像的连续模型 183.2.2灰度图像的离散模型 203.3静态彩色图像的数学模型 203.3.1静态灰度图像的连续模型 203.3.2彩色图像的数学模型 203.4动态图像的数学模型 213.5数字图像的采集 213.6图像格式 23第4章数字图像处理的基本知识 274.1数字图像处理的概述 274.1.1数字图像处理技术的发展 274.1.2数字图像处理技术的流程 274.1.3低层图像处理 284.2滤波和滤波器 294.3图像增强算法 304.3.1平滑空间滤波 304.3.2锐化空间滤波 304.4图像还原算法 314.4.1噪声模型 314.4.2去噪算法 32第5章基于偏微分方程的图像平滑 345.1偏微分方程的概述 345.2基于偏微分方程的图像平滑处理 345.2.1各向同性扩散方程 355.2.2各向异性扩散方程 375.3图像平滑的实验分析 385.3.1传统图像平滑方法分析 385.3.2偏微分方程图像平滑方法分析 42结论 48致谢 50参考文献 51第1章前言1.1课题研究背景21世纪，人类已经进入了信息化时代，计算机在处理各种信息中发挥着重要作用。据统计，人类从自然界获取的信息中，视觉信息占75%~85%。俗话说“百闻不如一见”，有些场景或事物，不管花费多少笔墨都难以表达清楚，然而，若用一幅图像描述，可以做到一目了然。可见，在当代高度信息化的社会中，图形和图像在信息传播中所起的作用越来越大，在图像处理领域，数字图像处理得到了飞速发展。早期由于图像处理领域涉及的数学理论较浅，尽管图像处理与分析与计算机科学有很强的联系，但在相当长的一段时间里一些在特定条件下的算法的正确性没有得到很好的证明，图像处理研究的进展不大。近年来由于该领域研究者数学功底的增强，同时，由于该领域的巨大市场需求吸引了越来越多的数学工作者的加入。使该领域得到了前所未有的发展。图像增强、图像恢复和图像分割是图像处理与分析中的主要问题，对图像进行平滑和边缘检测等处理是常用的方法；然而，图像的平滑和边缘的保持是一对矛盾的关系；图像的低通滤波在降噪的同时模糊的图像的边界。而人对图像的高频部分（边缘细节）是很敏感的，图像的大部分信息存在于边缘和轮廓部分。传统的滤波和边缘检测方法难以处理这类问题。由于基于PDEs的图像处理方法在平滑噪声的同时可以使边界得到保持，因此在图像处理中得到广泛的运用。基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支，这方面的研究工作可从Nagao,rudin等关于图像光滑和图像增强的研究以及Koenderink对于图像结构的探索。图像处理中的两个分支直接影响到了这个学科的最终形成。第一是图像分割，它实际上的是为了把真实世界中的物体从图像中分离出来，同时得到真就的边界。其中Mumford-Shah模型是较为常用的方法。具体算法略。第二是图像滤波，它是所有图像处理方法的前奏。1984年，Koenderink发现了图像信号经过高斯滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。图像滤波需要两个限制条件：对比度不变和仿射不变，满足的偏微分方程只有一个，所谓的AMSS方程。基于偏微分方程的图像处理应用范围几乎覆盖要整个图像处理领域，包括图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取、图像检索、医学图像处理、彩色图像处理、动态图像分析等。有的研究甚至用到了视觉哲学等的一些结论。一方面，这个领域的发展在应用领域不断拓展，另一方面随着本学科的发展，人们试图用严格的数学理论对现存的图像处理方法进行改造。基于偏微分方程的图像处理在使用偏微分方程理论的同时也推动了偏微分方程理论的以展。我国的研究人员在这个领域关注的比较晚，从20世纪90年代到现在也取得了很多骄人的研究成果。1.2图像平滑的研究现状图像平滑也称为图像去噪，是图像处理中的重要环节，它极大地影响着后继处理的结果。抑制或消除这些噪声而改善图像质量的过程称为图像的平滑。图像平滑的目的是为了消除噪声。图像噪声的来源有三：一为在光电、电磁转换过程中引入的人为噪声；二为大气层电（磁）暴、闪电、电压、浪涌等引起的强脉冲性冲激噪声的干扰；三为自然起伏性噪声，由物理量的不连续性或粒子性所引起，这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等。一个较好的去除噪声的方法应该是既能消除噪声又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊,即在抑制噪声的同时有效地保持空间分辨率。图像平滑作为图像处理的重要环节，平滑质量的好坏直接影响到后继处理和分析的结果。通过观察噪声图像、考察图像的噪声模型可以知道不必要的细节和一些不光滑的现象，图像平滑算法可以去除图像中原本没有的、由噪声所带来的细节。图像平滑的方法有很多，亦可以分为空间域或频率域，亦可以分为全局处理或局部处理，亦可以按线性平滑、非线性平滑和自适应平滑来区别。下面介绍几种简单的图像平滑的方法.1.2.1领域邻域平均法邻域邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。设一幅图像为的阵列，平滑处理后得到的图像为,由式（1.1）决定(1.1)式中的=0,1,2，,点邻域中心点的坐标的集合，但不包括点，内坐标点的总数。平滑化的图像的每个像素的灰度值由包含在的预定邻域中的的几个像素的灰度值的平均值所决定。以上方法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，邻域越大，模糊越厉害。为了减少这种效应，可以采用阈值法。当一些点和它的邻域内点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值时，就仍然保留其原灰度值不变，如果大于阈值时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。这样平滑后的图像会比邻域平均法模糊度减少。1.2.2低通滤波法这是一种频域处理法。在分析图像信号的频率特性时，对于一幅图像，它的边缘、跳跃部分以及噪声都代表图像的高频分量，而大面积的背景区和慢变部分则代表图像的低频分量，用频域低通滤波法除去其高频分量就能去掉噪声，从而使图像得到平滑。