山东省淄博市2024届高三下学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省淄博市2024届高三下学期一模考试数学试题一、单项选择题1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，即，则其焦点坐标为，故选：A.2.某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A2 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为.又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长.所以圆锥的侧面积为，解得.故选：C.3.记为等差数列的前项和，若，则（）A.20 B.16 C.14 D.12〖答案〗D〖解析〗∵是等差数列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故选：D．4.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数的最小正周期B.函数的图象关于点中心对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增〖答案〗D〖解析〗对于A，函数的最小正周期，A错误；对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误；对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误；对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此函数在区间上单调递增，D正确.故选：D5.小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（）A.24 B.16 C.12 D.10〖答案〗B〖解析〗若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828；828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878；878212，共4种；则总共有16种，故选：B.6.在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于x轴对称，向量若满足的点A的轨迹为E，则（）A.E是一条垂直于x轴的直线 B.E是一个半径为1的圆C.E是两条平行直线 D.E是椭圆〖答案〗B〖解析〗设，由题有，，所以，，所以，即，所以点的集合是以为圆心，1为半径的圆.其轨迹为半径为1的圆，故选：B．7.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，，得，则，即，整理得，且，那么，则.故选：C.8.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得：，，设，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则，则在中，由余弦定理得，，化简得，即，则，当且仅当，即时等号成立，故选：A.二、多项选择题9.下列命题为真命题的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为17B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C.用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2〖答案〗BCD〖解析〗对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；对B：，则其第80百分位数是，故B正确；对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.故选：BCD.10.已知非零复数，，其共轭复数分别为则下列选项正确的是（）A.B.C.若，则的最小值为2D.〖答案〗BD〖解析〗设，对A，，，当至少一个为0时，，当均不等于0，，故A错误；对B，，则，而，故，故B正确；对C，若，即，即，即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆，的几何意义表示为点到点的距离，显然，则点在圆外，则圆心到定点的距离，则点与圆上点距离的最小值为，故C错误；对D，，，，而，故，故D正确；故选：BD.11.把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，P为线段上的动点，E为线段上的动点，MN为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（）A.当平面时，为的中点B.三棱锥外接球的表面积为C.若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为D.三棱锥体积的最大值为8〖答案〗ACD〖解析〗由题设，长轴长，短轴长，则，得分别是中点，而柱体中为矩形，连接，由，，∴四边形为平行四边形，，当平面时，平面，平面平面，则，有，中，是中点，则为的中点，A选项正确；，，，则中，，，外接圆半径为，，则平面，三棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为，B选项错误；点Q是下底面椭圆上动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，令，则，又，则，，，，由椭圆性质知，则当或时，的最大值为，C选项正确；由，要使三棱锥体积最大，只需的面积和到平面距离之和都最大，，令，且，则，，当时，有最大值，在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，且，则椭圆方程为，设，联立椭圆得，，，，令，，由对勾函数性质可知在上递增，，综上，三棱锥体积的最大值为，D选项正确.故选：ACD.三、填空题12.已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q=__________.〖答案〗2〖解析〗依题意，，即，而，所以.故〖答案〗为：213.已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是R，`满足，则_______.〖答案〗〖解析〗对两边同时求导得，即，则，，则.故〖答案〗为：.14.设方程，的根分别为p,q,函数，令则a，b，c的大小关系为___________.〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，依题意，直线与函数图象交点的横坐标分别为，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，因此直线与函数图象的交点关于直线对称，即点在直线上，则，，于是，，而，所以，即.故〖答案〗为：四、解答题15.如图，在△ABC中，的角平分线交BC于P点，.（1）若，求△ABC的面积;（2）若，求BP的长.解：（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，在中由余弦定理得，即①因，即，整理得②①②解得，所以.（2）因为，所以中由余弦定理可得，所以解得，由正弦定理得，即，解得，所以，中由正弦定理得，则，解得，所以.16.如图,多面体ABCDEF是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成,正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为.（1）在棱DE上找一点G，使得面面AFG，并给出证明;（2）当时，求点F到面ADE的距离;（3）若，求直线DF与面ABC所成角的正弦值.解：（1）当点为中点时，面面，证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以.在正方形中，，所以，在正方形中，，因为，所以，因为面，所以面，因为面，所以面面.（2）连接，交于点，连接，，则，又因为四棱锥是正四棱锥，所以面，所以四边形为矩形，，又，面，面，又，设点到面的距离为，即，，所以，点到面的距离为.（3）因为四棱锥是正四棱锥，所以，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则有取，则，故，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数（1）讨论函数在区间上的单调性;（2）证明函数在区间上有且仅有两个零点.（1）解：函数，当时，，所以在上的单调递增.（2）证明：由（1）知，，当时，，函数在上单调递增，，，因此函数在上有唯一零点；当时，令，求导得，在上单调递增，，则存在，使得，当时，，函数，即单调递减，当时，，函数，即单调递增，又，，则存在，使得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，而，，因此函数上有唯一零点，所以函数在区间上有且仅有两个零点.18.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率.参考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，由题得列联表如下：青年中年合计体育锻炼频率低12595220体育锻炼频率高75105180合计200200400，根据小概率值的独立性检验推断不成立，即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，所以，，，所以的分布列：：012所以的数学期望为.（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，星期天选择跑步为事件，则，，所以，所以小明星期天选择跑步的概率为.19.在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆相切，记点P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程;（2）设点，直线AM，AN分别与曲线C交于点S，T(S，T异于A)，过点A作，垂足为H