2019-2023年五年高考数学真题分类汇编（学生版）

五年高考真题分类汇编

(2019-2023)

学生版

专题01集合与常用逻辑用语

专题02函数的基本概念与基本初等函数I

专题03导数及其应用

专题04立体几何

专题05平面解析几何

专题06三角函数及解三角形

专题07数列

专题08计数原理、概率及统计

专题09平面向量、不等式及复数

专题01集合与常用逻辑用语

［高频考点］

考点一元素与集合关系的判断

考点七充分条件与必要条件

考点二集合的包含关系判断及应用

考点六命题的真假判断与应用

集合与常用逻辑用语

考点五交、并.补集的混合运算

考点四交集及其运算

【考点精析】

考点一元素与集合关系的判断

题目11(2023•上海)已知？={1,2},<5={2,3},若河={引0：€。，00(3},则"=()

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3}

考点二集合的包含关系判断及应用

题目瓦1(2023•新高考H)设集合力={0,—研，3={1,&-2,2&—2},若人£3,则(2=()

A.2B.1C.D.-1

O

题目0]（2021・上海）已知集合A={x\x>—}.,xER},B={x\x2—x—2>0,xGR},则下列关系中，正确

的是（）

A.A^BB.[RAGCRBC.4（13=0D.AUB^R

考点三并集及其运算

题目⑷(2022•浙江)设集合A={1,2},B={2,4,6},则AUB=()

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6)

题目⑸(2020•山东)设集合A={±|lMc43},B={c|2Va;V4}Mij4UB=()

A.{x|2<x<3}B.{力|2=力&3}C.{a;|l<a;<4}D.{T|1<rr<4}

考点四交集及其运算

题目包(2023•新高考I)已知集合”={-2,-1,0,1,2},N={*2_L6>0}』UMnN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

题目叵](2022•上海)若集合A=[—1,2),B=Z,则力C1B=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{-1}

题目⑻(2022.新高考I)若集合M={x\V^<4},N={T|3X>1}，则MPlN=()

{引：

A.{x|0<x<2}B.{x|y^x<21C.340<16}D.

题目叵)(2022•新高考H)已知集合力={-1,1,2,4},8={句比一1|41},则4仆3=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

题目包|(2021•新高考I)设集合4={同一2<3；<4},8={2,3,4,5},则4^3=()

A.{2,3,4}B.{314}C.{213}D.{2}

题目叵1（2021•浙江）设集合4={引力>1},8={引-1<0；<2},则（）

A.{力比>—1}B.{x\x^l}C.{x\—1<T<1}D.{a?|l</V2}

题目至1（2020•浙江）已知集合P={工|1<3；<4},（5={创2</V3},则PCQ=（）

A.{T|1<a;<2}B.{a;12V力V3}C.{N|34/V4}D.{a;|l<x<4}

题目（j?I（2021-上海）已知A={创2多W1},B={-1,0,1},则4nB=

题目叵I（2020•上海）已知集合4={1,2,4},集合B={2,4,5},则AAB=

题目叵I（2019-上海）己知集合A=（-00,3）,B=（2,+oo），则AnB=

考点五交、并、补集的混合运算

题目口61（2021・新高考^）若全集U={l,2,3,4,5,6},集合A={l,3,6},B={2,3,4},则AnCuB=

（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

题目叵）（2019•浙江）已知全集"={—1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},B={T,0,1},则（C以）CIB=

（一）

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

考点六命题的真假判断与应用

题目LJ](2020•浙江)设集合S,T,SJN*,TQN*,S,T中至少有2个元素，且S,T满足:

①对于任意的geS,若力#g,则g/eT；

②对于任意的myCT,若则岂CS.下列命题正确的是()

X

A.若S有4个元素，则SUT有7个元素B.若S有4个元素，则SUT有6个元素

C.若S有3个元素，则SUT有5个元素D.若S有3个元素，则SUT有4个元素

考点七充分条件与必要条件

题目叵I(2020•上海)命题p：存在aCA且aWO,对于任意的zCA,使得/Q+a)</(x)+/(a)；

命题q"(c)单调递减且/Q)>0恒成立：

命题q,2：/3)单调递增，存在x0<o使得/(x0)=o,

则下列说法正确的是()