利用卷积定理，可以写成以下形式（1.2）其中是含噪图像的傅里叶变换，是平滑后图像的傅里叶变换，是传递函数。利用使的高频分量得到衰减，得到后再经过反变换就得到所希望的平滑图像了。线性滤波器线性滤波器图1-1低通滤波平滑图像的处理框图由于傅里叶变换的性质决定，这种平滑的方法在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。1.2.3多图像平均法如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对于每个坐标点是不相关的，并且其平均值为零，在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的。设为有噪声图像，为噪声，为原始图像，可用（1.3）式表示：（1.3）多图像平均法是把一系列有噪声的图像{}叠加起来，然后再取平均值以达到平滑的目的。当做平均处理的含噪声图像数目增加时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排列。1.2.4中值滤波法（1）对某些输入信号中值滤波的不变性对某些特定的输入信号，如在窗口内单调增加或减少的序列，中值滤波输出信号仍保持输入信号不变，即：或，则。3×3方形窗口中值滤波3×3方形窗口中值滤波3×3方形中值滤波(a)原始图像(b)中值滤波输出图1.1中值滤波不变性示例二维中值滤波的不变性如图1.1所示。它不但与输入信号有关，而且还与窗口形状有关。一般与窗口对顶角连线垂直的边缘线保持不变性。利用这个特点，可以使中值滤波既能去除图像中的噪声，又能保持图像中一些物体的边缘。对于一些周期性的数据序列，中值滤波对此序列保持不变性。例如，下列一维周期性的数序列若设窗口长度为9，则中值滤波对此序列保持不变性。对于二维周期序列不变性，如周期网状结构图案，分析起来就更复杂了，可以通过试验改变窗口形状和尺寸来获取。（2）中值滤波去噪声性能对于零均值正态分布的噪声输入，中值滤波输出的噪声方差近似为（1.4）式中：为输入噪声功率（方差），为中值滤波窗口长度（点数），为输入噪声均值，为输入噪声密度函数。而均值滤波的输出噪声方差为（1.5）比较两公式，可以看出，中值滤波的输出与输入噪声的密度分布有关。对随机噪声的抑制能力，中值滤波比均值滤波要差一些。但对脉冲干扰，特别是脉冲宽度小于m/2、相距较远的窄脉冲干扰，中值滤波的效果较好。（3）中值滤波的频谱特性设G为输入信号频谱，F为输出信号频谱，定义中值滤波的频率响应特性为（1.6）试验表明，中值滤波频谱特性起伏不大，其均值比较平坦。可以认为信号经中值滤波后，频谱基本不变。这一特点对设计和使用中值滤波器很有意义。1.2.5各向同性扩散方程传统的图像平滑算法如均值滤波、中值滤波和高斯滤波等,由于不考虑图像的形状特征,其平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程,属于各向同性扩散。如果图像中存在某种杂质，并且期浓度分布不均匀，这时，杂质将从浓度较高的区域向浓度较低区域迁移，这种迁移过程在物理学了称之为扩散；类似地，当介质中的温度分布不均匀时，将发生热量从温度较高的区域向温度较区域的迁移过程，称之为热传导。若以函数表示浓度随空间和时间的变化，那么空间分布的不均匀性用梯度来刻画，于是可以将杂质在宏观上的定向迁移，看成是由梯度产生的作用力-所推动的，这里负号表示作用力指向u值减小的方向。1.2.6各向异性扩散方程（1）P-M模型为了达到去噪同时保护边缘，可以采用扩散过程中的传导系数依赖于图像的局部特征。具体来说，在图像比较平坦的区域，传导系数能自动增大。这可使平坦区域中较小的起伏被平滑；而在图像的边缘附近，传导系数能自动减小，可使边缘几乎不受影响。Perona和Malik引入的各向异性扩散方程是这个领域最有影响的工作。他们提出用保边界的具有方向性的热扩散方程来代替高斯平滑滤波器。他们的研究开辟了图像处理中偏微分方程理论和应用的很多新领域。（2）Catte模型理想的扩散系数要使得式在图像均质区域内扩散程度大以利于噪声消除；在边缘区域内扩散程度小以利于保持边缘。Catte等人指出P-M方法是“病态”的，输入的微小变化会导致输出完全改变;Whitaker证明P-M方法处理所得的图像受“阶梯”效应干扰，视觉效果差。1.3本文的研究目标和主要内容图像在获取和传输过程中，往往受到噪声的干扰，而降噪的目的是尽可能保持原始信号主要特征的同时，除去信号中的噪声。目前的图像去噪方法可以将图像的高频成分滤除，虽然能够达到降低噪声的效果，但同时破坏了图像细节。边缘特性是图像最为有用的细节信息，本文对邻域平均法、中值滤波法、维纳滤波法及偏微分方程的各向异性扩散方程方法和各向同性方程方法的图像去噪算法进行了研究分析和讨论。本文共分为六部分，具体内容安排如下：前言，介绍所研究课题的研究背景、意义，国内外研究现状，以及课题的研究思路、研究内容。第二章，偏微分方程的基础知识，简单介绍了偏微分方程的概念和几种常见的偏微分方程，及偏微分方程在图像处理中的几个例子。第三章，简单地介绍了图像的基本知识，介绍了图像的概念、分类、图像的采集、图像的模型和常见的图像的格式。第四章，简单地介绍了数字图像处理的基本知识，介绍了数字图像处理的发展状况，说明了数字图像处理的流程以及图像增强算法和图像还原算法。第五章，研究了基于偏微分方程图像平滑的方法，简单的介绍了各向同性扩散方程和各向异性扩散方程方法，用实验验证了偏微分方程的图像平滑方法。第六部分给出了本文的研究结论，对比了传统的图像平滑方法和基于偏微分方程图像平滑方法。第2章偏微分方程基础知识2.1偏微分方程的导出与定解2.1.1偏微分方程的概念如果一个微分方程中待求解的未知函数只有一个自变量，那么这个方程是常微分方程；如果未知函数有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，那么，这样的微分方程就称为偏微分方程。偏微分方程概念的引入是科学家研究自然的一个必然结果，因为几乎所有的研究对象，包括天文学、物理学等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受到一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述并求解，需要指出的是，大多数的偏微分方程都与某个实际问题有密切的联系，或者就是从某个实际问题中导出的，在早期的研究过程中，这样的实际问题大多来源于物理学范畴，所以偏微分方程也经常被称为数学物理方程，因此偏微分方程从一开始就是一问应用性极强的数学分支。