2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习讲义 不等式与不等关系

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第03讲不等式与不等关系（精讲）

题型目录一览

不等式性质的应用

比较数（式）的大小

已知不等式的关系，求目标式的取值范围

不等式的综合问题

、知识点梳理

1.比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

a>ba-b>00>l(a,Z?>0)或0<l(a,Z?<0)

bb

a=ba-b=0色=13片0）

b

a<ba-b=0@<1(。，Z?>0)或4>1(。,b<Q)

bb

2.不等式的性质

性质性质内容

对称性a>b<=>b<a^a<b<=>b>a

传递性a>b,b>c^a>c；a<b,b<c=>a<c

可加性a>b<=>a-\-c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

同向可加性a>c,c>d^a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>Q,c>d>0^ac>bd

可乘方性a>b>Q,neN^=>an>bn

【常用结论】

1.作差法比较大小的步骤是:

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与。的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法

是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是易或者因式乘积的形式，也可考

虑使用作商法.

2.等式形式及不等式形式解题思路

二、题型分类精讲

题型一不等式性质的应用

令3策略方法

1.判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2.充分利用基本初等函数性质进行判断.

3.小题可以用特殊值法做快速判断.

【典例1］已知log5a>log5。，则下列不等式一定成立的是（）

A.4a<4bB.log5（a-Z?）>0

C.5”">1D.aobc

【答案】C

【分析】由Iog5a>log5^可得a>b>0,然后对选项一一分析即可得出答案.

【详解】由log5a>bg5b可知a>b>Q,所以赤>网,所以A错误；

因为"6>0,但无法判定与1的大小，所以B错误；

当cWO时，ac<bc,故D错误；

因为。-6>0,所以5"»>5°=1,故C正确.

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•北京,汇文中学校考模拟预测）如果a>b>0,那么下列不等式一定成立的是（）

1111Y

A.问<回B.->-C.>D.lna>lnb

ab22

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断A、B,再根据指数函数的性质判断C,根据对数函数的性质判断D；

【详解】解：因为a>b>0,所以时>例>0,故A错误;

因为>b>0,所以故B错误；

aab

因为a>b>0,且y=在定义域上单调递减，所以故C错误；

因为a>6>0,且y=lnx在定义域（0,+e）上单调递增，所以lna>lnb,故D正确；

故选：D

2.（2023・全国•高三专题练习）已知。>万，且出>工0,ceR,则下列不等式中一定成立的是（）

a2>b2

A.B.a<Tb

【答案】D

【分析】ABC可以通过举出反例，D选项可以通过不等式的基本性质进行求解.

【详解】当。=1*=-2时，1>-2,rfffl2<（-2）2=4,,而疝无意义，故ABC错误；

因为所以^7，工，D正确.

c+1c~+1

故选：D

3.（2023・高三课时练习）给出下列命题：①若a>6,贝1］碇2>而；②若。>同，则/>〃；③若。>6,贝面>〃；

④若同>6,则/>从淇中，正确的命题是（）.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【分析】①④可举出反例，②可通过不等式的基本性质得到；③可利用惠函数的单调性得到.

【详解】若。=0,此时m2=反2,①错误；

若。>同，则。>0,故|。|>网,两边平方可得：a2>b2,②正确；

因为>=尤3在R上单调递增，故若。>。，则/>"，③正确；

若同>6,不妨设。=0力=-2,不满足足>评,④错误.

故选：B

4.（2023•吉林・统考三模）已知？<!<0,则下列不等式不一定成立的是（）

ba

A.a<bB.-l—>2C.a—<b—D.In（/?—〃）>。

abab

【答案】D

【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出>2；C选项，作差法比较

出大小关系；D选项，举出反例即可.

【详解】A选项，y<-<0,故所以">0,

ba

两边同乘以。力得，a<b,A成立；

ba

hahn

B选项，因为a<6<0,所以2>0,f>0,且

abab

由基本不等式得2+0>2、隈=2,故B成立；

ab\ab

C选项，因为a<Z?<0,所以。—Z?<0,——>0,

ab

故4_工_,_；］=〃_人+'^=（0叫［1+：］<0,所以C成立；

a\b）ab\abJab

D选项，不妨取〃=-2,。=-1,满足avh<0,此时In（〃-〃）=lnl=O,故D不一定成立.

