2023年四川省广安市中考数学真题卷（含答案与解析）

广安市2023年初中学业水平考试试题

数学

注意事项：

1.本试卷分为试题卷（1-4页）和答题卡两部分.考试时间120分钟，满分120分.

2.考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位

置，待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号与自己准考证上的信息

是否一致.

3.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题答案用黑色墨迹签字笔

答在答题卡上的相应位置.超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑.

4.考试结束，监考人员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷一并收回.

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上.本大

题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.-6的绝对值是（）

11

A-6B.6C.--D.-

66

2.下列运算中，正确的是（）

24632β222（加丫二—城必

A.a+a=aB.3a∙4a^l2aC.（2«+/?）=4«+⅛D.—2

3.2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消

费加速回升.1-2月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长1（）.8%.请将116亿用科学记数法表

示（）

A.1.16×109B.1.16×10'°C.1.16×lθ"D.116×108

4.如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（）

正面

5.下列说法正确是（）

A.三角形的一个外角等于两个内角的和

B.对角线相等且互相垂直四边形是正方形

C.在一组数据11,9,7,8,6,8,12,8中，众数和中位数都是8

D.甲乙两组各1（）名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差踹=0.25,

乙组的方差SW=O.15,则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定

6.已知“，b,C为常数，点P（a,C）在第四象限，则关于X的一元二次方程分2+foχ+c=o的根的情况

为（）

A.有两个相等的实数根B,有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判定

7.如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升

一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间X（单位：s）之间的函数

8.为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图，%、%分别表示燃油汽车和燃气汽车所需

费用》（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每

千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为X元，则可列方程为（）

251025_1025_102510

D.----------=—

x3Λ-0.1x3Λ+0.13Λ+0.1x3x-0.1X

9.如图，在等腰直角一ABC中，NAeB=90°,AC=BC=2加,以点A为圆心，AC为半径画弧，交

AB于点E，以点8为圆心,BC为半径画弧，交AB于点尸，则图中阴影部分的面积是（)

A.兀一2B.2π-2C.2π-4D.4π-4

10.如图所示，二次函数y=αχ2+∕zx+c（α∖b、C为常数，。X。）的图象与X轴交于点

A（—3,0）,3（1,0）.有下列结论：①ObC>0；②若点（-2,χ）和（-0.5,%）均在抛物线上，则X<%;

③5"—%+c=O；④4α+c>0.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（请把鬟简答案填写在答题卡相应位置.本大题共6个小题，每小题3分，共18

分）

11.标的平方根是.

12.函数y=近亘中，自变量X的取值范围是.

x-l

13.定义一种新运算：对于两个非零实数a、b,凉初=日+苔.若2※（—2）=1,则（—3僻3的值是

ab

14.如图，_ABC内接于OO,圆的半径为7,ABAC=^,则弦BC的长度为

15.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，

此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿ICm,且与蜂蜜相对的点8处，则蚂蚁从外壁B处到内壁

A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

U----------------S

-------^z

16.在平面直角坐标系中，点4、A>A3、A4在X轴的正半轴上，点4、B2、B3•在直线

y=3χ（x≥0）上，若点4的坐标为（2,0）,且4444、∆A2B2Ai,∆A3B3A4均为等边三角

形•则点为023的纵坐标为.

三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

（∕τλ0

17.计算：一产24+_±_-2COS60°+∣√5-3∣

<2\21

18.先化简-^--a+∖÷/~,再从不等式一2<a<3中选择一个适当的整数，代入求值.

19.如图，在四边形ABeD中，AC与KD交于点BEJ.AC,DFJ.AC,垂足分别为点E、F,且

20.如图，一次函数y=Ax+9-（々为常数，k≠0）的图象与反比例函数ym='（m为常数，〃?#0）的图

4X

象在第一象限交于点A（l,〃），与X轴交于点3（-3,0）.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式.

（2）点尸在X轴上，45P是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点尸的坐标.

四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30

分）

21.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，。跆拳道四类兴

趣班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整

理后绘制成两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.

（1）本次抽取调查学生共有人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为

___________人.

（2）请将以上两个统计图补充完整.

（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A,B,C,。四类兴趣班中随机选取一类，请用

画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率.

22.“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售AB两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋

和6箱8种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元.