与常微分方程的研究过程有所不同的是，数学家们在试图建立偏微分方程研究的一般性理论时一再受挫，最终不得不放弃了这种企图，偏微分方程是十分复杂的研究对象吗，即使是线性的方程，也可以复杂到很难处理的程度；至于非线性方程，人们更加感到，目前大体上还只能分别针对各种具体问题，提出个别的解决办法。在这个过程中，随着偏微分方程研究的内容越来越多、越来越难，各种新方法不断涌现，不断丰富和发展了偏微分方程的研究内容，同时也促进了许多其它数学分支的发展。2.1.2几个典型的数学物理方程一个物理量往往是空间位置（）和时间的函数，例如，某个区域中温度的分布和变化，就可以用来表示，有了这个函数，就能知道这个区域内各点在各个时刻的温度，在物体内部不具有热源的情况下，它的温度分布应该满足（2.1）这里，是传热系数，是热容量。（2.1）被称为热传导方程，因为它表示了一种传热过程；其实一种化学物质在溶液中的浓度也同样满足（2.1），所以它有时也被称为扩散方程。当物体处于热稳定状态时，也就是说，此时它的温度处于不随时间变化而改变的状态，那么温度就满足方程（2.2）方程（2.2）称为拉普拉斯（Laplace）方程，或称为调和方程，它除了表示热的平衡外，也可以用来表示真空中静止的电磁场、经典的引力场、或流体的某种稳态流动等。类似地，当声波在空气中传播时，如果表示压强的小扰动，那么满足(其中)（2.3）这里是声音在空气中的传播速度，方程（2.3）不仅用来表示声波，也可以用来表示电磁波或其它的波动，一般称为波动方程。上述三种方程是物理学中最早出现的偏微分方程，18世纪以来，它们就被认为是最典型的数学物理方程。对这三种方程的求解，能够解释许多重要的物理现象，因此有广泛而重要的应用。2.1.3初边值问题对于波动方程，最典型的求解问题是初始值问题，或称为柯西问题，即：求波动方程（2.3）中的解，使其满足(2.4)上式称为初始条件，其中的和是已给的函数，他们分别表示在时刻=0时的波的形状和关于的变化率。我们先考虑一维的情形，此时（2.3）化为弦振动方程（2.5）相应的初始条件为作变换则方程（2.5）化为从而（2.5）的通解为(2.6)这里和是任意的两个具有连续二阶导数的函数，（2.6）的含义是，弦的横振动是由一个向右传的波和一个向左传的波叠加而成的，之所以被称为向右传的波，是因为当取不同值时，的波形总是一样的，但以速度向右推移；含义类似。代入初始条件，我们得到弦振动的达朗贝尔（dAlembert）公式：=（2.7）在高维的情形下，相应的求解过程要复杂的多，这时可以利用傅里叶（Fourier）变换求解，我们把记为x=()又记，定义（2.8）其中为向量内积，我们称为的傅里叶变换，当时具有连续偏导数的函数，且及其导数当时速降，则不仅有意义，而且(2.9)式（2.9）称为傅里叶逆变换，另外还有(i=1,2,3)(2.10)等公式，它表明求导运算经傅里叶变换后化为乘法运算.用傅里叶变换求解偏微分方程（以波动方程为例）初始值问题的基本思路是：第一步，对方程（2.3）的初始条件（2.4）作关于变量（）的傅里叶变换，并利用性质（2.10），从而得到含参数的关于t的常微分方程初始值问题：（2.11）（2.12）第二步，解常微分方程初值问题（2.11），（2.12），从而得出（2.13）其中.第三步，作的傅里叶逆变换，得出所求的解，这一运算过程比较复杂，最后结果是：（2.14）这就是解波动方程初始值问题的“泊松（Poison）公式”，式中是用向量表示的积分变量，是球面的面积元素，特别地，在最后的表达式中，积分是在沿以为中心，为半径的球面上进行的。上述用傅里叶变换求解偏微分方程的思想可归纳为下述图表：解傅里叶逆变换 解常微分方程初始条件傅里叶变换初始条件有时候我们考虑的偏微分方程求解问题与边界有关，比如我们来考虑有限物体的温度分布，设该物体占据三维空间的某个有界区域，他的边界有一定的光滑性，显然物体所处的环境肯定会对物体的温度分布产生影响，如果物体表面的温度是给定的，即（2.15）且当时的温度为（x为向量）（2.16）因此，我们要求的既要满足热传导方程（2.1），又要满足初始条件（2.16）和边界条件（2.15），求解这样的问题，称为偏微分方程的初边值问题.初边值问题可用分离变量法（即傅里叶变换法）求解，这是法国数学家傅里叶提出的，对数学及其各个领域的应用产生了重要的影响。2.2热传导方程初值问题的求解本节我们讲述如何利用傅里叶变换来求解这一类问题，为了方便用式子右上角叫ⅴ记号表示傅里叶的逆变换，于是 考虑以下初值问题（2.17）在上式两边关于变量作傅里叶变换，得到解之得，经傅里叶变换得到（2.18）其中（2.19）通常称（2.18）为泊松（Poisson）公式，称为热传导方程的基本解。定理2.1若且有界，，则由泊松公式（2.18）确定的函数是初值问题（2.17）的解有界。2.3二阶偏微分方程的分类与化简2.3.1二阶偏微分方程的分类前面介绍过三个典型的偏微分方程分别是：（波动方程）（2.20）（热传导方程）（2.21）（位势方程）（2.22）其中为Laplace算子，的函数，其中a是常数，（2.22）中当=0为调和方程，很显然，他们都是二阶线性偏微分方程。二阶偏微分方程的一般形式是（2.23）其中的函数，因此上面提到的这三个方程都是它的特例。以A表示矩阵，对于波动方程，取m=n+1,,则A=对于热传导方程，取，则A=对于位势方程，取m=n,则A=由线性代数的知识可知，如果A是一个常数矩阵，由于它是对称阵，因此，一定存在一个正交矩阵，使得的转置）是对角矩阵，此时对角线上的元素就是A的特征值。现在我们对一般的二阶方程（2.23）进行分类设定义1.1若个特征值全是正（或负）的，称方程(2.23)在点是椭圆型的；若的特征值除了有一个为0以外，其他m-1个全是正（或）负的，称方程（2.23）在点是抛物型的；方程（2.20）、（2.21）、（2.22）分别称为双曲型、抛物型和椭圆型方程的标准型。定理1.2如果方程（2.23）的二阶项系数是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型（双曲型，抛物型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程（2.23）的二阶项化为形如（（2.23）、（2.20）、（2.21））的标准形式。