A.只有3是p的充分条件B.只有q.2是p的充分条件

c.qi，《2都是p的充分条件D.qi，笑都不是P的充分条件

题目|jOI（2020-浙江）已知空间中不过同一点的三条直线I,m,n.则〜，山，门共面”是，，小，n两两相

交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题目②1（2019•浙江）若a>0,b>0,则“a+b44”是“而《4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题目国（2019•上海）已知a、bCR,则％2>产是“同>|6|”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

专题02函数的基本概念与基本初等函数1

［高频考点］

考点一函数的值域

考点十五根据实际问题选择函数类型

考点二函数的图象与图象的变换

考点十四函数与方程的综合运用

考点三.复合函数的单调性

考点十三反函数

考点四函数的最值及其几何意义

考点十二对数值大小的比较函数的基本概念与基本

初等函数I考点五函数奇偶性的性质与判断

考点十一对数的运算性质

考点六奇偶性与单调性的综合

考点十函数恒成立问题

考点七分段函数的应用

考点九函数的周期性

考点八抽象函数及其应用

【考点精析It

考点一函数的值域

题目用（2019•上海）下列函数中,值域为［0,+00）的是（）

1

A.y=2xy=x^C.7/=tana;D.y-cosx

题目叵］（2023•上海）已知函数/3）=。产*，则函数/Q）的值域为______

I4）JU—U

题目叵〕（2022-上海）设函数/Q）满足/Q）=/（言7）对任意工e[0,+8）都成立，其值域是4,已知对任

何满足上述条件的/（f）都有{y\y=y（x）,0WcWa}=4,则a的取值范围为.

考点二函数的图象与图象的变换

题目@（2021•浙江）已知函数/3）=/+1,gQ）=sin；r,则图象为如图的函数可能是（)

B.y=f(x)-g{x}-^

c。(①)

C.j/=/(c)g3)D.7/=-——

/㈤

题目5（2020•浙江）函数4=力85力+匝!1/在区间［一兀，兀］上的图象可能是（）

题目（2019・浙江）在同一直角坐标系中，函数g=C,g=log〃（,+/）（。＞0且aW1）的图象可能是

考点三.复合函数的单调性

题目⑺(2023•新高考I)设函数/3)=2"同在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()

A.(—oo,-2]B.[—2,0)C.(0,2]D.[2,+8)

题目叵)(2020•海南)已知函数/Q)=lgQ2—4L5)在(a,+8)上单调递增，则a的取值范围是()

A.(2,4-oo)B.[2,+00)C.(5,4-oo)D.[5,+8)

考点四函数的最值及其几何意义

题目回（2021•新高考I）函数/3）=|2；!：-1|-21114的最小值为.

题目口£;（2019-浙江）已知a6R,函数/㈤=ax^-x.若存在t€R,使得|/（t+2）-/（4）|《京则实数a

的最大值是

考点五函数奇偶性的性质与判断

题目■（2023•新高考II）若/3）=%+a）111舞|为偶函数，则a=（）

A.-1B.0C.~~D.1

题目Q2'（2021-上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）

3x

A.y=-3xB.y=xC.y=log3a;D.y=3

题目13j（2019-上海）已知coeA,函数/㈤=（x-6）2-sin（ttxr）,存在常数a€R,使fQ+a）为偶函数,则

。的值可能为（）

题目(J4I(2021-新高考II)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(⑼:

①/2)=/(g)/(»2)；②当XG(0,4-co)时，r3)＞0；③r(力)是奇函数.

题目应(2021•新高考I)已知函数/3)=＞能・2，-2一＞是偶函数,则。=

题目|16：(2023-上海)已知a,cC凡函数/㈤='+(3a：l)*+c.

x-\-a

(1)若a=0,求函数的定义域，并判断是否存在c使得『3)是奇函数，说明理由；

(2)若函数过点(1,3),且函数/(0与8轴负半轴有两个不同交点,求此时c的值和a的取值范围.

