2022-2023学年湖南省张家界市永定区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省张家界市永定区八年级（下）期中数学试

卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在Rt△力BC中，4c=90。，若乙4=50。，则等于（）

A.55°B.50°C,45°D.40°

2.如图所示，在AABC中，4c=90。，4。平分NC4B,BC=10cm,-4

BD=6cm,那么点。到直线AB的距离是（）\\

A.10cm

CDR

B.6cm

C.16cm

D.4cm

3.一个多边形每个内角都是150。,这个多边形是（）

A.九边形B.十边形C.十二边形D.十八形

4.如图，在平行四边形4BCD中，过点B作BE1C。交CD延长线于点E,若44=40°,则MBC

的度数为（）

二

X

BC

A.40°B.50°C.60°D.70°

5.下列命题中，假命题是（）

A,平行四边形的对角线相等B.正方形的对角线互相垂直平分

对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.有一个角为90。的平行四边形是矩形

6.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.0.3,0,4,0.5B.1,2,3C.5,12,13D.3,4,「

7.如图所示的一段楼梯，高BC是3米,斜边4B长是5米，现打算在刁B

楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）

A.5米

AC

B.6米

C.7米

D.8米

8.如图，正方形4BC0的边长为4,点M在DC上，且。M=1,N是4c

上一动点，则DN+MN的最小值为（）

A.4

B.4y/~2

C.2V-5

D.5

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.如图，ND=NC=90°,请你再添加一个条件，使△ABD=△ABC,

你添加的条件是.

10.如图，菱形4BCC的对角线4c=3cm,BD=4cm,则菱形力BCD

的面积是.

11.如图，矩形4BCD中，AC,8。相交于点。且4C=

果乙4。。=60°,则DC=

12.如图，在AABC中，AB=AC,以点B为圆心，小于ZB长为半径作弧，

分别交43、8c于点E、F,再分别以点E、尸为圆心，以大于:长为半径作

弧，两弧相交于点G,连结BG并延长交4c于点D,若44=80。，则

Z.ADB=度.

13.已知等腰^ABC的底边BC=5,。是腰AB上一点，且CD=4,

BD=3,则AD的长为.

14.如图，△ABC和ABDE都是等边三角形，4、B、。三点共线.

下列结论：®AE=CD-,@BF=BG-,③HB平分Z4HD;④乙4HC=60。，⑤△BFG是等边

三角形.其中正确的有（只填序号）.

三、解答题（本大题共9小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题5.0分）

已知一个正多边形的内角和比外角和多360。，求这个正多边形的边数和每个外角的度数.

16.（本小题5.0分）

如图，。为△ABC边BC上的一点，AB=20,AC=13,AD=12,DC=5,求BD的长.

17.（本小题7.0分）

如图，在△ABC中，ZC=90°,Z.CAD=ABAD,DEJ.4B于E,点F在边4c上.

（1）求证：DC=DE；

（2）若4c=4,AB=5,求出△ABC的面积以及DE的长.

18.（本小题7.0分）

己知：四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF,连接AE、

AF,EF.

⑴求证：^ADE^LABF-,

(2)证明：/.EAF=90°.

19.（本小题7.0分）

如图，在矩形4BCD中，E,F分别是8C,4。边上的点，月SE=CF.

（1）求证：△力BEmACDF；

（2）当4C1EF时，四边形4ECF是菱形吗？请说明理由.

20.（本小题5.0分）

如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到4处的池塘去喝水，其中一只猴子

沿树爬下去到离树12m处的池塘4处，另一只猴子爬到树顶。后直线越向池塘的4处，如果两

只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？

D

f

CA

21.(本小题5.0分)

已知：如图，在A4BC中，M、N分别是边4B、4c的中点,D是边BC延长线上的一点，且CD=

；BC,连结CM、DN.

(1)求证：四边形MCDN是平行四边形；

(2)若三角形4MN的面积等于5,求梯形MBDN的面积.

A

A

BCD

22.(本小题7.0分)

如图，海中有一小岛P,它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测

得小岛P在北偏东60。方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30。方向上.

(1)求M点与小岛P的距离;

(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由.