2.3.2二阶偏微分方程的化简现在，我们在m维空间的某个区域上考察方程（2.23）。定义1.2称维空间的一张曲面为方程（2.23）的特征曲面，如果对曲面S的每一点，有（2.24）定义1.3对于固定点，如果过该点的方向满足特征方程（2.25）则称为（2.23）在该点的特征方向。2.4与图像处理有关的偏微分方程的例子在本节中，我们列出几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程，并简单介绍它们在图像处理中的作用。1.这个方程所对应的滤波器具有锐化的作用，可以使模糊的图像，尤其是边缘部分变得比较明显，但这样也可能会制造出一些假的边缘。2.其中D是微分算子，这个方程与dilation算子或者erosion算子的迭代会产生一定的联系。3.这个方程被称为曲率流方程，它可以和中值滤波器的迭代产生的联系，同时，它本身也具有比较深刻的物理意义。4.这个方程导出了AMSS（affinemorphologicalscalespace）算子，它满足了平移不变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学不变灯多种不变性。第3章图像的基本知识本章主要介绍图像的一些基础知识，首先，从两个不同的侧面对图像进行分类：第一种把图像分为灰度图像和彩色图像；第二种分类导致静态图像和动态图像两个范畴。对不同的图像，我们分别介绍他们的数学模型，作为重点，我们将主要介绍静态灰度图像的连续和离散的数学模型。在广泛应用的计算机图像处理领域，我们通常所指的图像就是基于离散模型的数字图像。3.1图像介绍3.1.1图像概述简单来说，图像是自然界景物的客观反映，图像技术是人类认识世界和改造世界的重要工具，图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于人眼并进而产生视知觉的实体。具体来说，人的视觉系统就是一个观测系统，通过它得到的图像就是客观景物在人眼中形成的影像，图像信息不仅包含光通量分布，而且还包含人类视觉的主观感受，随着计算机技术的迅速发展，人们还可以人为地创造出色彩斑斓、千姿百态的各种图像。人类社会已经进入了信息时代，对信息的获取、加工、传输等构成了现代社会的基础性工作，科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有75%来自视觉系统，也就是从各种图像中获得的。这里图像的定义是比较广泛的，包括照片（photo）、图像（graphics）、视频（video）等等。今天计算机和网络技术得到了空前的发展，我们所面对的图像绝大多数是离散化的，并且以数字的形式存储在计算机中，它们被称为数字图像。在计算机中对数字图像的处理和操作被称为数字图像处理。现在普遍采用image（或者digitalimage）代表离散化了的数字图像，数字图像处理用imageprocessing(或者digitalimageprocessing)表示，伴随着计算机计算速度、大规模存储容量、网络和通信速度的飞速提高和显示系统的逐步成熟，数字图像处理已经发展成为一门重要的学科。虽然数字图像处理的基础建立在数学和概率统计表示的基础上，但人的直觉和分析在评价一种具体的图像处理技术的时候依然起着主题作用，这种评价常常是主观的视觉判定，在目前的许多情况中，由于图像处理技术还不很成熟，许多客观的图像评价标准有待完善，所以主观的视觉判定依然是图像处理中的一个重要组成部分。3.1.2图像分类在介绍图像的数学模型之前，我们先对图像作一个分类，针对不同的分类标准，可能产生不同的分类方法，这里只介绍按颜色类型和运动类型的图像分类。第一，按颜色类型分，图像可以分为灰度图像和彩色图像，也就是所谓的黑白照片和彩色照片，其主要区别是灰度图像仅仅使用了颜色的空间中比较特殊的一类颜色，但包含了丰富的亮度层次；而彩色图像则使用了颜色空间中的大量颜色，包含了亮度、颜色饱和度、颜色对比度等信息。第二，按运动类型分，图像被分为动态图像和静态图像，简单的说，静态图像就是照片，动态图像就是电影，也称视频图像、活动图像、或者运动图像，是静态图像在时间轴上的排列。综合起来，可以对图像作以下划分：表3.1基于颜色类型和活动类型的图像分类彩色灰度静态静态彩色图像静态灰度图像动态动态彩色图像动态灰度图像3.2静态灰度图像的数学模型在表3.1所列的图像分类中，静态灰度图像时最简单的一类图像，下面我们介绍灰度图像的数学模型，包括连续模型和离散模型，其中，建立图像的连续模型主要是因为理论研究的需要，本文的相关内容和偏微分方程有一定的联系，因而对图像模型有连续性或者可微的要求。本文中，我们可以把数字图像（图像的离散模型）看作是由图像的连续模型经离散化后得到的。3.2.1静态灰度图像的连续模型一般来说，一幅静态灰度图像是一个定义在矩形区域内的反映现实场景的灰度变化的组合，其中显示图像内容的那个区域被称为图像的支撑集(support)。如图3.1，假设图像的支撑集为，如图3.1（a）所示，图像的物理模型是定义在上的一个映射，即（3.1）其中值域是所有灰度的集合，如图3.1（b）所示，它包含了所有从最暗到最亮的灰度，一幅图像对应了一个具体的映射规则，例图图2.1（c）所示的图像就是依据一个具体的映射规则得到的，依据不同的映射规则会得到不同的图像。需要把物理模型转化为数学模型，这需要合适表示V，这样，式（3.1）中的就可以被认为是一个函数而加以研究，于是，需要建立一个V和之间所有实数的映射：图2.1（b）中，亮度最低的纯黑色对应0；亮度最高的纯白色对应1；其他的灰度根据亮度的不同而均匀地对应于之间的某个实数，这是个一一映射，借助以下关系：（3.2）建立图像的函数模型，即（3.3）这个模型即是灰度图像的连续模型。y0（0）1（255）x（a）图像支撑集（b）图像的值域V：灰度值（c）图像（d）随机图像图3.1图像的连续模型3.2.2灰度图像的离散模型我们知道计算机只能处接受和处理离散数据，一幅图像必须要在空间和灰度上都离散化才能被计算机处理，这种离散化了的图像就是数字图像，相应的过程为图像的数字化。其中空间坐标的离散化称为空间采样，而灰度的离散化称为灰度量化。空间采样就是把图像支撑集合离散化为一些按行和列整齐排列的小方块，它们被称为像素，在同一幅图像中，像素的大小是相等的。整个灰度离散集合记为，灰度V到G的映射：（3.4）离散图像的模型为（3.5）其中是离散的。