（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？

（2）若某公司购买AB两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过8种的2

倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

23.为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊

ABDE,并沿湖泊修建了人行步道.如图，点。在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，

点AO都在点C的正北方向，BD长为100米，点8在点A的北偏东30°方向，点。在点E的北偏东58°

方向.

（1）求步道DE的长度.

（2）点。处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点O,也可以经点

E到达点3,请通过计算说明他走哪条路较近.结果精确到个位）（参考数据：

sin580≈O.85,cos580≈0.53,tan58o≈1.60,6≈1.73）

24.将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在

下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相

同；③四边形的各顶点都在格点上）.

是轴对称图形是中心对称图形既是轴对称图形既不是轴对称图形

不是中心对称图形不是轴对称图形又是中心对称图形又不是中心对称图形

五、推理论证题

25.如图，以RtAABC的直角边AB为直径作〔。，交斜边AC于点。，点E是BC的中点，连接

OE、DE.

(1)求证：DE是。。的切线.

.4

(2)若SinC=W,Z)E=5,求AO的长.

(3)求证：2DE?=CDOE.

六、拓展探究题

26.如图，二次函数y=χ2+⅛r+c的图象交X轴于点AB,交V轴于点C,点B的坐标为(1,0),对称

轴是直线X=-I,点P是X轴上一动点，PM_Lx轴，交直线AC于点"，交抛物线于点N.

(1)求这个二次函数的解析式.

(2)若点尸在线段Ao上运动(点尸与点A、点。不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此

时点P的坐标.

(3)若点P在X轴上运动，则在》轴上是否存在点。，使以用、N、a。为顶点四边形是菱形？若

存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标：若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上.本大

题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.-6的绝对值是（）

11

A.-6B.6C.--D.一

66

【答案】B

【解析】

【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.

【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6.

故选:B.

2.下列运算中，正确的是（）

A.a2+a4=«6B.3H3∙4α2=12a6C.{2a+b↑=4a2+b2D.（―2/8。渺

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项、同底数嘉的乘法、完全平方公式、积的乘方与募的乘方法则逐项判断即可得.

【详解】解：A、/与/不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；

B、3α3∙4α2=12a5＞则此项错误，不符合题意；

C、（2a+b↑=4a1+4ab+b2,则此项错误，不符合题意；

D、（―2。/丫=—8/卢，则此项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数累的乘法、完全平方公式、积的乘方与累的乘方，熟练掌握各运

算法则是解题关键.

3.2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消

费加速回升.1-2月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长10.8%∙请将116亿用科学记数法表

示（）

A.1.16×109B.1.16×10,°C.1.16×10"D.H6×108

【答案】B

【解析】

【分析】根据科学记数法的定义即可得.

【详解】解：116亿=1.16xlθ2χi（）8=L]6χl（yo,

故选:B.

【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成“X10"的形式，其中

1≤忖＜10,〃为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键.确定〃的值时，要看把原数变

成4时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

4.如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得.

【详解】解：这个几何体的俯视图是：

故选：B.

【点睛】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题关键.

5.下列说法正确的是（）

A.三角形的一个外角等于两个内角的和

B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C.在一组数据11,9,7,8,6,8,12,8中，众数和中位数都是8

D.甲乙两组各1（）名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差其=0.25,

乙组的方差舐=0∙15,则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形的外角定理，正方形的判定，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可.

【详解】解：A.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和，故选项A错误；

B.要加上“对角线互相平分”这个条件，故选项B错误；

C.这列数据从小到大排列为6,7,8,8,8,9,11,12,

8出现了3次，故众数是8,中位数是3^=8,

故选项C正确；

D.方差越小，数据越稳定，故选项D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的外角定理，正方形的判定，众数和中位数的定义，方差的意义等知识，本题

的关键是熟练掌握这些知识点，并能灵活运用.

6.已知c为常数，点P(α,C)在第四象限，则关于X一元二次方程以灰+0=。的根的情况为

()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判定

【答案】B

【解析】

【分析】根据点P(α,C)在第四象限，得出αc<O,进而根据一元二次方程根的判别式△=〃—4αc>0,

即可求解.

