2023年浙江省杭州市中考数学试卷（含答案解析）

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2023年浙江省杭州市中考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位.数据80800用科学记数法表示

为（）

A.8.8x104B.8.08x104C.8.8x10sD.8.08x105

2.(一2)2+22=()

A.0B.2C.4D.8

3.分解因式：4a2—1=()

A.(2a_l)(2a+1)B.(u—2)(a+2)C.(a—4)(a+1)D.(4a-l)(a+1)

4.如图，矩形ABC。的对角线AC,BD相交于点。.若

“OB=60。，则,=()

7

B.8

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c.?

D,虫

3

5.在直角坐标系中，把点4（犯2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.若点B的

横坐标和纵坐标相等，则血=（）

A.2B.3C.4D.5

6.如图，在O。中，半径。40B互相垂直，点C在劣弧AB上.若

^ABC=19°,则4BAC=（）

A.23°

B.24°

C.25°

D.26°

7.已知数轴上的点A,B分别表示数a,b,其中一l<a<0,0<b<1.若a又b=c,数c在

数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是（）

八「

C.-•―•A---1B-•------1—r-►D.«C—•_A•_B!-•------1-------►

-101-101

8.设二次函数y=a（x-m）（%-m-k）（a>0,m,k是实数），贝！J（）

A.当k=2时，函数y的最小值为一aB.当k=2时;函数y的最小值为一2a

C.当k=4时，函数y的最小值为-aD.当k=4时，函数y的最小值为—2a

9.一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6）,投掷5次，分别记

录每次骰子向上的一面出现的数字.根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没

有出现数字6的是（）

A.中位数是3,众数是2B.平均数是3,中位数是2

C.平均数是3,方差是2D.平均数是3,众数是2

10.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦

图”.如图，在由四个全等的直角三角形（△口4/心48尸小8。6公。皿/）和中间一个小正方形

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EFGH拼成的大正方形4BCD中，/-ABF>Z.BAF,连接BE.设NBAF=a,&BEF=依若正方

形EFGH与正方形4BCD的面积之比为1：n,tana=tan2/?,则n=()

A.5B.4C.3D.2

第H卷(非选择题)

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

11.计算：V-2—.

12.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,4c上，且。E〃BC,点尸在A

线段BC的延长线上,若N40E=28°,^ACF=118°,则NA=.

BCF

13.一个仅装有球的不透明布袋里只有一6个红球和n个白球(仅有颜色不同),若从中任意摸出

一个球是红球的概率为|,则n=

14.如图，六边形4BCDEF是。。的内接正六边形，设正六边形

4BCDEF的面积为品，UCE的面积为52，则*

15.在“探索一次函数、=kx+b的系数k,b与图象的关系”活

动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：4(0,2),B(2,3),C(3,l).

同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得

到对应的函数表达式%=k]X+瓦，丫2=々2%+62，丫3=+力3・

分别计算自+0,k2+b2fe+比的值,其中最大的值等于

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16.如图，在AABC中,4B=4C,N4<90°,点D,E,F分别在边

S上，连接Z）E,EF,FD,已知点B和点尸关于直线DE对称.设器=%

若4D=DF,则喘=（结果用含k的代数式表示）.

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

设一元二次方程/+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有

两个不相等的实数根，并解这个方程.

①b=2,c=1；@b=3,c=1；③b=3,c=-1；④b=2,c=2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

18.（本小题8.0分）

某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的

数据按照4B,C,。四类（4表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参

与；。表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成

的条形统计图和扇形统计图.

观看安全教育视频情况条形统计图观看安全教育视频梢况曲形统计图

（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？

（2）补全条形统计图.

（3）己知该校共有1000名学生，估计8类的学生人数.

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19.(本小题8.0分)

如图，平行四边形28CD的对角线AC,BD相交于点。，点E,F在对角线8D上，且BE=EF=FD,

连接AE,EC,CF,FA.

(1)求证：四边形4ECF是平行四边形.

(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.

20.(本小题10.0分)

在直角坐标系中，已知的心。0,设函数%=自与函数力=心("-2)+5的图象交于点4和

点B.已知点4的横坐标是2,点B的纵坐标是-4.

(1)求自，七的值.

(2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点4作x轴的垂线，过

点B作y轴的垂线，在第四象限交于点。.求证：直线CD经过原点.

21.(本小题10.0分)

在边长为1的正方形4BCC中，点E在边4D上(不与点4,D重合)，射线BE与射线CD交于点F.

(1)若求DF的长.

(2)求证:AE-CF=1.

⑶以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED,求EC的长.

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22.(本小题12.0分)

设二次函数y=ax2+bx+l(a丰0,b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表

(1)若m=4,

①求二次函数的表达式；

②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小.