3.3静态彩色图像的数学模型3.3.1静态灰度图像的连续模型关于颜色空间理论，涉及到计算机图形学、光学等多门学科的知识，简单的说，对于自然界中的任何一种颜色c，都可以分为三个颜色的分量，它们分别属于红色的色度空间，和绿色的色度空间和蓝色的色度空间。3.3.2彩色图像的数学模型静态彩色图像的数学模型和静态灰度图像的数学模型有非常类似的地方，记彩色图像的支撑集合为，那么彩色图像就是从到颜色空间的一个映射，类似于灰度图像的做法，分别作出从的一一映射后，可以得到彩色图像的连续模型而如果被空间采样，被量化为后，我们可以得到彩色图像的离散模型3.4动态图像的数学模型动态图像又视频图像，它是由一组图像在时间轴上的有序排列，是二维图像在一维时间轴上构成成的序列图像，如记时间轴坐标为t，那么动态灰度图像和动态彩色图像的数学模型分别为和映射和量化后的动态灰度图像的数学模型连续模型：模型离散：动态彩色图像的数学模型，离散模型：在连续模型和离散模型中，为正整数，实际背景是在传统电影模型中，是由一张一张的胶片组成，每一张胶片都是连续的，而在反映的时间轴上是离散的。在数字电影中，每一张胶片是离散的，被称为帧（frame）,目前在计算机中刷新速度为30帧/秒。3.5数字图像的采集当我们进行图像处理的时候，数字图像的数据就已经存储在计算机上了，仅需要对这些数据进行处理就可以达到我们的目的，那么计算机中的图像数据是从哪里的呢?通常的获取手段是照片的扫描和数码相机的拍摄。为采集数字图像，需要两种装置，一种是对某个电磁能量普波段敏感的物理器件，它能产生于所接受到的电磁能量成正比的电信号，另一种称为数字化器，它能将上述电信号转化为数字的形式，所有采集数字图像的设备都需要两种装置。以常见的X光透视成像仪为例，由X光源发出的射线穿越物体达到另一端对X光敏感的媒体，这个媒体能获得物体对X光不同吸收率的图像，它可以是胶片、一个带有将X光转化为光子的电视摄影仪。使用显微密度计时，需要将透明底片或照片放在一个平板上或卷在一个圆鼓上，当光线聚焦在图像上时，平移平板或转动圆鼓就可以完成扫描，如果是透明底片，光线穿过透明底片；如果是相片，光从表面反射，在这两种情况下，光束都聚焦在光子检测仪上，各个检测仪根据光强的记录下对应当前位置的图像灰度值，如果灰度值和位置坐标都去整数，就得到一幅数字图像，尽管显微密度计速度比较慢，但由于机械平移过程的连续本质，它的空间精度很高。视像管摄影机的工作原理基于光导性质，聚焦在视像管表面的图像能形成光学图像的灰度分布相对应的光导模式，用另一个独立的电子束扫描光导的另一面，由于中和作用，这个电子束在一个接受器上产生于输入光亮度模式对应的压差信号，如果量化这个信号并记录下对应的扫描束位置，就可以得到一幅数字图像。固态阵列是有称为感光基元（photosites）的离散硅成像元素构成，这样的感光基元素能产生与所接受的输入光强成正比的输出电压，固态阵列可按几何组织形式分为两种：线扫描器和平面扫描器，线性扫描传感器包括一行感光基元，它靠场景和检测器之间的相对的运动来获得2-D图像，平面扫描传感器由排成方阵的感光基元组成，可直接得到2-D图像，固态平面传感器阵列的而一个显著特点是它具有非常快的快门速度，所以能将许多运动瞬间冻结。固态阵列中的主要元件是电荷耦合器件CCD，图3.2给出一个线性扫描CCD传感器示意图，这个传感器由一行感光基元、两个定时的将感光基元中的内容传给传输寄存器的传输门和传输寄存器隔开，以及一个定时的将传输寄存器中的内容传给放大器的传输门构成，放大器传输的电压信号与感光基元行的内容成比例。电荷耦合平面阵列的工作原理与线阵相似，但感光基元排列成一个矩阵形式并由传输门和传输寄存器隔开，先将奇数列感光基元内容顺序送进放大器就得到1帧隔行的视频信号，对偶数列感光基元重复以上过程就可得到另1帧隔行的视频信号。现在常用的线扫描CCD一般有512到4096个像素或更多，而4096×4096个像素的平面扫描CCD也已在使用。利用图像处理和分析手段，还可以通过图像的拼接用较小的分辨率的CCD获得较大视场的图像，电视摄像机一般用CCD阵组成，要得到数字图像需把摄像机的视频输出送到一个数字化器中，这个工作常通过在计算机中插入专门的硬件捕获卡实现。传输（移位）寄存器传输（移位）寄存器输出信号放输出信号放大器输出门传输门（选送门）N感光基元321N感光基元321传输门（选送门）传输门（选送门） 传输（移位）寄存器传输（移位）寄存器图3.2线性扫描传感器3.6图像格式一、BMP格式BMP是英文Bitmap的简写，它是Windows操作系统中标准图像文件格式，能够被多种Windows应用程序所支持，随着Windows操作系统的流行与丰富的Windows应用程序的开发，BMP位图格式理所当然地被广泛应用，这种格式的特点是包含的图像信息比较丰富，几乎不进行压缩，但由此导致了它的缺点—占用磁盘空间过大。二、GIF格式GIF是英文GraphicsInterchangeFormat(图形交换格式)的缩写，因此这种格式是用来交换图片的，GIF格式的特点是压缩比较高，磁盘占用空间比较少，所以这种格式迅速发展，最初的GIF只是简单的存储单幅静止图像。考虑到网络传输中的实际情况，GIF图像格式还是增加了渐显方式，即在图像传输过程中，用户可以先看到图像的大致轮廓，然后随着传输过程的继续而逐步看清图像中的细节部分，从而适应了用户的“从朦胧到清晰”的观赏心理．GIF的图像的缺点，不能存储超过２５６色的图像，但这种格式仍在网上流行，这和GIF图像文件短小、下载速度快、可用许多具有同样大小的图像文件组成动画等优势是分不开的。三、JPEG格式JPEG也是常见的一种图像格式，它由联合图像专家组（jointphotographicexpertsgroup）开发并命名为“ISO10918-1”同时JPEG还是以种很灵活的格式，具有调节图像质量的功能，允许用不同的压缩比例对这种文件进行压缩。由于JPEG优异的品质和杰出的表现，它的应用也非常广泛，特别是在网络和光盘读物上，可能都能找到它的影子，目前各类浏览器均支持JPEG图像格式。四、JPEG2000格式JPEG2000格式同样是由JPEG组织负责制定的，它有一个正式名加做“ISO15444”JPEG2000作为JPEG的升级版，其压缩率比JPEG高约30%左右，与JPEG不同的是，JPEG2000同时支持有损和无损压缩，而JPEG只能支持有损压缩，无损压缩对保存一些重图片是十分有用的，JPEG2000的一个极其重要的特征在于它能实现渐进传输，让图像由朦胧到清晰显示，而不必是像现在的JPEG一样，由上到下慢慢显示。