2022-2023学年江西省临川一中上学期期中考试理科数学试卷及答案

临川一中2022-2023学年度上学期期中考试

高三年级数学理科试卷

卷面满分：150分考试时间：120分钟

一、单选题（每题5分，共60分）

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},8={4,7,8},贝！J(CuQuB=()

A.{7,8}B.{1,2,6}C.{1,2,4,6,7,8}D.{1,2,6,7,8)

2.已知i是虚数单位，若2+i=z（l-i）,贝||二对应的点在复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知命题p：“三”>0,有。+1<2成立"，则命题p的否定为（）

a

A.Va<0,有。+卜2成立B.Va>0,有a+_L云2成立

aa

C.3«<0,有“+1云2成立D.3a>0,有“+上2成立

aa

4.“嘉函数〃x）=（疗+机7.”在（0,用上为增函数，，是，，函数g（x）=2'-/.2T为奇函数,，的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

5.对于任意实数。、b、c、d,下列命题中，真命题为（）

①若a>b,c>d,则a—c>8—d；②若a>力>0,c><Z>0,则ac>8d；

④若a>Z»>0,则1>1.

③若a>5>0,则%>3力；

Vw

A.①②B.②③C.①④D.①③

6.已知曲线y=4不在点（1,4）处的切线的倾斜角为则J瑞金用()

A.*B.gC.2^2D.1

22

7.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个

节气的唇长损益相同（遇是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子

的长度）.二十四节气及号长变化如图所示，相邻两个节气遇长减少或增加的量相

同，周而复始.已知每年冬至的唇长为一丈三尺五寸，夏至的辱长为一尺五寸

（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）

A.相邻两个节气唇长减少或增加的量为十寸

B.秋分的唇长为75寸

C.立秋的唇长比立春的号长长

D.立冬的唇长为一丈五寸

试卷第1页，共4页

8.在AABC中，A,B,C分别为“8C三边。、b、c所对的角.若cos8+百sin8=2且满足关系式

cosBcosC2asinB…一川3e士々位/、

+=,则nil“8C外接圆直径为()

bc3c

B.2C.4D・3j2

9.定义在R上的偶函数f(x)满足〃2-x)=/(x+2),当xe[0,2]时，/(%)=1各，若在区间xw[0[0]内，函数

g(x)=/(x)-〃aT,(加>0)有5个零点，则实数m的取值范围是()

「e-1e-l\e5-1e-1e-1'e-l~|

B.(°F)C.(——,——)D.0,——,

A.[，/I10J

l106116

m数学美的表现形式多种多样’我们称离心率其中由年)的椭圆为黄金椭圆’现有一个黄金椭圆

y2

方程为+〃=1,(。>〃>0),若以原点O为圆心，短轴长为直径作。。，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点,

a

h2

过尸作。。的两条切线，切点分别为A,B,直线A8与X,y轴分别交于M,N两点，则()

11

A._B.69C.-coD.

CDCD

11.已知定义在(一2,2)上的函数/(X)导函数为/'㈤,若〃x)+e4"(-％)=0,/⑴=e2且当x>0时,

Z'(x)>2/(x),则不等式e2x/(2-x)<e4的解集为()

A.(l,4)B.(-2,1)C.(0,4)D.(0,1)

12.若函数/(x)=*+a(尤-1)+人在区间J,1]上有零点，贝!14+及的最小值为

2

4-e1

A___B.e2C.—D.e

52

二、填空题(每题5分，共20分)

13.已知向量”，方满足a=(3,4),a-h=6,b"=7则同=.

14.已知〃x)为偶函数且。(x)dr=4,贝！|『,(2/。)+屁闺粒等于.

15.如右图，将函数/(x)=A8s(侬+0(4>0,。0,-次"0)的图象上所有点向右平移

所示的函数y=g(x)的图象，若〃o)+/1?「a+仇(a,b〉0),则L+L最小值为

I)ab

16.已知菱形ABC。的各边长为2,4>=60.如图所示，将AACO沿AC折起，

使得点。到达点S的位置，连接SB,得到三棱锥S-ABC,此时SB=3.若E是

线段SA的中点，点尸在三棱锥S-ABC的外接球上运动,且始终保持EF1AC

则点F的轨迹的面积为.

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三、解答题

4w+,4

17.（12分）已知数列｛4｝的前〃项和工=亍一

⑴求数列的通项公式；

（2）若“=凡+log2”“，求数列｛a｝的前”项和7；.

18.（12分）如图，在边长为2的等边AABC中，D,E分别为边AC,AB的中点.将^ADE沿QE折

起，使得ABLAD,得到四棱锥A—BCDE,连接BD,CE,且B。与CE交于点H.

⑴证明：AHYBDt

⑵设点8到平面AED的距离为凡,点E到平面AB。的距离为

%

匕求丁的值.