(2)若在小，n,p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围.

23.(本小题12.0分)

如图，在。。中，直径4B垂直弦于点E,连接AC,AD,BC,作CF14。于点F,交线段。8于点

G(不与点。，B重合)，连接OF.

(1)若BE=1,求GE的长.

(2)求证：BC2=BGBO.

(3)若FO=FG,猜想NCAD的度数，并证明你的结论.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：80800=8.08x104,

故选：B.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，

n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axIO"的形式,其中1<|a|<io,n为

整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

2.【答案】D

【解析】解：(一2)2+22=4+4=8.

故选：D.

根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可.

本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键.

3.【答案】A

【解析】解:4a2—1=(2a)2—l2

=(2a-l)(2a+l).

故选：A.

直接利用平方差公式分解因式得出答案.

此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键.

4.【答案】D

【解析】解：•••四边形是矩形，

・•.AO=BO=CO=DO,

•・・Z-AOB=60°,

・•・△4B。是等边三角形，

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•••Z-BAO—60°,

Z.ACB=30°,

BC=\/~3AB，

.殁-夕

"BC-

故选：D.

先证△AB。是等边三角形，可得4BAO=60。，由直角三角形的性质可求解.

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题

的关键.

5.【答案】C

【解析】解：••・把点4(犯2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.

.•.点B(m+1,2+3),

•・•点B的横坐标和纵坐标相等，

•••m+1=5,

•••m=4.

故选：C.

根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B(m+1,2+3),再根据

点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案.

此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下

移减.

6.【答案】D

【解析】解：连接OC,

v/.ABC=19°,

•••Z.AOC=2乙ABC=38°,

•••半径04OB互相垂直，

NAOB=90°,

•••NBOC=90。-38。=52。,

・・・乙BAC=3乙BOC=26°,

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故选：D.

连接。C,根据圆周角定理可求解乙40C的度数，结合垂直的定义可求解NBOC的度数，再利用圆周

角定理可求解.

本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：-1<a<0,0<<1,

-1<axb<0,

即-1<c<0,

那么点C应在-1和0之间，

则A,C,D不符合题意，B符合题意，

故选；B.

根据a,b的范围，可得axb的范围，从而可得点C在数轴上的位置，从而得出答案.

本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得-1<axb<0是解题的关键.

8.【答案】4

【解析】解：令y=0,则Q—m)(x-m—k)=0,

•••x1=m,x2=m+k,

.•.二次函数y=a(x-m)(尤-m-k)与x轴的交点坐标是(m,0),(m+k,0),

・••二次函数的对称轴是：工=空=竺±"=竽，

va>0,

・•.y有最小值，

当％=竽时y最小，

nn,2m+k、/2m+k.、K

=a(-----7n)(------m—k)=——a»

224

o2

当k—2时，函数y的最小值为y=——a=-a；

当k=4时，函数y的最小值为y=-1a=-4a，

故选：

令y=0,求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式

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即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可.

本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：当中位数是3,众数是2时，记录的5个数字可能为：2,2,3,4,5或2,2,3,4,

6或2,2,3,5,6,故A选项不合题意；

当平均数是3,中位数是2时，5个数之和为15,记录的5个数字可能为1,1,2,5,6或1,2,2,

5,5,故8选项不合题意；

当平均数是3,方差是2时，5个数之和为15,假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为:

1,2,3,3,此时方差s=gx[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3—3/+(6-3>]=2.8>2,

因此假设不成立，即一定没有出现数字6,故C选项符合题意；

当平均数是3,众数是2时，5个数之和为15,2至少出现两次，记录的5个数字可能为1,2,2,4,

6,故。选项不合题意；

故选：C.

根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可.

本题主要考查平均数、众数和中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的

定义.

10.【答案】C

【解析】解：设4E=a,DE=b,则=a,AF=

vtana=ptanR=tana=tan2jS,

.-.2=O

bvb-a}'

・•・(b—Q)2=ab,

:.a2+h2=3ab,

2

・・・Q2+炉=AD2=S正方形ABCD，(b-a)=s正方形EFGH，

'S正方形EFGH：S正方形ABCD~AB-3ab=1：3,

v

S正方S正方形ABCD=1：九，

***Tl—3•

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故选：c.

设4E=a,DE=b,则8产=a,AF=b,解直角三角形可得号=(£)?,化简可得(b-a)2=ab,

a2+b2=3ab,结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S.方磔FGH；S正方形ABCD=L3,进而

可求解n的值.

本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得(b-a)2=ab,

。2+炉=3时是解题的关键.

11.【答案】-72

【解析】解：原式=合一2，2

———V-2-

故答案为：-立

直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案.

此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键.

