2023-2024学年上海市晋元中学高一数学上学期期中试卷附答案解析

2023-2024学年上海市晋元中学高一数学上学期期中试卷

2023.11

考试时间：90分钟满分：100分

一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）

1.设集合&={L2},集合，={2,4,6},则28=.

2.不等式归-2|<1的解集为.

3.函数>=优一1且。中1）的图像一定过点.

4.己知正实数x,y满足：>,则>的最大值为.

1--|1_--

5.已知2"=3"=6,则。b.

6.一元二次不等式/+6尤+c>°的解集是I23人则c+b=

7.已知"Ig2,则炫50=（用。表示）.

8.用反证法证明命题“若无+><2,则x<l或y<l"，则应假设.

9.方程忖—1+值+2|=口+1|的解集为.

10.若关于x的不等式14履2+2》+左<2有唯一实数解，则实数左的值是.

11.已知集合”={123,4,5,6},集合AUM,定义"（A）为A中元素的最小值，当A取遍"的所有非空

子集时，对应的"（A）的和记为$6,则$6=.

12.若不等式（"+3乂/-对任意的“«0,+8）恒成立，则"0+4）的最大值为.

二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相

应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.

13.下列函数是累函数的是（）

A.>/B.y=2*c.y=2x~D.y=~x'

14.“〃?€{1,2},,是“]11〃2<1，，成立的

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件

15.长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将嫦娥五号探测

器送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度V（单位：物Z/S）和燃料的质量M（单位：

1

v=20001n[l+—|

依）、火箭（除燃料外）的质量优（单位：依）的函数关系是I机人若火箭的最大速度为

11.2加/s,则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：e00056«1.0056）（）

A.1.0056B,0.5028c.0.0056D,0.0028

29

6Z+-------------

16.已知a>6>0,那么，当代数式外“一切取最小值时，。+2A的值为（）

A.2及B.2石C.2君D.2册

三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的

步骤

A=|x|^^<ol

*集合Ix+1J,集合5={%|a<x<a+l],a^R

⑴若“leB”是真命题，求实数。的取值范围；

（2）若“xeA，，是“xeB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

18.已知关于x的不等式加-3x+2>0的解集为{中<1或%>收

⑴求"力的值;

2+J2

⑵当x>0,y>0且满足xy时，有2x+y2尸+后+3恒成立，求实数上的取值范围.

19.已知幕函数，="+4帆+4）/2在（Oy）上为严格减函数.

⑴求实数加的值；

⑵若（2"1广<（a+3）"',求实数。的取值范围.

20.某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经

检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表：

天数123456

病毒细胞的个数12481632

己知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过IO'的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒

细胞的98%.

2

（1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物（精确到天，32"03010）?

（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命（精确到天）？

ac

21.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点（°/），（°”）作如下定义：石>3,那么称点（“㈤是点（a“）

的“上位点”，同时点伍⑷是点（“㈤的"下位点”.

（1）试写出点35）的一个“上位点，，坐标和一个“下位点，，坐标；

⑵设a、6、c、d均为正数，且点（°⑼是点,⑷的上位点,请判断点）S+cg+d）是否既是点（"力）的"下

位点”又是点（c’d）的"上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；

（3）设正整数〃满足以下条件：对任意实数机2023"eZ},总存在正整数上，使得点（〃㈤既是点

（2。23,㈤的吓位点,,，又是点（2。2"+1）的“上位点,,，求正整数〃的最小值.

1.{1,2,4,6）

【分析】利用并集的定义直接求解即得.

【详解】集合*=3={2,4,6},所以48={1,2,4,6}.

故答案为：口24,6}.

2,。，3）

【分析】利用绝对值不等式的解法求解.

【详解】由卜-2<1得—l<x-2<1,解得l<x<3,

故不等式上一Z<1的解集为（L3）.

故答案为：（U）.

3.（0,0）

【分析】根据指数函数的性质计算可得.

【详解】函数>=优-1（。>°且"1）,令*=0可得y="°T=°,

即函数恒过点（°，°）.

故答案为：（&°）

3

1

4.4

【分析】利用不等式1(“+。),直接计算即可.