【详解】解：点尸(々c)在第四象限，

.∙.Q>O,C<O,

.∖ac<O，

，方程OX2+⅛r+c=0的判别式△=〃—4αc>0,

.∙.方程ax2+hx-^c=O有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点睛】本题考查了第四象限点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，得出A=〃-4αc>0是解题的关

键.

7.如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升

一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间X（单位：s）之间的函数

关系的大致图象是（）

【解析】

【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变.

【详解】解：由浮力知识得：F氮力=G_F浮.力，读数y即为「力，

在铁块露出水面以前，浮力不变，则此过程中弹簧的读数不变，

当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，弹簧的读数逐渐增大，

当铁块完全露出水面后，浮力等于0,拉力等于重力，弹簧的读数不变，

观察四个选项可知，只有选项A符合，

故选:A.

【点睛】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意，掌握一定的物理知识.

8.为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图，X、力分别表示燃油汽车和燃气汽车所需

费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每

千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为X元，则可列方程为（）

251025_1025_102510

A__=_______D.----------=—

x3x-0.1x3x+0.13x+0.1x3%-0.1X

【答案】D

【解析】

【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为(3x-0.1)元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元

时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得.

【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为(3x-0.1)元,

由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等,

则可列方程C25

3x-0.1X

故选：D.

【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键.

9.如图，在等腰直角一ABC中，NACB=90°,AC=BC=2加,以点A为圆心，AC为半径画弧，交

AB于点£，以点8为圆心，BC为半径画弧，交AB于点尸，则图中阴影部分的面积是()

A.兀一2B.2π-2C.2π-4D.4π-4

【答案】C

【解析】

【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE和扇形BCb的面积，再减去AβC的面积即可得.

【详解】解：∙.A5C是等腰直角三角形,

∖/A=?B45?,

AC=BC=2丘，

**•图中阴影部分的面积是S扇形ACE+S南形Bb~SRl.ABC

45π×(2√2)245π×2

—→(2√2)×(2^)

360360

=2π-4,

故选：C.

【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键.

10.如图所示，二次函数y=α√+桁+以小从C为常数，4≠0)的图象与X轴交于点

A(-3,0),B(l,0).有下列结论：®abc>0-,②若点(一2,%)和(-0.5,%)均在抛物线上，则凹<为；

(≡)5α-⅛+c=0:④4α+c>0.其中正确的有()

B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与X轴交点问题逐项分析判断即可.

【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与y轴正半轴交于一点,

.∙.α<0,c>0.

.∙.b<0.

.,.abc>0.

故①正确.

A(—3,0),B(l,0)是关于二次函数对称轴对称,

/.----=-].

2a

2,y)在对称轴的左边，(-0.5,%)在对称轴的右边，如图所示,

•••X<%•

故②正确.

图象与X轴交于点A(—3,0),8(1,0),

.∖9a-3b+c=0,a—Z?+C=0.

.,.IOtz-4Z?+2c=0.

.∙.5a-2b+c=0.

故③不正确.

2a

b=2a.

当X=I时，y=。，

.∖a+b+c=O.

.∙.3a+c=0,

.^.c=-3a,

.∙.4Q+C=4Q-3Q=QVO.

故④不正确.

综上所述，正确的有①②.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以

及与y轴交点.

二、填空题(请把最简答案填写在答题卡相应位置.本大题共6个小题，每小题3分，共18

分)

11.J记的平方根是.

【答案】+2

【解析】

【详解】解：∙.∙JΓ^=4

.∙.Ji石的平方根是±2.

故答案为±2.

12.函数y=立?中，自变量X的取值范围是.

【答案】x，-2且XWl

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论.

【详解】解：由题意可得《x+2，>C0

x-l≠O

解得x》-2且XWI

故答案为：x》-2且x≠l.

【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题

的关键.

13.定义一种新运算：对于两个非零实数a、b,αXb=2+B若2※(-2)=1,则(一3)刈的值是

ab

2

【答案】—

3

【解析】

【分析】先根据2※(—2)=1可得一个关于x,y的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得.

【详解】解：2※(-2)=1,

.∙.ɪ+ɪ=1,即x-y=2,

2

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键.