23.(本小题10.0分)

如图，在梯形4BCC中，4B=90°,AD//BC,AD=20cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从

4点开始沿4。边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿C8边向B以3cm/秒的速度运

动，P、Q分别从4、C同时出发，当其中一点到墙点时，另一点也随之停止运动，设运动时

间为t秒.问:

⑴求t为何值时，四边形PQCD是平行四边形?

(2)四边形4BQP可能是矩形吗？如果可能，求出t的值；如果不可能，说明理由;

(3)四边形PQC。可能是菱形吗？如果可能，求出t的值；如果不可能，说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•.•/?£△ABC中，Z.C=90°,LA=50°,

44+48=90。（直角三角形的两个锐角互余），

乙B=40°.

故选：D.

根据直角三角形的两个锐角互余的性质进行解答.

本题考查了直角三角形的性质.解答该题时利用了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互

余.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键.

过点。作DE1AB于E,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE=C。，再

代入数据求出CD，即可得解.

【解答】

解：如图，过点。作DE14B于E,

A

也

CDR

VZ-C=90°,4。平分乙CAB,

・•・DE=CD9

,:BC=10cm,BD=6cm,

ACD=BC-BD=10—6=4cm,

・•・DE=4cm.

故选D

3.【答案】C

【解析】解：••・多边形的每个内角都等于150。，

.,•多边形的每个外角都等于180。-150°=30°,

边数n=360°+30°=12,

故选：C.

先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数.

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变

形和数据处理.

4.【答案】B

【解析】解:在平行四边形4BCD中,2B〃CD,AD〃BC,则乙4BE=4E=90%LA+/.ABC=180°,

乙EBC=180°-Z.A-/.ABE=180°-40°-90°=50°.

故选：B.

由，，平行四边形的对边相互平行，，的性质推知力B〃CD,AD/IBC,则乙48E=NE=90。，乙4+

AABC=180°,据此进行解答.

本题主要考查了平行四边形的性质，解题时，利用“平行四边形的对边相互平行”的性质求得相

关角的度数.

5.【答案】A

【解析】解：4、平行四边形的对角线是互相平分的，不是相等的，所以4选项是假命题；

8、正方形的对角线是互相垂直平分的，所以B选项是真命题；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项是真命题：

。、有一个角为90。的平行四边形是矩形，所以。选项是真命题；

故选：A.

根据平行四边形的性质，菱形的性质及正方形的性质，矩形的判定定理，结合选项即可得出答案.

此题考查了命题与定理的知识，掌握平行四边形的性质、菱形、正方形的判定及矩形的性质是解

答本题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：4:0.3,0.4,0.5均不是整数，，.不是勾股数，不符合题意；

M+22r32,.••不是勾股数，不符合题意；

52+122=132,.•.是勾股数,符合题意;

。・•・•，万不是整数，.••不是勾股数，不符合题意；

故选：C.

根据勾股数的定义即可求解.

此题主要考查了勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.掌握定义是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：,••△4BC是直角三角形，BC=3m,AB=5m

AC=VAB2—BC2=4(m)>

••.如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为4c+BC=7米，

故选：C.

先根据勾股定理求出ZC的长，进而可得出结论.

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实

际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形

结合的思想的应用.

8.【答案】。

【解析】解：连接BN,连接BM交4C于N',连接CN',

•••四边形4BCC是正方形，

.••点B与。关于直线4C对称,

•••DN=BN,

DN+MN=BN+MN,

.•.当B、N、M共线时，即N与N'重合时，DN+MN有最小值，的长即为DN+MN的最小值，

•••CD=4,DM=1,

；.CM=CD-DM=4-1=3,

在Rt△BCM中，BM=VCM24-BC2=V32+42=5，

故。N+MN的最小值是5.

故选：D.

由正方形的对称性可知点B与。关于直线4c对称，连接BM交4C于N',N'即为所求在Rt△BCM中

利用勾股定理即可求出的长即可.

本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出。关于直线4c的对称点，由轴对称

及正方形的性质判断出D的对称点是点8是解答此题的关键.

9.【答案】/.CAB=4DAB（本题答案不唯一）

【解析】解：添力口的条件：/.CAB=Z.DAB^/.CBA=/.DBA,此时△ABD三△4BC（A4S）；

添加的条件：AC=AD^BC=BD,此时△4B0三△ABC（HL）；

故答案为：NC4B=4£MB（本题答案不唯一）.