五、TIFF格式TIFF(tagimagefileformat)由Aldus和微软联合开发，最初是出于跨平台存储扫描图像的需要而设计的，它的特点是图像格式复杂、存贮信息多，图像的质量也相对较高，故而非常有利于原稿的复制。该格式有压缩和非压缩的两种格式，其中压缩可采用LZW无损压缩方案存储，不过，由于TIFF格式结构较为复杂，兼容性较差，因此有时软件可能不能正确识别TIFF文件，目前在Mac和PC机上移植TIFF文件也十分便捷，因而TIFF现在也是微机上使用最广泛的图像文件格式之一。六、PSD格式这是著名的Adobe公司的图像处理软件Photoshop的专用格式PhotoshopDocument（PSD），PSD其实是Photoshop进行平面设计的一张“草稿图”，它里面包含有各种图层、通道、遮罩等多种设计的样稿，以便于下次打开文件时可以修改上一次的设计。在Photoshop所支持的各种图像格式中，PSD的存取速度比其他的格式快的多，功能也强大的多，由于Photoshop越来越广泛地应用。七、PNG格式PNG（portablenetworkgraphics）是一种新兴的网络图像格式，PNG一开始便结合GIF及JPG两家之长，打算一举取代这两种格式。PNG是目前保证最不失真的格式，它汲取了GIF和JPG二者的优点，存贮形式丰富，兼有GIF和JPG的色彩模式；它的另一个特点是能把图像文件压缩到极限以利于网络传输，但又能保留所有与图像品质有关的信息，因为PNG是采用无损压缩方式来减小文件的大小，这一点与牺牲图像品质以换取高压缩率的JPG有所不同；它的的第三个特点是显示速度快，只需下载1/64的图像信息就可以显示出低分辨率的预览图像；第四，PNG同样支持透明图像的制作，透明图像在制作网页图像的时候很有用，我们可以把图像背景设为透明，用网页本身的颜色信息来代替设为透明的色彩，这样可让图像和网页背景很和谐地融合在一起。PNG的缺点是不支持动画应用效果，如果在这方面有所加强，简直就可以取代GIF和JPEG了，现在越来越多的软件开始支持这一格式，而且在网络上也越来越流行。八、SWF格式利用Flash我们可以制作出一种后缀名为SWF（shockwaveformat）的动画，这种格式的动画图像能够用比较小的体积来表现丰富的多媒体形式，在图像的传输方面，不必等到文件全部下载才能观看，而是可以边下载变看，因此特别适合网络传输，尤其是在传输速率不佳的情况下，也能取得较好的效果，SWF如今已被大量应用于web网页进行多媒体演示与交互性设计，此外，SWF动画基于矢量技术制作的，因此不管将画面放大多少倍，画面不会因此而有任何损害，目前已成为网上动画的事实标准。九、SVG格式SVG格式可以算是目前最火热的图像文件格式，英文全称ScalableVectorGraphics，意思为可缩放的矢量图像，它是基于XML。SVG格式提供了GIF和JPEG格式无法具备的优势，可以任意放大图像显示，但绝不会以牺牲图像质量为代价，可在SVG图像中保留可编辑和可搜索的状态。第4章数字图像处理的基本知识本章主要介绍数字图像处理的基本知识，主要对低层图像处理技术做了简单的概述，同过滤波实现图像增强和图像还原的处理方法，涉及到了滤波器、平滑滤波、统计排序滤波等；图像还原涉及了噪声模型、平滑去噪等。4.1数字图像处理的概述4.1.1数字图像处理技术的发展数字图像处理技术的历史可以追溯到20世纪20年代报纸业中采用的Bartlane电缆传输系统，当时把一幅图片的数据横跨大西洋传输需要一周时间，而Bartlane系统通过编码技术把时间减少到了3个小时。20世纪60年代，第3代计算机的研制成功以及傅里叶变换算法的发展和应用使得对图像的某些计算得以实现，人们逐步开始使用计算机进行图像处理，数字图像处理开始在医学图像、地球遥感和天文学领域等得到广泛的应用。20世纪70年代，数字图像处理技术有了较大的发展，第一部图像处理书籍DigitalPictureProcessing也出版，此时间发明的计算机轴向断层技术是图像处理在医学领域得到了重要的发展。20世纪80年代，各种硬件的发展使得人们不仅可以对静态图像处理，而且还可以对动态图像的处理，在地球物理领域，图像处理技术被用来从航空和卫星传送回来的图像中研究污染模型；在考古领域，使用图像处理技术以成功复原了模糊图片；物理学领域，图像处理技术也用于增强高能等离子和电子显微镜等产生的实验图像，此外在天文学、生物学、国防等领域也得到广泛的应用。20世纪90年代，数字图像处理技术已经渗透了人类生活和社会发展的各个领域，如多媒体技术、虚拟实现技术等。4.1.2数字图像处理技术的流程图像处理技术的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法等不同分为三个层次（见图4.1）：图像处理、图像分析和图像理解。其中图像处理又被称为低层图像处理。图像理解高小图像理解 高层 符号图像分析抽 操数图像分析象语中层 目标作据图像处理程义对量图像处理度低层 像素象低大图4.1图像处理技术三层次示意图4.1.3低层图像处理一般来讲，低层图像处理输入是原始采集的图像，输出的是经过处理后改善了某些质量或者更适合于某些特定应用的图像。低层图像处理有两个主要内容：图像增强和图像复原。图像增强将原来不清晰的图像变得清晰或强调某些关注的特征，抑制非关注的特征，使之改善图像质量、丰富信息量，加强图像判读和识别效果的图像处理方法增强图象中的有用信息，它可以是一个失真的过程，其目的是要改善图像的视觉效果，针对给定图像的应用场合，有目的地强调图像的整体或局部特性，将原来不清晰的图像变得清晰或强调某些感兴趣的特征，扩大图像中不同物体特征之间的差别，抑制不感兴趣的特征，使之改善图像质量、丰富信息量，加强图像判读和识别效果，满足某些特殊分析的需要。图像增强可分成两大类：频率域法和空间域法。前者把图像看成一种二维信号，对其进行基于二维傅里叶变换的信号增强。采用低通滤波（即只让低频信号通过）法，可去掉图中的噪声；采用高通滤波法，则可增强边缘等高频信号，使模糊的图片变得清晰。具有代表性的空间域算法有局部求平均值法和中值滤波（取局部邻域中的中间像素值）法等，它们可用于去除或减弱噪声。图像增强的方法是通过一定手段对原图像附加一些信息或变换数据，有选择地突出图像中感兴趣的特征或者抑制(掩盖)图像中某些不需要的特征，使图像与视觉响应特性相匹配。