14.如图，,ABC内接于Of圆的半径为7,ZfiAC=60°,则弦BC的长度为

【答案】7√3

【解析】

【分析】连接08,。。，过点。作OD1BC于点、D,先根据圆周角定理可得NBoC=2NB4C=120。，再

根据等腰三角形的三线合一可得NBOD=60°,BC=2BD,然后解直角三角形可得BD的长，由此即可

得.

【详解】解：如图，连接OB,OC,过点。作OD_LBC于点D,

A

.∙.∕B0C=2NB4C=120。，

QoB=OC,OD上BC,

二NBOO=LNBoC=60。，BC=2BD,

2

∙.∙圆的半径为7,

BD=OBSin60。=工布,

2

:.BC=2BD=7√3，

故答案为：76.

【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角

三角形的方法是解题关键.

15.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜,

此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿ICm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚊从外壁5处到内壁

A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

【解析】

【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作8关于斯的对称点3',根据两点之间线段最短可知AB'

的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EE的对称点夕，作BZ>，A£，交AE延长线于点

连接AB',

由题意得：OE=g8B'=lcm,AE=9—4=5(Cm),

：.AD=AE+DE=6cm,

•；底面周长为16cm,

2`'

.∙.AB'=√AD2+B'D2=IOcm>

由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB'=IOcm,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是

解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

16.在平面直角坐标系中，点4、&、A3、A4在X轴的正半轴上，点用、B2、Bi-在直线

y=*x(x20)上，若点A的坐标为(2,0),且与4、AA2B2A3,AA3B3A4均为等边三角

形.则点为023的纵坐标为.

【答案】22°22G

【解析】

【分析】过点A作AMLx轴，交直线y=4χ(χZ0)于点M,过点名作gCLX轴于点C,先求出

NAOM=30°,再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得AAOAi=2,然后解直角三角形可

得BC的长，即可得点用的纵坐标，同样的方法分别求出点B2,四,B1的纵坐标，最后归纳类推出一般规律,

由此即可得.

*x(x≥O)于点用，过点BI作用CLx轴于点

【详解】解：如图，过点A作AM_LX轴，交直线y

C,

4(2,0)，

,

..OA1—2,

当x=2时，y=^γ-'即

.∙.tanZA1OM=ʌ^-=—,

,A1O3

.∙.ZAtOM=30°,

∙.∙4Λ1B∣4是等边三角形，

o

.*.ZA2AxBx=60,AxA2=AxBx,

・•.No&A=30°=NAOM，

.∙.AiBi=OA1=2,

.∙.B.C=AB.siπ60o=2×-.即点右的纵坐标为2x且,

,η122

同理可得：点脱的纵坐标为2?X立，

2

点田的纵坐标为23X走，

2

点名的纵坐标为2’X走，

2

归纳类推得：点纥的纵坐标为2"χY3=2"-∣6（〃为正整数），

2

20232022

则点B2m3的纵坐标为2-∙√3=2√3，

故答案为：22°22JJ.

【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识

点，正确归纳类推出一般规律是解题关键.

三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

【答案】2-√5

【解析】

【分析】先计算有理数的乘方、零指数累、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得.

【详解】解：原式=-1+1—2x」+3—逐

2

=-l+3-√5

=2-√5.

【点睛】本题考查了零指数累、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键.

<2\21

18.先化简ɪ--a+1÷-,“~√；，再从不等式一2<α<3中选择一个适当的整数，代入求值.

Ia+1Jα^+2«+1

【答案】」一，选择α=0,式子的值为T（或选择ɑ=2,式子的值为1）

【解析】

【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的。的值，代

入计算即可得.

(Q+1)(Q-1)(Q+1)(Q-1)

【详解】解：原式=

Q+1(α+l)2

(a2fl2-∩.+I)?

=-----------------------

1α+l)(Q+1)(Q-1)

1a+i

α+la-∖

1

二----，

Q-I

Q+1≠O,Q-1≠0,

,∖a≠-∖,α≠l,

.-2<a<3,且〃为整数，

.∙.选择α=0代入得：原式="=—1,

O-I

选择4=2代入得：原式=-----1.

2-1

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键.

19.如图，在四边形ABCD中，AC与5。交于点O,BEJ_AC,DF±AC,垂足分别为点E、F,且

AF=CE,ABAC=ZDCA.求证：四边形ABC。是平行四边形.