故选：D

5.（2023•全国•高三专题练习）已知log">log〃y（OVaVl）,则下列不等式恒成立的是（

C."

A.y2<x2B.tanx<tanyD.

y%

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B,根据对数函数的单调性以及不等式性质判断

c.

【详解】Vlogax>Iogay(0<a<l),

/.0<x<y,Ay2>x2,4>石，故A和D错误;

1jrjr冗3^"TT37r

选项B,当〃=不，取x=w，y=T时，log1—>log—tan—>tan—­显然有tanx>tany,故B错误;

2342*^21今34

选项C,由OVxVy可得一<一,故C正确；

yx

故选：c.

6.（2023・全国•高三专题练习）已知a>Z?>0,下列不等式中正确的是（）

B.ab<b2

11

C.a—bT----之2D.---<----

a-ba-1b-1

【答案】c

【分析】由a>6>0,结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.

【详解】解：对于选项A,因为。>6>0,0（工〈:，而c的正负不确定，故A错误;

ab

对于选项B,因为a>b>0,所以故B错误;

对于选项C,依题意a>6>0,所以〃-b>0,一二>0,所以a-6+—-->2.（a-b）x---=2,故C正确;

a-ba-bva-b

对于选项D,因为1>0-1>-1,工与」正负不确定，故大小不确定，故D错误；

a-1b-1

故选：C.

二、多选题

7.（2023•全国•模拟预测）若m>n>0>p,m+p^0,则（）.

A.—>—B.m2->0

mn

C.>D.m2—n>n2—m

m+nm+p

【答案】AD

【分析】由不等式的性质可判断A；利用特值法可判断B,C；利用作差法可判断D.

【详解】对于A：由题意可得,<!，因为P<0,所以‘>£,故A正确；

mnmn

对于B：当m=2,p=-3时，满足已知条件，但病-/<0,故B错误；

对于C：当机=3,n=2,。=-1时，满足已知条件，但一^<—）―,故C错误；

m+nm+p

对于D：m2-n-(n2—m)=m2—?z2+m-n=(m-n)(m+n+l),因为机>〃>0,可得(m根+九+1)>0,所以

m2-n>n2-m9故D正确.

故选：AD.

8.（2023・全国•模拟预测）已知mb为实数,且>4,则下列不等式正确的是（）

a272-1

A.Q2>Z?2B.H-----2------------

a+b2b2

b+\b4

C.-------<—D.4Q+------>4

Q+1aa+1

【答案】BC

【分析】利用不等式的性质可判断A错误；由基本不等式的应用计算可得B正确；利用作差法可知选项C正确;

4

根据基本不等式计算可得当好。时，口彳斗成立，但显然"。，即D错误.

【详解】对于A,由亡>玉,可知a>0,b>0,

且由不等式性质可得0<。<6,所以即A错误.

ab

a工baba+b1.ba+b1_2V2-1

对于Bn,------+—=-------+------------>2

a+b2ba+b2b2a+b2b22

当且仅当2〃=（a+8）2,即廿=/+2"时取等号，B正确.

对于c,作差可得&小+1一1ba（b+iJ\-b（a+X）\a-b

Q(Q+1)

所以号<2,c正确.

a+la

44I~A-

对于D,4a+——=4（〃+l）+-----4>24（«+1）------4=4,

a+1a+1AV〃+l

4

当且仅当4（0+1）=焉，即。=0时取等号，显然取不到等号，D错误.

故选：BC.

9.（2022.全国•统考高考真题）若x,y满足炉+/一孙=1,则（）

A.x+y<\B.尤+yN-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为（a,blR）,由f+y2一孙=1可变形为，（尤+y『_]=3孙<31*z],解得

-2<x+y<2,当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由/+,2—孙=1可变形为（炉+/）_1=孙工与匕，解得N+y2«2,当且仅当九=y=±l时取等号，所以C正确;

2

因为f+y一孙=1变形可得+*|y2=1,^x_X=cos0^y=sin。，所以x=cos6+耳sin8,y=笈sin6,

因此％2+V2=cos20+—sin2^+^^sin^cos^=l+^：sin2^--cos2^+-

3y/3百33

=i+lSd20-^]Jl，2],所以当尤=也,y=一且时满足等式，但是尤2+VN1不成立，所以口错误.