题目Q7(2021-新高考II)已知函数f3)的定义域为R(/⑸不恒为0),f(x+2)为偶函数,/(2/+1)为奇

函数，则()

A./(-j)=0B./(-l)=0C.f(2)=0D./(4)=0

题目Qj(2020-海南)若定义在R的奇函数/Q)在(-oo.O)单调递减，且/(2)=0,则满足货(工一1)>0的

立的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,4-00)B.[-3,-l]U[0,l]C.[-1,0]U[1,4-oo)D.[-l,0]U[l,3]

考点七分段函数的应用

________a~x—lx<0

题目®i（2022•上海）若函数/3）=卜+3>0，为奇函数,求参数a的值为

,Ox=O

题目［2£1（2022-浙江）已知函数/Q）=znxti,则/（吗））=_段_；若当/小㈤时,

/3）&3,则6-（1的最大值是

考点八抽象函数及其应用

题目亘］(2022-新高考II)已知函数/(0的定义域为五，且/3+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，/⑴=1,则£/

k=l

/)=()

A.-3B.-2C.0D.1

题目J2【多选】(2023•新高考I)已知函数fQ)的定义域为的定(g/)=y2f3)+犹用/),则()

A./(0)=0B./(l)=0

c./(x)是偶函数口”=0为/3)的极小值点

题目且(2020•上海)已知非空集合AGR,函数夕=/3)的定义域为。，若对任意ECA且zCD,不等式

/(x)+t)恒成立,则称函数/3)具有A性质.

(1)当力={-1},判断/("=—①、g(x)=2x是否具有A性质；

(2)当A=(0,1),/3)=劣+工，X€[a,+8),若/(工)具有A性质，求a的取值范围；

X

(3)当4={—2,rn},zn6Z,若。为整数集且具有A性质的函数均为常值函数,求所有符合条件的小的

值.

考点九函数的周期性

题目［24(2019-上海)己知函数/Q)周期为1,且当0V1时，/㈤=小工,则/弓)=

考点十函数恒成立问题

题目区(2021-上海)已知卬电eA,若对任意的x-2-XleS,f(X2)一/⑶)GS,则有定义：/3)是在S关联

的.

(1)判断和证明/(⑼=2/-1是否在［0,+00)关联？是否有［0,1］关联？

(2)若/3)是在｛3｝关联的，/(x)在。C［0,3)时,/(x)=^-2x,求解不等式：24fQ)<3.

(3)证明：/(x)是｛1｝关联的，且是在［0,+oo)关联的，当且仅当»3)在［1,2］是关联的”.

考点十一对数的运算性质

题目因（2022•浙江）已知2a=5,log83=b，则4--"=（）

A.25B.5C.号D.-|-

考点十二对数值大小的比较

题目也［（2022・新高考1）设£1=0./,6=看"=一1110.9,则（）

A.aVbVcB.c<b<aC.c<a<bD.aVcVb

题目网J（2021•新高考H）已知a=log2b=log3c=],则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

考点十三反函数

题目区I（2021•上海）已知/㈤=*+2,则/7（1）=—.

题目由1（2020•上海）已知函数/（工）=/,广|（7）是/（2）的反函数，则广|（必）=

考点十四函数与方程的综合运用

（C0

题目31!（2019-浙江）设a,b€R,函数/（力）=<_Lx3__L_^aX>Q,若函数g=/（c）—。1一b恰有

3个零点，则（）

A.QV-l,bV0B.CLV-1,b>0C.CL>—1,bV0D.Q>—l,b>0

题目诿|(2019•上海)己知/(4)=|3'-43>1,<1>0),/(乃与7轴交点为力,若对于/3)图象上任意

一点P,在其图象上总存在另一点Q(P、Q异于⑷,满足力P_L4Q,且14Pl=|AQI，则a=.

题目①)(2019•上海)已知/Q)=aa;+*i，aeH.

(1)当a=1时，求不等式/Q)+l</(x+l)的解集;

(2)若/⑸在cC[1,2]时有零点，求a的取值范围.

考点十五根据实际问题选择函数类型

题目西（2020・山东）基本再生数凡与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个

感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以

用指数模型：/⑴=e”描述累计感染病例数I（t）随时间贫单位:天）的变化规律，指数增长率r与凡，T近

似满足Ho=l+rT.有学者基于己有数据估计出上=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累

计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2《0.69）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

题目回【多选】（2023•新高考I）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压

级其中常数0m>。）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10馆处测得实际声压分别为a，「2，03，则（）

A.pi>p2B.p2>10p,3C.p3=lOOpoD.pW100p2

题目⑶（2023•上海）为了节能环保、节约材料,定义建筑物的“体形系数"S=4,其中吊为建筑物暴露

在空气中的面积（单位:平方米），％为建筑物的体积（单位:立方米）.