«2

19.（12分）甲，乙两位同学组队去参加答题拿纪念币的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，

乙同学才有机会答题，乙同样也是答两道题.每答对一道题得10枚纪念币.已知甲每题答对的概率均为P,乙第一

2115

题答对的概率为々，第二题答对的概率为百•已知乙有机会答题的概率为京.

32lo

⑴求〃；

⑵求甲，乙共同拿到纪念币数量X的分布列及期望.

20.（12分）已知双曲线C与双曲线x2_）'2=有相同的渐近线，且过点A（22,-1）.

—一1

⑴求双曲线c的标准方程；123

⑵已知点。（2,0）,E,尸是双曲线C上异于。的两个不同点，且1瓦+而卜［5后-而证明:直线EF过定点，并

求出定点坐标.

试卷第3页，共4页

21.(12分)已知函数/(x)=e，—or,dx)=/(x)+sin2x,(awR),其中e。2.71828为自然对数的底数.

⑴讨论函数.的单调性，

（2）若aeN*,当xNO时，々x）N0恒成立时，求。的最大值.（参考数据：e3«20.1）

四.选做题（共10分，请考生在22,23题任选一题作答，如果多选，则按所做第一题记分）

22.（10分）以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，方段胃弧围手的理

边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形。尸。为勒洛三角形，且「上,-：1,Q（\2n

IJI

以极点。为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy,曲线G的参Q

xWt

数方程为｛21a为参数).

y=-1+.1

2

⑴求丽所在圆的直角坐标方程;

⑵已知点"的直角坐标为（0,-1）,曲线G和圆G相交于4,8两点，求

\MA\\MB\

23.(10分)已知函数/(x)=|x+l[+卜]

⑴设/（x）的最小值为m,求加；

⑵若正数a,b,c满足。4？=根，证明：a+」+。2I+।

beacababc

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临川一中2022-2023学年度高三上学期期中考试数学试卷答案(理)

一、单选题

1【答案】c

【详解】为4={1,2,6,7,8},贝!j(aA)U8={l,2,4,6,7,8}.

故选：C

2【答案】A

【详解】解：由2+i=z(l-i),得=Pi,

1-i(l-i)(l+i)22

3【答案】B

【详解】解：根据特称命题的否定是全称命题即可得命题p：“加>0,有“+^2成立”的否定是“Vn>0,

a

有。+।云2成立”，

a

故选：B

4【答案】A

【详解】要使函数/(x)=(W+机-1)/是幕函数，且在(0,+8)上为增函数，

贝！1=L解得：m=l,当机=1时，g(x)=2,一2一"xeR,

［加>0

则8(-力=2-工-2'=-(2，-27)=-4力所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立；

“函数g(x)=2L/27为奇函数”，

则g(x)=~S(~X)>即2*-zn2-2T=-(2~x-m2-2*)=nr-2X-2-,

解得：m=±},故必要性不成立，

故选：A.

5【答案】B

L2

【详解】解：因为y=4._x,则

则曲线y=4花在点(1,4)处的切线的斜率为左="1=2,又倾斜角为g

试卷第I页，共10页

1+sinM+cosa_____l+sir)QH~cosa_______l+sina+cosa

所以叫=2则「诙手不二p，

32。c.aa1a

2cos—+2sin—•cos—1+tan—[

222-------='.故选：B.

aao

2sin2-+2sin--cos—tanz9-Ftan—乙

22222

6【答案】B

【详解】对于①，b)+(d-c),无法判断是否大于零,

当。=18=0,。=0,1=—2时，贝!]。一。<匕一d,故①错误;

对于②，根据不等式性质，同向同正可乘性，可得②正确;

对于③，根据不等式性质，正向可开方性，可得③正确；

22

11b-a(b-a｝(b+a)22(b-a](b+a]

对于④，-=______=，a>b>0f-b-a<0,b+a>0,ab>。，贝!J<0,

a2b242匕2〃282

故,可得④错误.

故选：B.

7【答案】C

【分析】由题意可知夏至到冬至的辱长构成等差数列，其中。尸15寸，©3=135寸，公差为d寸，可求出d,

利用等差数列知识即可判断各选项.

【详解】由题意可知夏至到冬至的号长构成等差数列｛为｝,其中q=15寸，外=135寸，公差为d寸，则

135=15+12J,

解得d=10(寸)，

同理可知由冬至到夏至的号长构成等差数列｛"｝,首项"=135,末项仇3=15,公差d=-10(单位都为寸).