AD

E

BC

【答案】见详解

【解析】

【分析】先证明,AEB%CED(ASA),再证明AB=CD,AB//CD,再由平行四边形的判定即可得出结

论.

【详解】证明：BELAC,DFJ.AC，

.∙.ZAEB=ZCFD=90°,

AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,

AE=CF,

又∙ZBAC=NDCA,

AEB空CFD(ASA),

AB-CD,

,/ZBACZACD,

：.AB//CD,

四边形ABCr)平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，

证明三角形全等是解题的关键.

9ITl

20.如图，一次函数y=Ax+-(Z为常数，k≠0)的图象与反比例函数y=—(根为常数，机≠0)的图

4X

象在第一象限交于点Λ(l,n),与X轴交于点β(-3,0).

(I)求一次函数和反比例函数的解析式.

(2)点P在X轴上，ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标.

393

【答案】(1)一次函数的解析式为y=—x+—，反比例函数的解析式为y=2

-44X

(2)(-8,0)或(2,0)或(5,0)

【解析】

【分析】(1)根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；

(2)首先利用勾股定理求出得AB的长，再分两种情形讨论即可.

【小问1详解】

O

解：把点3(-3,0)代入一次函数y=依+w得，

9

-3⅛-=0,

+4

3

解得：k=一,

4

39

故一次函数的解析式为y=-x+-,

44

3o3Q

把点代入y=[x+1,得〃=]+^=3,

∙∙∙A(L3),

把点A(l,3)代入y=生，得m=3,

X

3

故反比例函数的解析式为ʃ=-;

X

【小问2详解】

解：8(-3,0),A(I,3),AB=5,

当AB=PB=5时，P(-8,0)或(2,0),

当B4=A6时，点RB关于直线X=I对称，

.∙.P(5,0),

综上所述：点P的坐标为(-8,0)或(2,0)或(5,0).

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识,

运用分类思想是解题的关键.

四、实践应用题(本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30

分）

21.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，。跆拳道四类兴

趣班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整

理后绘制成两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.

（1）本次抽取调查学生共有人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为

___________人.

（2）请将以上两个统计图补充完整.

（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A,B,C,O四类兴趣班中随机选取一类，请用

画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率.

【答案】（1）60,300

（2）见解析（3）-

4

【解析】

【分析】（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000

乘以喜欢跆拳道的学生所占百分比即可得；

（2）先求出喜欢书法的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜欢舞蹈和跆拳道的学生所占百分比，据

此补全扇形统计图即可得；

（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择

同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得.

【小问1详解】

解：本次抽取调查学生的总人数为18÷3O%=6O（人），

估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为3000X—=300（人），

60

故答案为:60,300.

【小问2详解】

解：喜欢书法的学生人数人60x35%=21(人),

喜欢舞蹈的学生所占百分比为一XIOo%=25%,

60

喜欢跆拳道的学生所占百分比为2χioo%=ιo%.

【小问3详解】

D

乙ABCDABCDABCDABCD

由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类

的结果有4种，

41

则两人恰好选择同一类的概率为尸=T=―,

164

答：两人恰好选择同一类的概率*

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概

率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键.

22.“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售AB两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋

和6箱8种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱8种盐皮蛋共需310元.

(I)A种盐皮蛋、8种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？

(2)若某公司购买48两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比8种的数量多5箱，又不超过8种的2

倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

【答案】(1)A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元

(2)购买A种盐皮蛋18箱，3种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元

【解析】

【分析】（1）设A种盐皮蛋每箱价格是X元，B种盐皮蛋每箱价格是＞元，根据题意建立方程组，解方程组

即可得；

（2）设购买A种盐皮蛋加箱，则购买B种盐皮蛋（30箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得加

的取值范围，再结合加为正整数可得团所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费

用最少的购买方案即可.

【小问1详解】

解：设A种盐皮蛋每箱价格是X元，8种盐皮蛋每箱价格是V元，

9x+6y=390

由题意得:

5x+8γ=310

X=30

解得《

y=20

答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，8种盐皮蛋每箱价格是20元.