（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R,高度为H,暴露在空气中的部分为上底面和侧面,试求该建筑体

的“体形系数”S；（结果用含五、H的代数式表示）

（2）定义建筑物的“形状因子”为/=与，其中力为建筑物底面面积，刀为建筑物底面周长,又定义T为总

建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）.设n为某宿舍楼的层数，层高

为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=J祟+蠢.当/=18,7=10000时，试求当该宿

舍楼的层数n为多少时,“体形系数”S最小.

题目及（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元,第一季

度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%.

（1）求今年起的前20个季度的总营业额；

（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?

题目区：(2020•上海)在研究某市交通情况时,道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时

间，车辆密度是该路段一定

时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为”=2，c为道路密度，q为车辆密度，交通流

日“、100-135-(4)\0VZV40

-fc(rr-40)+85,404a;480

(1)若交通流量。＞95,求道路密度c的取值范围：

(2)已知道路密度c=80时,测得交通流量v=50,求车辆密度q的最大值.

专题03导数及其应用

［高频考点］

考点一导数的运算

考点三利用导数研究函数的单调性

考点五利用导数研究函数的最值

导数及其应用

考点二利用导数研究曲线上某点切线方程

考点四利用导数研究函数的极值

【考点精析巡；

考点一导数的运算

题目曰【多选】（2022•新高考I）已知函数/（力及其导函数73）的定义域均为五，记g3）=73）.若

/信一2引，g（2+力）均为偶函数，则（）

A./（0）=0B.g（-4）=0C./（-l）=/（4）D.g（—l）=g⑵

考点二利用导数研究曲线上某点切线方程

题目团（2021•新高考I）若过点（a,b）可以作曲线y=e’的两条切线，则（）

A.e6<aB.ea<6C.0<a<e6D.0<b<ea

题目回（2022•新高考I）若曲线9=（7+&）^有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

题目|1］（2022•新高考H）曲线y=ln|引过坐标原点的两条切线的方程为

题目5〕（2021•新高考II）已知函数/（乃=|e—l|,为＜0,曲＞0,函数/（⑼的图象在点A3,/（为））和点B

（g，/（g））的两条切线互相垂直，且分别交沙轴于M，N两点，则蹙。的取值范围是

考点三利用导数研究函数的单调性

题目「鼠］（2023•新高考H）已知函数/（0=ae-lnz在区间（1,2）上单调递增，则a的最小值为（）

A.e2B.eC.e-1D.e-2

题目Fl（2023-新高考I）已知函数/（》）=a（e“+a）-x.

（1）讨论fQ）的单调性；

⑵证明:当a>0时，/㈤>21na+告.

题目回(2022•浙江)设函数/Q)=景+lnx(x>0).

乙3D

(1)求/3)的单调区间；

(II)已知a,be从曲线y=73)上不同的三点(马,/3J),(g，/(g))，(g，/(23))处的切线都经过点(a,

b).证明：

(i)若a>e,则0cb—/(a)<£(£—1)；

(ii)若0VaVe,xi<x<x,则—+e-\Q<—+—<——e-,Q.

2322

e6eXix3a6e

(注:e=2.71828…是自然对数的底数)

题目叵)(2022•新高考H)已知函数/(①)『e的-e".

(1)当a=1时,讨论/(多)的单调性；

(2)当x>0时求a的取值范围；

⑶设n€N*,证明：/_4—r」一-I----1-11>ln(n+1).

Vl2+1V22+2Vn2+n

I:

题目10)(2021^新高考^)已知函数1f3)=3-l)e-a:c2+b.

(I)讨论/(0的单调性；

(II)从下面两个条件中选一个,证明：/Q)恰有一个零点.

①]Va4,b>2a；

②0<aV-^~,bW2a.

题目11J(2021•浙江)设a,b为实数，且a>1,函数/(工)=a"—bz+e'2(；rCH).

(I)求函数/(z)的单调区间；

(H)若对任意b>2e)函数有两个不同的零点，求a的取值范围;

(HI)当a=e时,证明:对任意b>e\函数fQ)有两个不同的零点为，g,

(注:e=2.71828…是自然对数的底数)

题目门1](2021•新高考I)已知函数/Q)=N1—ln0.

(1)讨论/Q)的单调性；

⑵设a,b为两个不相等的正数，且blna—a\nb=a—6,证明：2VL

ab

题目叵](2020•海南)已知函数/(a;)=ae"T-ln;r+lna.

(1)当a=e时,求曲线y=/(z)在点(1,f⑴)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若/(⑼>1,求a的取值范围.