【详解】>y4(44

x=l=l」V=2

当且仅当,2，即25时取得等号；

£1_

故y的最大值为了；

1_

故答案为:4.

5.1

【分析】首先利用指数和对数互化得到"1吗6,1唱6,再利用换底公式即可得到答案.

【详解】由2a=3力=6可知Q=log26,b=log36

11।

所以L厂32+33=1—6=1

故答案为：1

6.0

【分析】利用三个二次关系计算即可.

、__1_1

［详解］由题意可知0?+法+C=0的两个根分别是尤1__5，9=§且〃<0

3I2)a

1z1xa=6b=-6c

1X|-1L£

故2",所以c+8=o.

故答案为：0

7.2-a

【分析】根据对数运算求得正确答案.

1cn1100,9

【详解Jg50=lg下=307g2=2i

故答案为：2-a

8.且

【分析】根据反证法的基本思想判断即可.

【详解】用反证法证明命题“若x+y<2,贝口<1或y<l„,

则应假设*21且”1

4

故答案为：且>21

9.（F-49收）

【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集.

【详解】由绝对值三角不等式可得：,一1+卜+N斗一1+*+2|=口+1,

当且仅当（xT）（x+2”。,即2Ml,+功时，等号成立,

故,-1+归+2|=|2x+1]的解集为（f-2][1,4w）.

故答案为：ST[1，H.

1+血4

10.2

【分析】分当％=由（小+》+比，（区左）=

0,k>0,k<0,211=22+2%+11121!1求解.

—<x<1

【详解】解：当％=°时，2,不符合题意；

,2c,,（1丫公一1%2T

kx+2JV+左二左1%-1—H--------2--------

当4>0时，Vk）kk,

因为14片+2*+左<2有唯一实数解，

所以左一，即/一2"1=0,解得％=1+0或k=1一0（舍去）；

,2c,A1Y

kx+2x+左=—H---------«--------

当《<0时，'k）kk,

因为14狂2+2x+左=2有唯一实数解，

左2-1_]1-75〃_1+6

-K=-------/V-

所以k,即％-1=0,解得2或2（舍去），

所以实数％的取值为

故答案为:

11.120

【分析】确定最小值分别为L2，，6时相应的集合A的个数，再求和即可.

5

【详解】设"={123,4,5,6},对M的任意非空子集A共有26-1个，

其中最小值为1的有展，最小值为2的有2,个，…，最小值为6的只有2°=1个，

5432

S6=2xl+2x2+2x3+2x4+2x5+6=120

故答案为：120

12.-12

33「b9

【分析】令"¥）=（依+3）（/-叫由题意，得到以。<0,其零点玉=一/°,确定*=二=b,得至I」一下,

将《"4）转化为a表示，然后由基本不等式求解最值即可.

［详解］令〃%）=3+3）（丁一加，］£（0,+oo）时，/（x）W°恒成立，

若f”时必有不合题意，

3

八〉

所以“<0,其零点X、=—a0,

由题意，函数/（、）的图象不穿过X轴，则有两个正的零点且它们相同，

3万7_99

x,=—='b77r\b=~~a（b+4）=—F4〃

所以。,化简可得“力=%则。，所以a,

—+4«=-|-4a+—|<-2.-4a•—=-12

因为Q<0,则〃IV-a,

/9-3

-4a=-a——

当且仅当一。，即2时取等号，

所以“S+4）的最大值为-12.

故答案为：-12.

13.A

【分析】由募函数的定义可判断各选项.

【详解】由幕函数的定义，形如y=&eR叫幕函数，

_1_-3

y=~二%

对A,冗,故A正确；B,C,D均不符合.

故选：A.

14.A

【解析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论.

【详解】解：lnm<l,:.0<m<e

（12）U（0,e）

，，

...“机£{1,2},,是“而V1,,成立的充分非必要条件,

6

故选：A.

【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题.

15.C

1，=2000In,+丝］=11.2丝

【解析】由Im)，进而可解得相的值.

v=2000In卜+刀=11.2Infl+-L^1-=0.0056.•.也=e。0^一1°0.0056

【详解】由<，可得I2000,m

故选：C.