33I6J|_3」3-3

故选：BC.

题型二比较数（式）的大小与比较法证明不等式

畲策略方法比较两个数或代数式的大小的三种方法

⑴当两个数（或式子）正负未知且为多项式时，用作差法.

步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论.

变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分.

⑵作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数（或式子）为正数.

步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论.

⑶特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊

值法比较.

【典例1］若d>5>0,则下列不等式一定成立的是（)

b0+1—11―a.bc2a+ba

A.—>------B.a+—>b7+—C.a+—>b+—D.-------->一

aa+1abbaa+2bb

【答案】c

【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解.

bb+\b-a

【详解】对于A,--------=/n,因为a>6>0,所以>

(1(1I1ClICII1I

b-Cl八bZ?+1hA+1

所以刀”不<°，即9_勺<0,于是有'<2=故A错误；

矶。+1)aa+1aa+1

1(i04+1b2+1a2b+b-ab2-a(a-b)(ab-l)

a\bJababab

因为a>6>0,所以。-6>0,">0,但仍与1的大小不确定，故不一定成立，故B错误;

一，丁a(,ab+aab+ba'b+a~-ab2-b~(a-b\(ab+a+b\—

对于C,因为a+工-b+—=]--------------=-------------;-----------——△----------------L,因m为a>3>0,所以

b\a)baabab

7c7c77(a-b](ab+a+b]ana(.b\„a,b.八十小

a-b>0,ab>0,ab+a+b>09所以^-------------^>0,gp«+--b+->0,于是有Q+—>6+—，故C正确;

2a+ba(2a+b}b-a(a+2b}(b-a\(b+a\.

对于D,因为k厂,京+2：)=ILJ因为〃>八°，所以…<0，…>°，。+2…'

所以牛7吗”<0,即二一六°，于是有生殖<&

故D错误.

b^a+2b）a+2bba+2bb

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023秋广东清远•高一统考期末）“a>c>"0”是的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】做差可判断充分性，取。>c>b>0可判断必要性可得答案.

…御a-ba_c（a叫_a（c-b）6（a-c）

【详解】jJc（c-b）~c（c-by

,a-bab（a-c\八

当a>c>〃>0时，a-c>0,c-b>0,所以-------=------V>。，

c-bccyc-b）

可得所以充分性成立；

c-bc

a-bab^a—c)

但当a>O>c>b^>0即也成立，

fc-bcc(c-Z?)c-bc

所以必要性不成立.

因此“a>c>b>0”是“N>-”的充分不必要条件.

c-bc

故选：B.

二、多选题

2.（2023・云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）若〃>0,b>0,且”+2〃=1,则下列不等式中一定成立的是（）

25+11

A.a2+b2>-D.-------3-

5a+12

_Z?1

C.-------1—〉3D.b>ea-]

a+bb

【答案】AC

【分析】利用比差法比较的大小判断A,利用比差法比较含《的大小判断B,利用基本不等式比较

」b7+。13的大小，判断C,举反例判断D.

a+bb

【详解】因为a>0,^>0,且a+2Z?=l,

以。va<1,0<b<一,

2

对于A：a2+/j2-1=(l-2/?)2+Z?2-1=5/?2-4/7+|=5^-|^|>0,

2

当且仅当b时等号成立，

所以A正确；

对干B.2匕+11=2-a1=3(j)

，a+12a+122(a+l)，

因为Ovavl,所以l—a>O,a+l>。，

2b+l2b+l1

所以-->0,即nn---->-,B错误;

Q+12a+12

b1bQ+2。ba+brc

对于C：-------1—=-------1----------------+-------+1>3,

a+bba+bba+bb

当且仅当a+人=匕时等号成立，又a+b手b,所以等号不成立，C正确;

对于D：令a=1，b=；,满足条件a>0,b>0,且a+»=l,

24

但是尸3=%>；="D错误.

故选：AC.

3.（2023秋•辽宁丹东•高一统考期末）若a>6>0,m>0,则下列不等式成立的是（）

A.a1>b2B.a3+b3<ab2+a2b

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.