在图像增强过程中，不分析图像降质的原因，处理后的图像不一定逼近原始图像。图像增强技术根据增强处理过程所在的空间不同，可分为基于空域的算法和基于频域的算法两大类。基于空域的算法处理时直接对图像灰度级做运算基于频域的算法是在图像的某种变换域内对图像的变换系数值进行某种修正，是一种间接增强的算法。二、图像复原对遥感图像资料进行大气影响的校正、几何校正以及对由于设备原因造成的扫描线漏失、错位等的改正，将降质图像重建成接近于或完全无退化的理想图像的过程。4.2滤波和滤波器在上一节里已经提到了低层图像处理的两个主要分支，即图像增强和图像还原，而对它们的处理过程称为滤波。图像滤波的方法分为两大类：空间域方法和频域方法，空间域指图像平面本身，这类方法直接对图像的像素值进行处理；频域处理技术是以图像的傅里叶变换为基础。在离散模型下，定义一个像素邻域的主要方法是利用中心在点的正方形子图像，在图像处理时，子图像的中心从一个像素移动到另一个像素。为了保证滤波器的对称性，取滤波器的大小为，滤波器系数的表示是记中心像素的系数值为，其他系数依据其位置分别记为如果（4.1）那么，称滤波系数满足归一化条件。图像对于滤波器的响应是逐点定义的，在()点处的响应是（4.2）随着滤波器在图像中的移动，当它遍历整个图像支撑集时，就实现了对整幅图像的操作，称为滤波。4.3图像增强算法图像增强的空间滤波算法分为平滑空间滤波和锐化空间滤波，经常用到的平滑空间滤波有平滑线性滤波和统计排序滤波，而锐化空间滤波器则由基于二阶微分的图像增强算法、反锐化俺蔽、梯形法等组成。4.3.1平滑空间滤波1.平滑线性滤波器平滑线性滤波器的响应是对包含在滤波器中的像素作一个简单的平均，因此也称均值滤波，它用滤波器范围内的像素平均灰度去代替像素的值，这种处理减少了图像灰度的“尖锐”变化。2.统计排序滤波器统计排序滤波器是以种非线性的空间滤波器，它的响应主要基于图像滤波器包围的图像区域中的像素的排序，统计排序滤波器中最有名的是中值滤波器，即它是将像素邻域内灰度值的中值代替该像素的值。4.3.2锐化空间滤波锐化的主要目的是为了突出了图像中的细节或增强被模糊的细节，这种模糊的产生不是因为操作错误，而是特殊的图像获取过程中的固有影响，图像锐化应用非常广泛，从电子映像和医学成像到工业检测和国防系统中等。锐化可以通过微分来实现，两种比较经典的锐化算法：基于二阶微分的图像增强和反锐化俺蔽。（1）基于二阶微分的图像增强各向同性二阶微分算子是Laplace算子，一个图像的Laplace变换定义在离散格式下，用差微分代替微分，因此关于的一阶微分是（4.3）关于的二阶微分是相应的，关于的二阶微分是所以（2）反锐化俺蔽锐化处理是将图像的模糊形式从原始图像中除去，这种处理被称为图像的反锐化俺蔽，可表示为4.4图像还原算法图像还原算法通常是用来处理受到噪声干扰的图像。数字图像的噪声主要来源于图像的获取过程和传输过程之中，图像传感器的工作原理受到各种因素的影响，如图像获取过程中环境条件和传感器自身质量，如果使用CCD摄像机获取图像，光照程度和传感器温度是生成图像中产生大量噪音的主要因素。图像在传输过程中主要由于所用的传输信道的干扰而受到干扰，对于灰度图像，数字化过程中，主要产生一下两种噪音：（1）由于传感器的灵敏度不同而产生的条纹状干扰；（2）器件的热噪声以及各种随机干扰源引起的图像中杂乱分布的黑点与白点。4.4.1噪声模型空间噪声描述符号噪声分量灰度值的统计特性，所以空间噪声可以被认为是由概率密度函数表述随机变量，常见有高斯模型、瑞丽模型、伽马模型、指数模型、脉冲模型（椒盐模型）等。（1）高斯噪声由于高斯噪声在空间和频率上比较容易用数学方法处理，因此这种噪声模型经常得到应用，高斯随机变量的概率密度函数为其中z表示灰度值，表示z的数学期望，表示方差，如果噪声的灰度值z满足上式中的高斯分布，根据概率论结论，有95%的灰度值在之间，说明绝大多数位置上的噪声灰度值不大。在高斯噪声中，是一个非常重要的参数，越大，说明图像被噪声干扰的程度就越大。（2）椒盐噪声椒盐模型的概率分布：若b>a，则灰度值b在图像中将显示为一个亮点；反之，a的值将显示为一个暗点。若为0，则称单极脉冲，若近乎相等，则脉冲噪声将类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒。一般来说，脉冲干扰的强度比图像信号的强度大，因此在一幅图像中，脉冲噪声总是数字化为最大值，这样通常设为a和b为饱和度值。由于这一结果，负脉冲以一个黑点出现在图像中，正脉冲以白点出现在图像中，对于离散模型，这就意味着a=0，b=去噪算法去噪是图像处理领域中最成熟的分支之一，目前已有许多去噪的方法，通过观察噪声图像、考察图像的噪声模型，平滑算法去除了图像中的细节，所以在图像增强中所阐述的平滑滤波方法完全适用于去噪算法。在图像去噪的研究领域中，通常交叉使用去噪、滤波、光滑、平滑这四个术语。（1）算术均值滤波算术均值滤波器就是计算被干扰图像在的一个邻域的平均值作为滤波的结果，设B是一个包含原点的区域，则滤波可由下列公式：相应的离散模型是在这种情况下，认为是一个滤波器的作用结果，滤波的模板大小为B，系数是（2）加权均值滤波器如果对算术均值滤波器作一个改进，使用系数不同的滤波器，这样，从权值上看，一些像素比另外一些像素更重要，处于滤波器中央的值比其他像素的系数值大，而离模板中心比较远的图像对结果的影响比较小，相应的权值也比较小，相应的公式为连续模型:离散模型：（3）中值滤波器最著名的顺序统计滤波器是中值滤波器，用该像素的想邻的像素的灰度中间值来代替该像素的值，中值滤波的结果来自于原图像中的某个像素的原始值，中值滤波器的应用非常普遍，对很多随机噪声有很好的去噪效果，且在相同尺寸下比线性平滑滤波器引起的模糊比均值滤波器少，尤其对椒盐噪声的抑制比较明显。第5章基于偏微分方程的图像平滑在过去的十年中，偏微分方程已经成为计算机视觉和图像分析领域到的重要方法，广泛应用于图像去噪等领域，主要原因是：变分偏微分方程可以直接处理图像视觉上的重要的几何特征；变分偏微分方程可以有效的模拟具有视觉意义的动态过程，如各向同性扩散、各向异性扩散以及信息的传输机制；变分偏微分方程可以采取成熟的数值计算方法，也可以采取智能优化算法，如模拟退火、遗传算法和计算流体动力学中的“激波捕获”算法等；变分偏微分方程方法能获得较好的图像质量，并具有一定的稳定性。