已知/D=Z.C=90。，图形条件A8=4B,可以从角，边两方面添加条件.

本题考查了全等三角形的判定.关键是根据题目的已知条件，图形条件，合理地选择判定方法.

10.【答案】6cm2

【解析】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，

vAC=3cm,BD=4cm,

则菱形ABC。的面积是，x3x4=6cm2.

故答案为：6cm2.

根据菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直平分，利用菱形的面积公式可求解.

此题主要考查菱形的对角线的性质和菱形的面积计算，关键是根据菱形的性质可知菱形的对角线

互相垂直平分解答.

11.（答案】6V-3

【解析】解：在矩形中，。4=。。=gx12=6,

VZ-AOD=60°,

・・・△40。是等边三角形，

:.AD=0A=6.

CD=VAC2-AD2=6C，

故答案为：

根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论.

本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，比较简单，熟记性

质是解题的关键.

12.【答案】75

【解析】解：•••AB=AC.AA=80°,

/.ABC=ZC=50°,

由作图知BD平分乙4BC,

•••乙DBC=；£ABC=25°,

Z.ADB=NC+4DBC=75°,

故答案为：75.

根据等腰三角形的性质得出乙4BC=4=50°,由作图知8。平分乙4BC,即4DBC=^ABC=25°,

根据4WB=4C+4DBC可得答案.

本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质

及三角形的外角性质.

13.【答案】Z

O

【解析】【分析】

本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得N4DC=90。是解答本

题的关键.

根据勾股定理的逆定理求出NBDC=90。，即NADC=90。，设AB=AC=a,在RtAADC中，由

勾股定理得出a?=(a-3尸+42,求出a即可.

【解答】

解：设4B=AC=a,

vBC=5cm,CD=4,BD=3,

BD2+CD2=BC2,

■­■乙BDC=90°,即乙4DC=90°,

在RtAAOC中，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2,

即a?=(a-3)2+42,

解得：a=,,

o

即AD=g—3=1.

6o

故答案为、.

o

14•【答案】①②③④⑤

【解析】解：ABC与△BDE为等边三角形,

•••AB=BC,BD=BE,Z.ABC=乙DBE=60°,

・••Z.ABE=Z-CBD,

AB=BC

在△48E和△CB。中，\z.ABE=Z-CBD,

BE=BD

•••△4BE"CBD(S4S),

:.AE=CD,Z-BDC=Z.AEB,Z.BAE=乙BCD,

又•：Z.DBG=乙FBE=60°,

NDBG=乙FBE

・・・在4BFE中，＜BD=BE,

Z.BDC=Z.AEB

.MBGD三ABFE(ASA),

・・・BG=BF,乙BFG=乙BGF=60°,

作于M,8N1OH于N,如图所示：

则NBMA=乙BNC=90°,

Z.BMA=乙BNC

在△ABM和△CBN中，1/.BAM=Z.BCN,

BA=BC

三

••.△ABMACBN(AAS)f

：,BM=BN,

・•・HB平分乙AHD；

vBG=BF,乙BFG=Z-BGF=60°,

・・・△8FG是等边三角形，

・・.FG//AD.

BF=BG

在△48尸和△CGB中，\z.ABF=Z.CBG=60°,

AB=BC

:.bABFdCGB(SAS),

:.Z.BAF=乙BCG,

・•・Z.CAF+LACB+乙BCD=Z-CAF+乙ACB+乙BAF=60°+60°=120°,

・•・乙4”C=60°,

:.①②③④⑤都正确.

故答案为：①②③④⑤.

由题中条件可得△ABE三△CBD,得出对应边、对应角相等，进而得出△BG。三作BM_L

于M,BN工DH于N,证明AABM三ACBN得出BM=BN,证出HB平分乙4HD；再证明△4BFWA

CGB,再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论.

本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识；熟练掌握等边三角形的性

质，证明三角形全等是解决问题的关键.

15.【答案】解：设这个正多边形的边数为n,

根据题意得：180°x（n-2）=360°x2,

解得九=6,

即这个正多边形的边数为6,

则每一个外角的度数是嗒=60°.

O

故这个正多边形的边数为6,每个外角的度数是60。.

【解析】由多边形的内角和定理，外角和是360。即可计算.

本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180。（nN3且n为整数），

外角和是360。.