【详解】对于A,由a>Z?>0,则标>〃，故A正确；

B,—(Q/+q%)=(〃+Z?)(a?—QZ?+〃)—+Z?)=(〃+Z?)(q—b),

由a>6>0,所以/+〃3>"2+〃2〃，故B错误；

对于C,由a>b>0,可得所以-1>一1,

abab

所以故C错误；

ab

对于口a+mab[^a+m)-a[b+m)m[b-a)

9b+mbb(b+m)b(b+m)，

由a>6>0,则^------<0,即^—<-,故D正确.

b+mbb+mb

故选：AD.

三、填空题

4.(2023春・吉林长春•高一校考阶段练习)设。、b为实数,比较两式的值的大小：a2+b22a-2b-2(用

符号>,之<,<或二填入划线部分).

【答案】>

【分析】利用作差比较法求得正确答案.

【详解】因为片+从一(2〃一2人一2)=(“一1)2+3+1)2之0,〃=11=-1时等号成立，

所以〃2+z7222a—2b—2.

故答案为：>

h2n2

5.(2023•全国•高三专题练习)已知〃>0,/?>0,贝!Jp=——a与q=b-一的大小关系是____.

ab

【答案】P"

【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小.

72

【详解】因为。>0,b>0p=--a与q=b——

9ab9

所以=你一/2)3_4)=3_/)0+/)..0,6=4时取等号，

ababba

所以P-4.

故答案为：p--q.

【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键.

四、解答题

ha

6.（2023・高三课时练习）（1）已知〃>人>0,c<J<0,求证：——<--；

a-cb-d

（2）设X,yeR,比较（尤与孙（x-y）2的大小.

【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析

【分析】（1）由不等式的性质即可证明.

（2）要比较与孙（尤一〉）2的大小，将两式做差展开化简，得到（x-y）2、+|/即可判断正负并比

较出结果.

11

【详解】（1）由a>b>0,cVdVO,得一c>-d>0,a-c>b-d>0,从而得。<——<----

—cb—d

「ba

又a>b>0,所以——<-~

a-cb-d

（2）因为（/一产丫—xy^x—y）1=x4+y4—^y—xy3=xi（x—y）+y3（y—x）

=（x-y）（x3-/）=（%-y）2（x2+%y+/）=（%-y）2++|/上。，当且仅当x：

y时等号成立,

所以当x=y时，卜2_力-=肛（x_y）2；

当时，（无2_,2）->孙（了-'）2.

ab1—i—

7.（2023•全国•高三专题练习）比较下+-7=与6+扬（。>0,8>0）的大小.

7b7a

【答案】-y=+-j=>4a+4b

7b7a

【分析】做差化简，分情况讨论比较大小.

Pl

当〃泊时,>0,

0)

…ab

即为+笈

Pl

当时,0,

a)

ab

即为+访

题型三已知不等式的关系，求目标式的取值范围

⑨^策略方法

1.判断不等式是否成立的方法

⑴不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件.

⑵特殊值法：利用特殊值排除错误答案.

⑶单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、募函数等

函数的单调性进行判断.

2.利用不等式的性质求取值范围的方法

⑴已知x,y的范围，求R(x,y)的范围.可利用不等式的性质直接求解.

(2)已知/(x,y),g(x,y)的范围,求尸(尤,y)的范围.

可利用待定系数法解决，即设R(x,y)=mf(x,y)-hng(x,y),用恒等变形求得机，n,再利用不等式

的性质求得R(x,y)的取值范围.

【典例1]已知a—6e[0,l],a+6e[2,4],贝14a—2b的取值范围是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【答案】B

【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.

【详解】设4a—26=m(a—b)+”(a+b)=(m+〃)a—(祖―,

所以解得广=:所以4a-2b=3(a-6)+(a+3，

[m-n=2

X«-&e[0,l],a+&e[2,4],所以3(a-b)e[0,3],4a-2be[2,7],故A,C,D错误.

故选:B.