12.【答案】90°

【解析】解：••・DE〃BC,

NB=N/WE=28°,

Z.ACF=乙4+NB,

•••Z.A=Z/4CF-ZB=118°-28°=90°.

故答案为：90°.

由平行线的性质得到NB=AADE=28。，由三角形外角的性质得到4/1=乙4CF-4B=118。-

28°=90°.

本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出NB的度数，由三角形外

角的性质即可求出乙4的度数.

13.【答案】9

【解析】解：根据题意，上吴，

6+n5

解得几=9,

经检验几=9是方程的解.

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・•・九=9.

故答案为：9.

根据红球的概率公式，列出方程求解即可.

本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况

数之比.

14.【答案】2

【解析】解：如图所示，连接04OC,OE.

D

・・•六边形4BCDEF是O。的内接正六边形,

：•AC—AE=CE,

ACE是。。的内接正三角形,

vZ-B=120°,AB=FC,

1

・•・^BAC=(BCA=i(180°-乙B)=30°,

・・•Z,CAE=60°,

・••Z.OAC=2LOAE=30°,

・•.Z.BAC=乙OAC=30°,

同理可得，/-BCA=/-OCA=30°,

又・,TC=/C,

BAC=^0AC{ASA),

**•^LBAC=S&AOC，

圆和正K边形的性质可得，S〉BAC=S—FE=S^CDE，

由圆和正二角形的性质可得，S^OAC=S&OAE=S^OCE，

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Si=S*BAC+SAAEF+SACDE+SA。4c+S+S=2(SAJ+S^+SAOCE)=2s2，

h0AEh0CEO4C0AE

■2

S2=N，

故答案为：2

连接04,0C,0E,首先证明出△ACE是。。的内接正三角形，然后证明出△B/IC三△OACG4s4),

得到S^ABC=S—EE=ShCDEShAOC=t^OAE=^^OCE,进而求解即可•

此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知

识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

15.【答案】5

【解析】解：设直线4B的解析式为月=上6+比，

将点4(0,2),B(2,3)代入得，[2]:九二？’

解得：卜I,

I瓦=2

:•々1+瓦=|,

设直线4c的解析式为=k?x+b2,

2

将点4(0,2),C(3,l)代入得，|忆4b2=1，

解得：卜2=T,

k2+b2=|>

设直线BC的解析式为丫3=k3x+b3,

将点B(2.3),C(3,l)代入得，

解得:但；

左3+=5,

・,・的+瓦=|,七+62=|，&+坛=5,其中最大的值为5.

故答案为：5.

利用待定系数法求出分别求出心，瓦,七，匕2，久的值，再计算自+打，k2+b29&+坛的

值，最后比较大小即可得到答案.

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本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，应用待定系数进行正确的计算是解题关键.

16.【答案】

2-r

【解析】解：•.•点B和点尸关于直线DE对称,

:.DB=DFt

•・,AD=DF,

:.AD=DB,

vAD—DF,

:.Z.A=Z-DFA,

•・,点B和点F关于直线DE对称，

:.Z-BDE=乙FDE,

vZ-BDE+Z.FDE=Z.BDF=Z71+&FA,

・•・乙FDE=Z.DFA,

・・・DE//AC,

:.Z-C=乙DEB,乙DEF=乙EFC,

•・•点B和点尸关于直线DE对称，

・•・乙DEB=乙DEF,

:.Z-C=(EFC,

-AB=AC,

••Z.C=乙B,

vZ-ACB=乙EFC,

ABC^^ECF,

ABBC

:.——=——,

ECCF

•••DE//AC,

:.Z-BDE=Z-A,乙BED=乙C,

BDE~ABACf

.BE_BD_1

BCBA2

1

・•・EC=抑，

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BC.

AB=k'

・•・BC=k•AB，

・・・EC=gk・AB,

ABkAB

^k-AB-CF，

：,CF=gk2*AB,

CF_CF_C-^k2AB_k2

FA=AC-CF=AB-CF=AB-^-AB=2^?

k2

故答案为:

先根据轴对称的性质和己知条件证明DE〃斗C,再证△BDE-aBAC,推出EC=^kTB,通过证

明△ABOAECF,推出b=累2.4%即可求出刍的值.

2FA

本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质,

三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABCSAECF.

17.【答案】解：•.•使这个方程有两个不相等的实数根，

b2-4ac>0,即炉>4c,

①②③均可，

选①解方程，则这个方程为：x2+2x+l=0,

•••(x+I)2=0,

・•・X1=X2=-1.

【解析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2>4c,由此可知b、C的值可在①②③中

选取，然后求解方程即可.

本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别

式大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别

式小于0,方程无解.