16.D

M,9

b(a—Z?)<—aH-----------212

【分析】根据题意，由基本不等式有一4,Ka-b)，结合a>6>0以及两个不等式等

号成立的条件可求出。、匕的值，从而可求出。+2b的值.

2

b+a-ba2

b(a-b)<

【详解】由a>8>。，得。一人>°,所以24当且仅当6="-6,即"=»时等号

成立.

。2+上加2+普>2Ja2"2

所以b(a—b)aa

236

第二个不等式的等号当且仅当”=/时成立.

其中第一个不等式的等号当且仅当时成立,

a>b>0

236a=^/6

〃二F

24a

dH-----------------_r\ib4

所以当伏。一加取最小值时，有"即2

a+2b=\/6+2x----=2后

所以2

故选：D

17.⑴(。，1)

⑵I⑵

【分析】(1)代入即可解；

(2)根据“xeA”是“xeB”的必要不充分条件，可得8A,结合包含关系即可求解.

【详解】(1)若“leB”是真命题，则解得

实数。的取值范围是(°，D.

7

A=H<o]=(-l,3)

⑵由〔x+1J,

“%右4，，是内右3，，的必要不充分条件，则8A,

J-1<6Z

则[a+1W3等号不能同时取到，解得Tw2,

则实数。的取值范围[-L2]

18.⑴”=11=2⑵卜3,2]

【分析】(1)得到1力为方程分2-3彳+2=°的两个根，由韦达定理求出答案；

(2)在(1)的基础上，利用基本不等式T的妙用得到2元+”9,只需92犷+左+3,求出答案.

【详解】(1)由题意得11为方程尔-3》+2=°的两个根，

32

1+/7=—l-b=—

则a,解得。=1力=2；

2+Li

(2)由⑴得%),

2A：+y=(2x+y)f-+—>1=4+1+—+—>5+2=9

则y)xyN%y,

2y_2x

当且仅当x>,即x=>=3时，等号成立，

要想2尤+”上2+八3恒成立，只需9"2+左+3,解得一3<上<2,

故实数上的取值范围是b'A.

19.(1)-3⑵(4—°°)

【分析】(1)根据累函数定义先求出在根据幕函数性质检验价的值是否满足题意；

(2)根据哥函数性质求解即可.

【详解】(1)因为函数尸("+4"+4)1是信函数，

所以加2+4m+4=1,得用=-3或根=一1,

因为嘉函数在(O'+00)上为严格减函数，所以优=-1不符合题意，

所以机=_3.

8

（2）由⑴可得（2"T）＜（。+3）

设函数y=x=

因为函数y=X”在R上严格单调递减，

所以2。-1＞。+3,得。＞4,

所以实数。的取值范围是（④口）.

20.⑴第27天⑵第33天

【分析】（1）建立第一次注射药物前病毒细胞个数〉关于天数”（〃eN*）的函数关系式，由此可得21410）

左右取对数后，结合对数运算性质可求得结果；

（2）结合（1）中关系式可构造不等式22*X2%WK）8,解不等式可求得结果.

【详解】（1）由题意知：第一次注射药物前病毒细胞个数〉关于天数"（"CN）的函数关系式为

y=2"T（〃eN*）

Q

8

/.^-1＜log210=81og210=---

为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则2V108,-一1g2,

«＜1+—«27.6

解得：怆2,又“eN*,.•.第一次最迟应在第27天注射该种药物.

（2）由题意知：注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226x2%,

则再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226x2%x2,=226«x2%,

由226+，X2%41()8得226+，45x10、.-.(26+x)lg2<lg5+9=l-lg2+9=10-lg2

26+Q吐柜

/.xV--------27x6.2

即电21g21g2

再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第27+6=33天注射该种药物.

21.⑴一个“上位点”的坐标为⑶4）,一个“下位点”的坐标为（3,6）（答案不唯一，符合题意即可）；

⑵是,证明见解析；（3）4047

【分析】（1）由上位点、下位点的概念即可得解；

（2）由上位点、下位点的概念结合作差法即可得证；

（3）结合（2）中结论，可得左=2机+1,“=4047,再证明当“44046时不合题意即可得解.

9

一3>—3>一3

【详解】⑴由456可知，点(3,5)的一个“上位点,，的坐标为(3,4),一个，下位点