2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第3讲第3课时导数与函数的零点课件

第三讲导数的综合应用第三课时导数与函数的零点考点突破·互动探究判断、证明或讨论零点的个数(2023·山东日照三模)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax＋alnx(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a<e时，讨论f(x)的零点个数．[解析]

(1)当a＝－1时，f(x)＝(x－2)ex＋x－lnx，所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，即f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意，函数f(x)＝(x－2)ex－ax＋alnx＝(x－2)ex－a(x－lnx)，x>0，设m(x)＝x－lnx，x>0，当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，又由m(1)＝1，所以m(x)≥1，令f(x)＝0，可得(x－2)ex－ax＋alnx＝0，可得0<x<2时，h′(x)<0，h(x)单调递减；x>2时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(2)＝2－ln2>0，即x>0时，h(x)>0恒成立，故0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.又由x→0时，g(x)→0，x→＋∞时，g(x)→＋∞，因此，当0≤a<e时，f(x)有一个零点，当－e<a<0时，f(x)有两个零点，当a＝－e时，f(x)有一个零点，当a<－e时，f(x)没有零点．名师点拨：利用导数研究方程根(函数零点)的技巧1．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．2．根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．3．利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．【变式训练】(2024·赣州适应性考试)已知函数f(x)＝ex－m－xlnx，f(x)的导函数为f′(x)．(1)当m＝1时，证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)若g(x)＝f′(x)－m＋1，讨论函数g(x)零点的个数．[解析]

(1)证明：当m＝1时，f(x)＝ex－1－xlnx(x>0)，∴f′(x)＝ex－1－lnx－1，令h(x)＝f′(x)＝ex－1－lnx－1，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝0，∴当x>0时，h(x)＝f′(x)＝ex－1－lnx－1≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)由题意得，f′(x)＝ex－m－lnx－1，则g(x)＝f′(x)－m＋1＝ex－m－lnx－m(x>0)，令g(x)＝ex－m－lnx－m＝0，则ex－m＝lnx＋m，∴ex＝em(lnx＋m)，∴xex＝xem(lnx＋m)，∴xex＝em＋lnx(lnx＋m)，令φ(x)＝xex，则φ(x)＝φ(m＋lnx)，∵当x>0时，φ′(x)＝(x＋1)ex>0，∴当x>0时，φ(x)＝xex为单调递增函数，∴x＝m＋lnx，∴m＝x－lnx(x>0)，当0<x<1时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x>1时，t′(x)>0，t(x)单调递增，∴t(x)min＝t(1)＝1，∴当m<1时，m＝x－lnx无解，即g(x)无零点；当m＝1时，m＝x－lnx有1个解，即g(x)有1个零点；当m>1时，m＝x－lnx有2个解，即g(x)有2个零点.根据零点个数求参数范围(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．[解析]

利用导数求函数的最值＋利用导数研究函数的零点(理性思维、数学探索)若x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增；若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－1.若x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零点；名师点拨：利用函数零点求参数范围的方法1．利用零点的个数结合函数f(x)的单调性构建不等式求解．2．转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．3．分离参数(k＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝k与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．【变式训练】设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；[解析]

(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，与零点有关的综合问题(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.[解析]

(1)f′(x)＝3x2＋b.x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况为：【变式训练】已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．[证明]

(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(e)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.名师讲坛·素养提升极值点偏移问题处理方法图说极值点偏移方法(一)对称变换对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题，其解题要点如下：(1)定极值点，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(3)判断单凋性，即利用导数讨论h(x)的单调性．(4)比较大小，即判断函数h(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．[探究]

本题证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解．考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养．在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定．方法(二)消参减元消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元．其解题要点如下：建方程求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键式子，即导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)定关系根据极值点所满足的方程，利用方程解的理论，建立极值点与方程系数之间的关系，确定两个极值点之积消参减元根据两个极值点之积的关系，化简或转化所求解问题，进行消参减元构造函数根据消参减元后的式子结构特征，构建相应的函数求解问题利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而解决相关问题(2024·安徽六安一中模拟)已知函数f(x)＝xlnx－ax2＋x(a∈R)．(1)证明：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点；[探究]

本题第(2)问要证明的方程f(x)＝0的根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等式的等价变形，再利用函数的单调性转化为对应函数值之间的大小关系．显然构造函数的关键仍然是消掉参数．方法(三)比(差)值换元比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的，设法用比值或差值(