5.1偏微分方程的概述偏微分方程概念的引入是科学家研究自然的一个必然结果，因为几乎所有的研究对象，包括天文学、物理学等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受到一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述并求解。大多数的偏微分方程都与某个实际问题有密切的联系，或者就是从某个实际问题中导出的。偏微分方程是十分复杂的研究对象，即使是线性的方程，也可以复杂到很难处理的程度，至于非线性方程，人们更加感到，目前大体上还只能分别针对各种具体问题，提出个别的解决办法。在这个过程中，随着偏微分方程研究的内容越来越多、越来越难，各种新方法不断涌现，不断丰富和发展了偏微分方程的研究内容，同时也促进了许多其它数学分支的发展。5.2基于偏微分方程的图像平滑处理人们对偏微分方程的研究已经有近300年的历史。早期的偏微分方程问题产生于力学、几何、物理等理论学科和实际工程中。近年来，在生命科学、经济学中也出现了大量的偏微分方程问题。正是这些偏微分方程的出现，使得图像处理产生了不同的意义。基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支。在过去的几年中,基于偏微分方程的图像处理技术在图像分析中成为一个引起众多研究者感兴趣的课题。它能够良好地兼顾噪声消除和特征保护,在图像分割、序列图像恢复方面都可以取得较好的效果。在图像分析中引入偏微分方程有很多优点。可将图像模型在一个连续域中分析,与网格无关,且具各向同性,可以很自然地合并算法。在图像处理中运用偏微分方程的思想最早可追溯到Gabor和更近一些的Jain。Koenderink独立研究工作使本领域有了突出进步。他们引入了尺度空间的概念,在多尺度同时表达图像。他们通过高斯滤波获得多尺度图像表达,这等价于以经典的热传导方程对原始图像各向同性变形。以Perona和Malik在系数各向异性分布方面的研究在本领域最有影响。他们提出以系数方向性分布取代高斯(Gaussian)平滑(相当于各向同性分布),保留边缘信息。他们揭开了一系列偏微分图像处理领域理论和实际上的问题。经过众多研究者广泛深入研究,偏微分方程理论框架应用到了图像处理和计算机视觉许多方面与许多问题的解决中。基于偏微分方程（PDE）的图像处理方法已经在图像处理领域得到了广泛应用。使用偏微分方程方法,由对数值分析广泛研究,增加了获得高精度和稳定性的可能。偏微分方程方法与通常的图像处理算法相比，虽然计算量较大，耗时较长，但由于其灵活的拓扑学结构、广阔的应用领域逐渐受到人们的重视，包括数学形态学、不变形状分析、分割问题、图像增强、图像去噪等。5.2.1各向同性扩散方程传统的图像平滑算法如均值滤波、中值滤波和高斯滤波等,由于不考虑图像的形状特征,其平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程,属于各向同性扩散。如果图像中存在某种杂质，并且期浓度分布不均匀，这时，杂质将从浓度较高的区域向浓度较低区域迁移，这种迁移过程在物理学了称之为扩散；类似地，当介质中的温度分布不均匀时，将发生热量从温度较高的区域向温度较区域的迁移过程，称之为热传导。若以函数u(x,y,z,t)表示浓度随空间和时间的变化，那么空间分布的不均匀性用梯度来刻画，于是可以将杂质在宏观上的定向迁移，看成是由梯度产生的作用力-所推动的，这里负号表示作用力指向u值减小的方向。如果介质是各向同性的，那么，在这一作用力下的推动下，将产生流密度，即单位时间通过与梯度矢量垂直的单位面积的杂质（5.1）式中a为一标题，称为传输系数。在最简单的情况下，a是一个常数，但a也可以是依赖于空间位置的标题函数，即a(x,y,z)；更复杂的情况是，传导系数还依赖于u本身，即a(x,y,z,u)。在另外一类介质中，流密度的方向并不与梯度的方向一致，例如，晶体中的杂质扩散就可能出现这种情况。这种介质称为各向异性介质。为避免对图像特征的损害,又能取得良好效果,平滑处理应该自适应调整权值,基于各向同性平滑方法各方向的梯度权值相同,不能很好地保留边缘信息。高斯平滑过程可用各向同性分布偏微分方程(即热传导方程)表示如下:（5.2）式中表示演化中的图像，为初始图像。式(5.2)可通过fourier变换方法得到它的解为（5.3）式中（5.4）（5.4）表示中心在坐标原点的二维Gaussian函数，其x和y方向上的等效宽度均为。由此可见，令图像进行线性扩散，等价于传统图像处理中对图像采用Gaussian滤波器进行滤波。对线性扩散方程生成尺度空间的性质，数学上已进行了充分研究，其主要结论可归纳如下：Gaussian函数是唯一能满足对称性、归一化并且不增加局部极大值的卷积核。对于图像对比变换和Euclidean变换而言，线性方程的解具有不变性。满足极值原理，即式中是图像的定义域。线性扩散方程的稳态解为式中，常数等于的平均灰度，随着尺度参数（扩散时间）的增大，图像变得越来越模糊，最后以图像灰度值为常数（平均值）而告终。Gaussian滤波在平滑噪声的同时，使图像边缘越来越模糊。图像的边缘模糊化在图像处理中往往是不能接受的，因为边缘被认为是图像的最重要的特征，并且人的视觉对边缘也非常敏感。5.2.2各向异性扩散方程（1）P-M模型为了达到去噪同时保护边缘，可以采用扩散过程中的传导系数依赖于图像的局部特征。具体来说，在图像比较平坦的区域，传导系数能自动增大。这可使平坦区域中较小的起伏被平滑；而在图像的边缘附近，传导系数能自动减小，可使边缘几乎不受影响。Perona和Malik引入的各向异性扩散方程是这个领域最有影响的工作。他们提出用保边界的具有方向性的热扩散方程来代替高斯平滑滤波器。他们的研究开辟了图像处理中偏微分方程理论和应用的很多新领域。Perona和Malik提出的各向异性平滑过程可以表达为：（5.5） 为原始灰度图像，其中div是散度算子,是图像的梯度,c是扩散系数,k是梯度门限。通常采用分析Perona-Malik方程的扩散系数可知，只有梯度幅值大于参数K的像素才作为边缘信息被保留；而梯度幅值较小的低对比度边缘将被滤除。因此，K的取值直接影响到各向异性扩散方法对图像的平滑去噪和细节保持能力。参数K为常数时实验结果不佳，原因在于：在对噪声图像平滑的异性扩散过程中，随着图像平滑程度的增加，相应的梯度不断下降，因此参数K递减才能有效地保持边缘。虽然各向异性扩散方法得到了广泛应用，但它仍然存在一些缺陷，比如平滑时有