故选项A正确;

春分的唇长为%，:.&=瓦+6，1=135-60=75

,秋分的唇长为％,，a7=ai+6d=15+60=75,所以B正确;

・•・立冬的唇长为为o，.••%()=%+94=15+90=105,即立冬的薯长为一丈五寸,D正确;

・•・立春的唇长，立秋的号长分别为〃，4,

...%=。|+3</=15+30=45,d=A+3d=135-30=105,

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；上4＞他9故错C误.

8【答案】B

【分析】由cosB+旃nB=2,推导出8=60。，由竺£+竺吧吗推导出以

bc3c

【详解】cos8+&sin8=2,

2sin(B+30°)=2,可得sin(3+30°)=1,又30VB+30<210

B=60,

cosBcosC2asin3「2tzZ?sinB

+=,ccosn+/?cosC=,

bc3c3

sinCeosB+sinBcosC=sinAsinB,sin(C+5)="sinAsin8,

33

,3131「

2bb==——=3

1=sinB,2sinB2/3.

3

2

9【答案】D

【详解】由题，令x+2替换x,贝！]/[2-(尤+2)]=/(T)=/[(X+2)+2]=/卜+4),

又/(x)是偶函数，所以/(-x)=/(x),则/(x+4)="x),所以/(x)是周期函数，7=4,

•【答案】A

【详解】依题意有OAPB四点共圆,将两圆方程：，+,2=。2与一瓶+产一%y=o相减，得

lAB.xx0y%=及，解得MC_,o)N(0,q，因为

+%%

b2a2x2cryb2x2+a2y2

22a2b221

ba___+______oDo_Uoo__

i____

42444b2,所以

"2bb&bbbb5/5-1co

~2-2

X。%

1【答案】A

解：令g(x)=Zill则由/(x)+e4"(—x)=0得g(x)+g(-x)=0,

g(x)为奇函数

•于(x)—/(x),

又g(x)=------------，，当x〉0时，g(x)〉0,g(x)单调递增,g(x)在(-2,2)上单调递增

e2v

4(2-X)2<2x<2

又g(i)=/(D=1,^'/(2-x)<e=>^<1=>g(2—x)<g(I)nf--j<x<4

e-zj2-x<l

选A

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2【答案】A

【分析】

设，为函数〃x)的零点，则d+a(f—1)+6=0,转化为S㈤在直线什―l)x+y+d=O

上，根据/+/表示点(。泊)到原点的距离的平方，得到标+,构造新函

(r-i)2+r

数g(t)=«_；；+F,利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解

K详解】

由题意，函数+a(x-l)+6,

设/为函数〃x)在［Q1］上的零点，则d+a«-l)+b=O,

即(7-l)a+6+d=0,即点(a.b)在麾戋(，-1)工+'+"=0上,

又由1+b-表示点(。泊)到原点的距离的平方,

则依+，＞=_LJ=.,即〃+〃2—T

令g(')=K呆不

则g'«)=

因为/'>0,，一且+3>0,所以g'(7)>0.

14e

g⑺在［_,1］单调递增.g⑺最小值为_.

25

二、填空题

13.【答案】6

14.【答案】16

【答案】1

25

16.【答案】—71

12

【详解】取AC中点M,则ACIBM.ACA.SM,BM(}SM=M,

ACJ_平面SMB,SM=MB各，又SB=3,

；2BM=ZMSB=30,

3

贝(J三棱锥S—ABC的高/?=sin45MSB=；

2

三棱锥S-ABC体积为yJx%2*3;叵；

3422

作£771.4。于“，设点尸轨迹所在平面为明

则平面a经过点“且ACLa,

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设三棱锥S-ABC外接球的球心为。,ASAC,ABAC的中心分别为。,。2,

易知平面弘C,。。口平面BAC,且四点共面,

由题可得NOM0=ZO1MO,=60,OtM=-SM=—>

212133

2

解RtaO。"，得00产、JqM=l,X(?IS=15A/=^-

易知。到平面a的距离d=M4=l,

2

故平面礴外接球所得截面圆的半径为r〒/仁庐二^--=—

,V346

二截面圆的面积为生乃

12

三、解答题

17.【答案】(1)%=4"(〃wN*>

4"”一4、

(2)Tn=---+〃斗〃.

4/,+|4424

【详解】⑴因为S“=3-逅N)；当〃=1时，％/=3-3=4,.............................1

当〃22时，…STI」'—、"露-4"='J,

................................3

(33八33)33

因为a=4也满足a=4"，.....................................................................................................................4

1n

综上，a,=4"(neN,)；.......................................................................................................................5

⑵由题可知如“川°g4"+2〃，..........................................................................................6

所以〈=(4+4至4?…+4)'+2(1+2+3+…+〃)8

4(l-4n)(1+〃)"4"i-4，

=+2x*=+层+〃

1-423(求到一组得2分)..............................12

试卷第5页，共10页

18.【答案】（1）见解析；（2）芷

3

【详解】（1）证明：在图1中，•[ABC为等边三角形，且。为边AC的中点，..BDLAC,...1分

在△BCD中，BDLCD,BC=2,8=1,r.B"3，

QD、E分别为边AC、4B的中点，:.ED//BC..............2分

r\i,jED1I3

在图2中，有/.DH=BD=j..............3分

HBBC~233

在Rt/iBAO中,BD=3,A。=1，

DBDAr-

在△BAD和^AHD中，;==3,ZBDA=4ADH,

DADH“

:.^BAD^^AHD.............................................4分

."4"。=NBA。=90。，即A/7_L3O；...........................6分

（2）•^H-AED=^E-ABD,

^^h=lS.,则：=.......................