【题型训练】

一、单选题

1.(2023・全国•高三专题练习)已知2<。<3,-2<。<-1,则2。-人的取值范围为()

A.(0,2)B.(2,5)C.(5,8)D.(6,7)

【答案】C

【分析】由不等式的性质求解

【详解】2Vav3,-2<b<—1,

故4<2a<6,l<—b<2,得5<2a-6<8

故选：C

2

2.（2023・全国•高三专题练习）己知一3<以一2,3<6<4,则幺的取值范围为（）

b

A.（1,3）

【答案】A

2

【分析】先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出幺的范围.

b

2

【详解】因为一3<a<—2,所以a2d（4,9）,而3Vb<4,故幺的取值范围为（1,3）,故选：A.

b

3.（2023秋・广东•高三校联考期末）已知心。-6W3,3<a+b<l,则5。+人的取值范围为（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

【分析】根据不等式的同向可加性，结合待定系数法可得5a+b=2（a-b）+3（a+b）,即可得5。+6的取值范围.

、…人fm+n=5fm=2

【详解】解：^5a+b=mya-bj+nya+b）-\jn+ri）a+\n-m）b,所以j3，

贝！|5〃+Z?=2（a—Z?）+3（〃+Z?）,又1K〃一Z?<3,3<a+b<7

所以2W2（a-b）W6,9<3（a+^）<21,由不等式的性质得：1142（4-切+3（0+6）427,

则5a+6的取值范围为[11,27].

故选：D.

[l<a+b<3

4.（2023・全国•高三专题练习）已知当6且满足।…则4a+2）的取值范围是（）

[—1<a—b<1

A.[0,12]B.[4,10]C.[2,10]D.[2,8]

【答案】c

【分析】设4"+2匕=&（。+人）+3（。一切，求出A3结合条件可得结果.

A+B=4

【详解】^4a+2.b=A（a+b）+B（a-b）,可得

A-B=2

（A=3

,4〃+2Z?=3（〃+/?）+〃-b,

1<«+&<33<3（a+b）<9

因为可得

-l<a-b<l—1<a-b<1

所以2K4a+2b410.

故选：C.

5.(2023秋•贵州铜仁•高三统考期末)已知实数x,y分别是方程6+lf-11=1的解，则2x+y的取值范围是()

A.[0.2]B.[-2,2]C.[0,3]D.[-3,3]

【答案】C

【分析】根据实数x,y分别是方程+□的解可得OVxVLOVyVl,进而可得0V2尤+”3.

【详解】因1力+]-1|=1表示实数t的范围是[0』],

所以0yW1.

所以0W2x+yW3,

且当(x,y)=(l,D时，2x+y有最大值是3；

当(x,y)=(0,0)时，2x+y有最小值是0.

故2x+y的取值范围是[0,3].

故选:C.

二、多选题

6.(2023・全国•高三专题练习)已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,则()

A.x的取值范围为(-1,2)B.>的取值范围为(-2,1)

C.*+丁的取值范围为(-3,3)D.x—y的取值范围为(-1,3)

【答案】ABD

【解析】利用不等式的性质直接求解.

【详解】因为T<2x-y<4,所以-2<4x-2y<8.因为一3<x+2y<2,所以一5<5x<10,贝!J-l<x<2,故A正

确；

因为一3<x+2y<2,所以-6<2x+4y<4.因为一1<2无一y<4,所以T<-2尤+y<l,所以一10<5y<5,所以

-2<y<1,故B正确；

936114

因为一3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一]<：(无+2y)<],-1<y)<二，贝(j-2<x+y<2,故C错误；

2133312

因为一3<x+2y<2,—l<2x—y<4,所以一(<一](尤+2y)<g,-1<](2x-y)〈(，贝！—故D正确.

故选：ABD.

7.(2023春•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)已知a>0,b>0,且满足+b>^+-.则/+〃

abba

的取值可以为()

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

【分析】根据条件及基本不等式可得/+62>11,进而即得.

【详解】因为41/>>S(+1-,

abba

所以"24+?,b2>5+-,

ba

故1+从24+?+5+229+210.2=11,

ba\ba

当〃2=4+—,户=5+2且：=2,而。=6时即等号不能同时成立，

baba

所以故AB错误，CD正确.

故选：CD.

三、填空题

8.（2023・全国•高三专题练习）已知（尤-1）2>4,则三产的取值范围是

【答案】（1,2）鼻

9।1

【分析】先根据（尤-1）2>4求出X的范围，利用X的范围可得干r的取值范围.

【详解】因为（x-l）2>4,所以x-l>2或x-lc-2,即x>3或X<-1；

当x>3时，0<-<1,所以2=2+，e（2,：〕；

x3XX3J

当x<-l时，-1<-<0,所以卫^+二⑪）；

XXX

故答案为：（1,2）上,：］.