【小问2详解】

解：设购买A种盐皮蛋加箱，则购买B种盐皮蛋（30一加）箱，

购买A种的数量至少比8种的数量多5箱，又不超过8种的2倍，

m≤2（30-∕n），

35

解得一≤m≤20,

2

又，”为正整数，

..，〃所有可能的取值为18,19,20,

①当加=18,30—加=12时，购买总费用为30x18+20x12=780（元），

②当机=19,30-加=11时，购买总费用为30x19+20x11=790（元），

③当m=20,30—机=10时，购买总费用为30x20+20x10=800（元），

所以购买A种盐皮蛋18箱，8种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解

题关键.

23.为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊

ABDE,并沿湖泊修建了人行步道.如图，点。在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，

点Ao都在点C的正北方向，8。长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点。在点E的北偏东58°

方向.

（1）求步道OE的长度.

（2）点。处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点O,也可以经点

E到达点。，请通过计算说明他走哪条路较近.结果精确到个位）（参考数据：

sin580≈O.85,cos580≈0.53,tan58o≈1.60,^3≈L73）

【答案】（1）200米

（2）A→8→O这条路较近，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案.

（2）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出AB和AE的长度，比较AB+8D和

AE+a）即可求出答案.

【小问1详解】

解：由题意得，过点。作。F垂直AE的延长线于点尸，如图所示，

点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点都在点C的正北方向,

.∙.AE±AC,DClAC,

QDFzAF)

.∙.ZE4C=ZBCA=ZDFE=90o，

：.ACf)E为矩形.

..DF=AC.

Ae=I70米,

.∙.r>/=170米.

DF170

在RtADFE中,200米.

sin58o^O85

故答案为：200米.

【小问2详解】

解：A→3→。这条路较近，理由如下:

NMB=30°,ZEAC=90°,

.∙.NBAC=60°.

AC=I70米，√3≈1.73,

,

ΔΓ1

・・・在Rt_5AC中，AB=---------=170÷-=340米.

cos6002

CB=AC∙tan60。=170G=I70x1.73=294.1米.

ACD尸为矩形，Br)=Ioo米,

.∙.CD=AF=GB+DB=294.1+100=394.1米.

DF170

•.在RtADPE中,EF==——=106.25米.

tan58°1.60

..AE=AF-EF=394.1-106.25=287.85米.

结果精确到个位,

.∙.AE+ED=287.85+200=487.85≈488米.

AB+OB=340+100=440米.

.∙.AE+ED>AB+DB.

从A→B→。这条路较近.

故答案为：A→B→O这条路较近.

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，矩形的性质，解

题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长.

24.将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在

下列网格中画出你拼成的四边形(注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相

同；③四边形的各顶点都在格点上）∙

是轴对称图形是中心对称图形既是轴对称图形既不是轴对称图形

不是中心对称图形不是轴对称图形又是中心对称图形又不是中心对称图形

【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可）

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可.

【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形ABCD即为所

求；

②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形ABCQ即为所求：

③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形ABCZ）即为所求；

④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形ABCQ即为所求.

【点睛】本题

是轴对称图形是中心对称图形既是轴对称图形既不是轴对称图形

不是中心对称图形不是轴对称图形又是中心对称图形又不是中心对称图形

考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一

个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180°能够和原图形重合.

五、推理论证题

25.如图，以RtZXABC的直角边AB为直径作OO,交斜边AC于点Z）,点E是BC的中点，连接

OE、DE.

C

(I)求证：DE是OO的切线∙

..一4

(2)若SInC=二，。£=5,求Ao的长.

(3)求证：2DE?=CDOE.

32

【答案】(1)见详解(2)二

3

(3)见详解

【解析】

【分析】(1)连接80,QD,先根据直角三角形的性质，证明6E=r>E,再证明AQBEWoDE(SSS)即

可；

(2)由(1)中结论，得BC=2OE=10,先根据三角函数及勾股定理求出BD,CO的长，再证明

△ADBsZ∖BQC即可；

(3)证明二08£s_BDC即可得出结论.

【小问1详解】

证明：连接BD,OO,

在RtZXABC中，ZABC=90°,

AB是。的直径，

.∙.ZADB=90°,即BDlAC,

在Rt..BDC中，点E是BC的中点,

.∙.BE=DE=-BC,

2

又OB=ODyOE=OEf

OBEROZ)E(SSS),

：.NoBE=NODE=90°,

。在iO±.

∙.DE是。的切