A2h8分

JJ%即

•.•“ED是边长为1的等边三角形，S=Z...........

A£D9分

在RtdB。中，BD=J~,AD=1,则43=7

10分

则从二小............................................12分

为3

19.【答,案】（1）。=3：；（2）分布列见解析，£（X）4=15_

416

【详解】（1）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.

所以乙有机会答题的概率为P=l-（l-p）2=—

16

3

解得P=;...........................................3

4

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(2)X的可能取值为0,10,20,30,40；...............................4

31111

P(X=iq=CXXXX

443216

3仔」J12113

p(X=30)=x+C1—xxx=

4K3232)12(4J143232

P(X=40)=(jx；x；=]：...................................9

所以X的分布列为：

X010203040

119133

P

1616323216

...........................................................................................................................10

i5341?)

E(X)=0xl+10xJ_+20x^+30x+4Qx=-.....................12

16163232记记

20.【答案】【答案】⑴'-y2=l

4

(2)证明见解析

【详解】(1)解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，

设双曲线C的标准方程为十=4/=2

代入点A坐标，解得正4

所以双曲线C的标准方程为V：-/=1.....................................................4

4

(2)(i)当直线EH斜率存在时，设石£:七=依+“，_

设£：(为,%)尸(七,％),联立丫=履+机与双曲线;-y2=1,

化简得(4%2-1)%2+Sknvc+4(疗+])=0,

A=(8bn)2-4(4w2+4)(4^2-1)>0,gp4F-/n2-l<0,....................6

试卷第7页，共10页

I8km

内+旺——z——

4P-1

贝！1有1_-*，〃为r，

XX■—

i,24^r

又ya=麻+1"?履K2mkx\fkmx-^^-v/n2,

因为亚+而=而—而，所以QE•。尸=（M—2）（x2—2）+"以=0,..........8

所以（攵、］.bA;1女，一2・工*西+牡-4=七,

所以（温）噌*：1>+4=。,

化简，得3/w24-16km+20k2=0,................................................9

即（3加+10%）（帆+2氏）=0,

所以m=-2k,m=-k,

'23

且均满足4女2—TH2-1<0>

当g=-24时，直线/的方程为丁=%（>2）,直线过定点（2,0）,与已知矛盾，

当然=」；4时，直线/的方程为、=《》-过定色10

（ii）当直线EF斜率不存在时，由对称性不妨设直线OE：y=x-2,

与双曲线C方程联立解得xE=xF=学，此时EF也过点M（J，。1，.

综上，直线EF过定点M（：,0）12

21【答案】（1）由/（x）=ex—内可得/'（X）=/'-。..............1

当avo时，/（X）在（0,+8）单调递增；.............................2

当4>0时，/（X）在（-8,Ina）单调递减；在（lna,+8）单调递增.....4

综上所述，当心0时，/（X）在（0,+8）单调递增；当〃>0时，/（X）在（-oo』na）单调递减；在（lna,+oo）单

调递增..........................................................5

ex+sin2x

⑵当x=。时/（x）W°成立，当x>0时，或x）2°恒成立即”-x,...................6

/、eA+sin2A，/、(ev+sin2x\x-(er+sin2x]eA(x-1)+xsin2x-sin2x

设g(、)=x,则"'》片，令

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0cxv冗

〃(x)=e，(x-l)+xsin2x-sin?x则/?'(x)=x(e*+2cos2x)设p(x)=e，+2cos2r当父时

e、>l,2cos2r>-1,故P(x)>。上-3时,e*>2,2cos2xN-2,故p(x)>0,牡有p(x)>0,故"(x)>。

/、/z(l)=sin2-sin2l=sinl-cosl(2-tanl)>sinl-cos/2-&>

/?(x)017ItanI

故为增函数.又13>，因为

⑶4*

Ie"=铲>2.73>16=24"「一<2^-lV1k3^1O<o

I)，故e">2,所以UJ42UJ424，故存

(乃］

IjI〃(如)=°XG(O,xo)g<x)<0g(x)XG(XO,-K»)g<x)>0

在唯一零点〔J使得，故当时，单调递减，当