16.【答案】解：:4C=13,AD=12,DC=5,且52+122=169=132,

DC2+AD2=AC2,

；.△ACD是直角三角形，AADC=90°,

•••/.ADB=90°,

"AB=20,AD=12,

BD=VAB2-AD2=V202-122=16.

【解析】首先利用勾股定理逆定理判断△4CC是直角三角形，^ADB=90°,然后再利用勾股定理

计算B。长即可.

此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用

是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判

断.

17.【答案】解：（1）♦.・ZC=90°,

DCVAC,

Xv/.CAD=/.BAD,DE1AB,

・•・DC=DE；

（2）AC=4,BA=5,在Rt△ABC^CB=>/AB2-AC2=3.

1

S^ABC=2A。BC=6,

•・・DC=DE,

•**SMBC=S»ACD+S&ABD、

:.ShABC=^xACxCD+^xABxDE,

11

A6=-x4xDF+-x5xDE.

解得：DE=

【解析】(1)根据角平分线的性质求解即可；

(2)先勾股定理求得CB,即可求得^ABC的面积，由(1)中证得DC=DE,然后根据=S0CD+

S△力BO即可求出。E的长•

本题考查了角平分线性质定理，勾股定理，三角形面积的运用，解题的关键是根据角平分线的性

质定理证得。C=OE.

18.【答案】(1)证明：・.•四边形是正方形，

・・・AD=AB,L.D=L.ABC=90°,

:.乙D=乙ABF=90°,

在△4DE和中，

AD=AB

Z-D=4ABF,

DE=BF

.\^ADE=^ABF(SAS^

(2)证明：

:.Z^DAE=LBAF,

・・・Z,EAF=乙EAB+4BAF=Z.EAB+/.DAE=乙DAB=90°.

【解析】(1)根据正方形的性质得出40=ZD=/.ABC=90°,结合已知条件直接证明4

ADEwMBF(SAS)；

(2)根据△ADE皂得出=进而即可得证.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题

的关键.

19.【答案】⑴证明：・・・四边形4BCD是矩形，

・・,4B=41)=90。,AB=CD,AD=BC,AD//BC,

^ERt^ABE^Rt^CDF^,怨=££，

^AD=CD

・•・RtAABE闩RtACDF(HL)；

(2)解：当4CLEF时，四边形4EC尸是菱形，理由如下：

,/△ABE三2CDF,

BE—DF,

•••BC=AD,

CE=AF,

vCE//AF,

•••四边形4ECF是平行四边形，

又•••ACJ.EF,

二四边形4ECF是菱形.

【解析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；

(1)由矩形的性质得出=40=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,由HL证明Rt△ABEwRt△

CDF即可；

(2)由全等三角形的性质得出BE=DF,得出CE=AF,由CE〃AF,证出四边形4ECF是平行四边

形，再由4C1EF,即可得出四边形AECF是菱形.

20.【答案】解：由题意知AD+DB=BC+C4且CA=12米，BC=6米，

设BD=x米，贝必W=(18-x)米，

在Rt△力CD中：CD2+CA2=AD2,

即(18-X)2=(6+X)2+122,

解得x=3,

故树高为CD=6+3=9米.

答：树高为9米.

【解析】由题意知AD+DB=BC+CA,设BD=x米，则4。=(18-x)米，且在Rt△4CD中+

CA2=AD2,代入数据可求x的值，进一步计算即可求解.

本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到4。+。8=3。+乙4的等量关系，并根据

勾股定理+CA2=求解是解题的关键.

21.【答案】(1)证明：；M、N分别是边48、4c的中点，

•••MN//BC,MN=；BC,

CD=

•••MN//CD,MN=CD,

二四边形MCDN是平行四边形；

(2)解：•；M、N分别是边4B、AC的中点,

MN是AAMC的中线，

•・•四边形MCDN是平行四边形,

SfMN=S^MNC=S&CDN»

・・・MC是△4BC的中线，

••・S〉BMC=SMMC=2sMMN，

'S梯形MBDN=4sMMN=4x5=20,

・•・梯形MBDN的面积等于20.

【解析】（1）根据三角形中位线定理可得MN〃BC且，MN=加,然后根据一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形即可得四边形MCDN是平行四边形；

（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可求梯形MBON的面积.

本题考查了梯形，平行四边形的判定与性质，