江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设为实数，若向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗因为，所以存在实数，使得，又，，所以，解得，所以的值为.故选：B．2.已知复数，则下列结论正确的是（）A.的虚部为i B.C.的共轭复数 D.为纯虚数〖答案〗D〖解析〗∵，∴z的虚部为1，为纯虚数，，∴正确的结论是D．故选：D．3.在中，若，，，则（）A.或 B. C. D.或〖答案〗B〖解析〗在中，由正弦定理得，所以，又因为且，，所以.故选：B.4.已知中，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗中，，所以.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗依题意，均为锐角，由得，由得，所以，而，所以.故选：A.6.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗易得为增函数，且，，故函数的零点所在的区间是.故选：B．7.在中，，，则的大小为（）A.或 B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗由，，等式两边平方相加得：，即，故，故或，由，得，得，故，则，故.故选：C.8.在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图：由，则①，又②，由①+②可得，即，故，设与夹角为，则，解得.故选：C．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知向量，，且，则（）A. B.C.向量与向量的夹角是 D.向量在向量上的投影向量坐标是〖答案〗ACD〖解析〗因为向量，，所以，由得，解得，所以，故A正确；又，所以，故B错误；设向量与向量的夹角为，因为，，所以，又，所以，即向量与向量的夹角是，故C正确；向量在向量上的投影向量坐标是，故D正确.故选：ACD.10.下列结论中正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若复数满足，则的最大值为3D.若（，），则〖答案〗BC〖解析〗对于A：令，所以由复数模长公式有，但这与或矛盾，故A选项不符合题意；对于B：令，所以，所以，且，所以，故B选项符合题意；对于C：令，若复数满足，则有（其中），所以，所以，所以，即当且仅当即当且仅当时，有最大值为3，故C选项符合题意；对于D：令可知，但这与矛盾，故D选项不符合题意.故选：BC．11.下列各式的值为的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对A，因为，故，故，故A正确；对B，，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D错误.故选：AC．12.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（）A.外接圆的半径为B.若的平分线与交于，则的长为C.若为的中点，则的长为D.若为的外心，则〖答案〗BD〖解析〗根据题意由，利用正弦定理可得，不妨设，利用余弦定理可得，又，可得；又面积为，解得，所以，对于选项A，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以，即A错误；对于B，分别作垂直于，垂足为，如下图所示：易知的面积为，可得，即B正确；对于C，若为的中点，易知，如下图所示：所以可得，可得，即C错误；对于D，延长交外接圆于点，连接；如下图所示：易知即为直径，所以可知，；利用投影向量的几何意义可得，即可得D正确.故选：BD．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.在中，若，，则的值为______．〖答案〗〖解析〗设外接圆半径为，则由正弦定理可得：.故〖答案〗为：.14.若，则的值为______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，解得.故〖答案〗为：.15.已知四边形中，，，是的中点，，，则的长为______.〖答案〗〖解析〗设，在中，，所以，所以，同理在中，，则，在中，，即，解得.故〖答案〗为：16.函数的零点个数为______．〖答案〗6〖解析〗由，令，作出函数的草图如下：当时，由可得，当时，由得，易知在之间两函数有6个交点，故零点个数为6.故〖答案〗为：6.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知复数满足，的虚部为2，所对应的点在第三象限，求：（1）复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．解：（1）设（，），所以，①因为，又的虚部为2，所以，②由①②解得或，所以或，又所对应的点在第三象限，所以．（2），因为复数在复平面上对应的点在第二象限，所以，解得，故实数的取值范围为．18.已知，，，试求：（1）；（2）与的夹角.解：（1）由，可得，则，即，又，，则，则.（2），又，则，故与的夹角为.19.已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且．（1）求顶点的坐标；（2）若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求．解：（1）设，因为，，，则，，，，在直角梯形中，，且，所以A，为直角，则，即，解得，，所以顶点的坐标为.（2）如图：因为为线段上靠近点的三等分点，则，设，则，所以，，所以，又因为为线段的中点，则，所以，，则，所以.20.在中，已知，最长边的长为.（1）求的大小；（2）若，求最短边的长.解：（1）因为，所以，即，在中，由余弦定理得，又，故.（2）因，故，又因为，所以，所以为最小角，为最大角，则为最短边，为最大边，由，可得，解得，所以，在中，由正弦定理得，即，得.21.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1），所以函数的最小正周期.（2）因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，因，所以，所以，所以对恒成立，令，则，则问题转化为对恒成立，因为在上单调递减，在上单调递增，又，，所以在上的最大值为，所以，所以实数的取值范围.22.已知中，点是线段上一点，，且①，②，③，④.（1）求的长；（2）为边上的一点，若为锐角三角形，求的周长取值范围.上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求〖答案〗存在且唯一.你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程.解：（1）删除条件①：设，，则，在中，，即，同理在中，，即，联立，可得，，即，，故；删除条件④：设，则，在中，，同理在中，，因为，所以，即，解得：，所以；删除条件②：在中，，所以，解得或，不唯一，不符合题意；删除条件③：在中，，即，解得或，不唯一，不符合题意.（2）若删去①：由（1）知，设，因为，则，在中，由正弦定理知，则，，所以的周长