山西省长治市上党好教育联盟2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省长治市上党好教育联盟2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，则．故选：A．2.当时，的最小值为（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2．故选：C．3.函数的图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由函数，令，解得，令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.故选：B．4.若为奇函数，则的值为（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由函数为奇函数，可得，可得，解得，经检验，当时，，满足，符合题意，所以.故选：D.5.“”是“函数的定义域为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由于函数的定义域为，则在上恒成立，故满足，解得，由成立得一定成立，反之成立时，不一定成立，所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.故选：B.6.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，即，解方程得或（舍）.因为，所以，，所以.故选：D.7.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，；，当时，，；此时，当时，，，，故，则的值域为．故选：A．8.已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，当时，有，而函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，因此，可得．故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.B.第一象限角都是锐角C.在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为D.终边在直线上的角的集合是〖答案〗AC〖解析〗，A正确；角也是第一象限角，不是锐角，B错误；在半径为圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确；终边在上的角的集合是，D错误．故选：AC.10.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由知，，则，A正确；取满足，此时，，BD错误；由，得，C正确.故选：AC.11.已知，则下列说法正确是（）A. B.C.若，则 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗由题意得，A错误，B正确；当时，，C正确；若，则，D正确．故选：BCD．12.已知正实数满足，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗由题目可知，，当且仅当时，等号成立，故A正确；，当且仅当时，等号成立，故B错误；因为，则，当且仅当时，等号成立，故C正确；当时，，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为________________.〖答案〗〖解析〗令，则或，解得或，所以函数的定义域为.故〖答案〗为：.14.已知函数，则不等式的解集为_____________．〖答案〗〖解析〗在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则由得，解得，即不等式的解集为．故〖答案〗为：.15.已知函数的最大值为2，则_____________．〖答案〗6〖解析〗因为函数由与复合而成，而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．故〖答案〗为：.16.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则_____________．〖答案〗〖解析〗由函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，又由是偶函数，则有，解得，因为，可得．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知命题．（1）写出命题的否定；（2）判断命题的真假，并说明理由．解：（1）由命题，可得命题的否定为.（2）命题为假命题，理由如下：因为，当时，，故命题为假命题．18.已知．（1）若为锐角，求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，因为锐角，，所以，可得.（2）由得，则．19.已知，.（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值.解：（1）当时，，即，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.（2）当时，，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5.20.某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0.（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的〖解析〗式；（2）该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？解：（1）函数模型在上都是增函数，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢，因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢，所以第二个函数模型满足要求，由题意知，解得，所以.（2）由题意，解得，所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍.21已知函数满足.（1）求实数的值；（2）求函数的值域.解：（1），由题意有，化简得，解得（舍去）或，故.（2）由（1）可知，所以，令（当且仅当时取等号），所以所求函数为，由函数在上单调递增，所以，即函数的值域为.22.函数的部分图象如图所示，该