9.（2023・全国•高三专题练习）已知-4<。一。<一1,-l<4a-c<5,9a—c的取值范围是

【答案】［T,20］

【分析】设9a-c=〃2（a-c）+M4a-c）,解出〃解，再利用不等式的可加性求解即可得出.

【详解】设9a—c=zn(a—c)+几(4a-c),Bp9a-c=(m+An^a-(m+ri)c,

5

m=——

m+4n=93

I,解得

m+n=l8

n=—

3

V-4<a-c<-l,|<-|(a-c)<y@,

QQ4。

①+②，<-l<9«-c<20,即9a-c的取值范围[T20].

故答案为：［-1,20］.

题型四不等式的综合问题

【典例1】4.若正实数满足且lna」n》>0,则下列不等式一定成立的是（）

A.log->0B.a-b>-~—C.3aHi<3。+)D.ab~x<ba~l

flbba

【答案】D

【分析】根据函数单调性及InelnQO得到O>1或Ovbvavl,分别讨论两种情况下四个选项是否正确,A选项可

以用对数函数单调性得到出选项可以用作差法,C选项用作差法及指数函数单调性进行求解,D选项，需要构造函数进

行求解.

【详解】因为a>b>O,y=ln%为单调递增函数，故lna>lnb,由于Ina-lnZ;〉。,故lna>lnb>。,或lnb<ln〃<。，

当ln〃>lnZ?>0时,〃>人>1,贝！此时log.—<0；

bb

117(a-b\z7、("T)八田11

a-bK---\--=a-b-\----=(a-b]------->0，故a—b7>----；

ba\ab)abba

而+1—(〃+/?)=(〃一—即"+1>Q+Z?,所以3aHi>3。+“

当ln/?<lna<0时,OVZ?VQvl,贝!|—>1,此时log。—<0,

bb

117(a-b}(—八川11

a-bK---\--=a-b-\----=(a-b)------<0，故a-b7<----;

ba\ab)abba

=所以3加1>3a+b;

故ABC均错误；

对于D选项,ab-l<,两边取自然对数,伍—1)In(a—1)In%

因为不管还是。vhvavl,均有(〃-1)仅-1)>0,

InaInZ;

所以一

a—\b-1

jrIna\nb

故只需证一7V「■即可.

a-1b-1

I11

Inx1----InX

设"无)=T1■(尤>0且xwi)'则((尤)=--~—

令g(x)=l一」一lnx(x>0且无wl),

则g，(x)=H宁,

当xe(O,l)时,g，(x)>0,当xe(l,+oo)时,g<x)<0,所以g(x)<g⑴=0,

所以/'(力<0在x>0且xHl上恒成立,

故"无卢若(x>0且方1)单调递减，

因为。>以所以"〈兽，结论得证，所以D正确.

a-1b-1

故选:D.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）己知正实数无，y满足x+y=l,则下列不等式恒成立的是（）

A.x2+j2B.©”尤^C.<|D./-X-V<!

【答案】D

【分析】利用特殊值判断AC,利用不等式性质及指数函数单调性判断B,根据排除法判断D.

【详解】取x=y=1,则f+丁=」+1_=］_w正不成立，故A错误；

24422

由^7=（二）*7,当l>x>y>0时，±>l,x-y>0,所以（土厂一〉>（二）°=1,

%，yyyy

即/产>x>y,故B错误；

i

8

所以故C错误;

由ABC错误，排除法知，故D正确.故选：D

2.（2023・全国•高三专题练习）已知。>6>工>0,则下列结论正确的是（）

a

B.bg/vlog,

~bb

711

Q；

log£a<log,bD.b——<a——

,~b~aab

【答案】D

【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即

可得答案.

【详解】因为。>。>工>0,所以。>1,

a

对于A：0<|<1,a-b>0,所以<［：］=1，故A错误;

对于B：y>l,所以y=l°g^x在(0,+s)上为增函数,

bb

又a>b,所以log">log»,故B错误；

bb

对于C：log±a-log/=log&a+logJ=logq.，

babbb

因为@>1,ab>\,所以10gqM>log*=°,

bbb

所以l