18.【答案】解:(1)60+30%=200(名)，

答：在这次抽样调查中，共调查了200名学生；

(2)样本中8类的人数为:200-60-10-10=120(名),

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补全条形统计图如下：

观看安全教育视频情况条形统计图观看安全教育视频梢况扇形统计图

答：估计B类的学生人数约600名.

【解析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得总人数；

(2)结合(1)的结论求出B类的人数，进而补全条形统计图；

(3)总人数乘以样本中B类别人数所占比例.

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

19.【答案】⑴证明：•.•四边形4BCC是平行四边形，

:.AO—CO,BO—DO,

vBE=DF,

EO=FO,

.••四边形AECF是平行四边形；

(2)解：TBEMEF,

SMBE-S^AEF~2,

•••四边形4ECF是平行四边形，

S&4EF=S&CEF=2,EO=FO,

C尸。的面积=1.

【解析】(1)由平行四边形的性质得AO=C。，BO=DO,再证。E=OF,即可得出结论；

(2)由平行四边形的性质可求解.

本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键.

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20.【答案】(1)解：•••点4的横坐标是2,

，将x=2代入丫2=攵2(%-2)+5=5,

・・・4(2,5),

.•.将4(2,5)代入%=B得：七=10,

10

・•・力=受，

,・,点B的纵坐标是-4,

・,・将y=-4代入yi=,得，%=—|,

二将B(一—4)代入旷2=卜2。-2)+5得：—4—伍(—?—2)+5.

解得：©=2.

-y2=2(%—2)+5=2%+1.

(2)证明:如图所示,

由题意可得：C(—?,5),£)(2,—4),

设CD所在直线的表达式为y=kx+b,

.•・吩+…，

3+b=-4

解得：忆7,

CD所在直线的表达式为y=-2x,

.,.当x=0时，y=0,

•・・直线CD经过原点.

:/求出

【解析】(1)首先将点4的横坐标代入丫2=k2(x-2)+5求出点A的坐标，然后代入yi

自=10然后将点B的纵坐标代入为=:求出矶一|,一4),然后代入丫2=七。-2)+5,即可求出

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(2)首先根据题意画出图形，然后求出点C和点。的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的

表达式，进而求解即可.

本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，

反比例函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键.

21.【答案】(1)解：•••四边形ABC。是正方形，

AD//BC,AB=AD=BC=CD=1,

DEF“4CBF,

二%如，

BCCF

1

-

-3=DF

1DF+1'

・・.DF=

(2)证明：・・・/B〃CD,

:.Z.ABE=乙F,

又•・・=乙BCD=90°,

ABE^^CFB,

ABAE

:.——=——,

CFBC

：・AE•CF=AB,BC=1；

(3)解：设EG=ED=x,则4E*=AD-AE1—x,BE-BG+GE=BC+GE=1+x,

在RtMBE中，AB2-^AE2=BE2,

・・・1+(1—x)2=(1+x)2,

1

_

X-,

4

1

DE=

4-

【解析】(1)通过证明ADEF〜△CBF,由相似三角形的性质可求解；

(2)通过证明AABESACFB,可得券=黑，可得结论；

CrDC

(3)设EG=ED=x，则4E=l—x,BE=l+x,由勾股定理可求解.

本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是

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解题的关键.

22.【答案】解：（1）①由题意得1，

解得｛£：%

二二次函数的表达式是y=x2-2x+l；

（2）y=X2—2x+1=（X—l）2,

抛物线开口向上，对称轴为直线X=1,

•・・当x<1时，y随x的增大而减小；

（2）•••x=。和x=2时的函数值都是1,

••・抛物线的对称轴为直线x=-*=1,

2a

・•.（1述）是顶点，（一1,爪）和（3/）关于对称轴对称，

若在m,n,p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且

b<

v——=1,

2a

：•b=—2a,

二二次函数为y=ax2-2ax+l,

・•・=a+2Q+1<0,

・•・a<

【解析】（1）①利用待定系数法即可求得；

②利用二次函数的性质得出结论；

（2）根据题意m<0,由一/=1,得出b=-2Q,则二次函数为y=a/一2Q%+1,得出

m=a+2a+1<0,解得a<—

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质,

二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出zn=a+2a+1<0是解题的关键.

23.【答案】⑴解：直径AB垂直弦CD,

・・・Z.AED=90°,

・・・/,DAE+=90°,

第20页，共23页

•・•CFLAD,

・・・Z,FCD+4。=90°,

・•・Z,DAE=乙FCD,

由圆周角定理得乙ZME=乙BCD,

・•・乙BCD=乙FCD,

在△BCE和AGCE中，

NBCE=乙GCE

CE=CE,

./.BEC=Z-GEC

BCEZAGCE(^