题目14(2019*浙江)已知实数QW0,设函数/(£)=a\nx+V14-x,c>0.

(I)当。二一日•时,求函数/(⑼的单调区间；

(II)对任意Ze层，+8)均有/㈤W芸，求a的取值范围.

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

考点四利用导数研究函数的极值

题目年【多选】(2023•新高考H)若函数/(M=aln，+立+三(口中0)既有极大值也有极小值，则

XX-

()

A.6c>0B.a6>0C.62+8ac>0D.ac<0

题目叵【多选】(2022•新高考I)已知函数/Q)=炉—0：+1,则()

A./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(⑼的对称中心D.直线y=2c是曲线3=/(0的切线

目17（2023•新高考H）⑴证明：当0V/V1时，力一力2Vsin%Vc；

（2）已知函数/（a;）=COSQ/一ln（l—I?）,若c=o为/（£）的极大值点，求。的取值范围.

考点五利用导数研究函数的最值

题目fl?1（2022.新高考I）已知函数=e'-g和9（z）=ax-\nx有相同的最小值.

⑴求a；

（2）证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=/Q）和y=g{x）共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

专题04立体几何

［高频考点］

考点一空间几何体的侧面积和表面积

考点八立体几何的交线问题

考点二空间几何体的体积

考点七二面角的平面角及求法

立体几何考点三空间中直线与直线之间的位置

考点六直线与平面所成的角

关系

考点五空间中直线与平面之间的位置关系

考点四异面直线及其所成的角

【考点精析H

考点一空间几何体的侧面积和表面积

题目1）（2021•新高考I）已知圆锥的底面半径为其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

（）

A.2B.2V2C.4D.4A/2

题目0（2022•上海）已知圆柱的高为4,底面积为9兀,则圆柱的侧面积为

题目叵〕（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,43为上底面圆的一条直径，。是下底面圆周上

的一个动点，则A43C的面积的取值范围为

题目|7|（2021•上海）己知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为

题目1（2019-上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,将该三角形分别绕其两个直角边旋转

得到的两个圆锥的体积之比为（）

A.1B.2C.4D.8

题目|Tj（2020-浙江）己知圆锥的侧面积（单位：cm?）为2兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的

底面半径（单位：cm）是

题目|7；1（2022.新高考II）己知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3/和4代,其顶点都在同一球面

上，则该球的表面积为（）

A.1007TB.1287rC.144KD.192兀

题目叵〕（2021•新高考II）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地

球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表

面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r为6400km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道平面

所成角的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为*该卫星信

号覆盖地球表面的表面积S=2兀/（1一cosa）（单位：km）则S占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

考点二空间几何体的体积

题目叵］（2022•新高考I）已知正四棱锥的侧棱长为Z,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36天,且

34ZM3一,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,唱B.丹,金C.阡，叫D.[18,27]

题目五1（2022•新高考I）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水

库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km\水位为海拔157.5m时，相应水面的

面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5加上升到

157.5m时，增加的水量约为（、/7=2.65）（）

A.1.0x10WB.1.2x10WC.1.4x10WD.1.6x10W

题目叵）（2021•新高考H）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12/B.28V2C.粤口.注咨

JO

题目宝【多选】（2023•新高考I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁

厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4馆的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为L2M,高为0.01m的圆柱体

题目【多选】（2022•新高考H）如图，四边形ABCD为正方形，即，平面ABC。，FB//ED,AB=

ED=2FB.记三棱锥E-ACD,P-ABC,P-ACE的体积分别为%,%,%,则（）

A.%=2%B.%=%C.%=%+“D.2%=3H

题目|j4【多选】（2021•新高考I）在正三棱柱力3C—4BG中，43=44=1，点P满足毋=4后方+

〃函，其中/le[o,i],〃e[o,1],则（）

A.当；1=1时，△力5P的周长为定值

B.当〃=1时,三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当4=]时，有且仅有一个点P,使得AP_LBP

D.当〃时，有且仅有一个点P,使得AXB±平面ABF

题目口彳；（2023•新高考H）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为

题目（J?l（2023-新高考I）在正四棱台ABCD-AiBQQi中，=2,4Bj=1,人4=方,则该棱台的体

积为.

题目L1LI（2020-海南）已知正方体ABCD—的棱长为2,河、N分别为36、AB的中点，则三棱

锥4一NMDX的体积为.

题目叵1（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边AABC,。为AC边中点，且P。，底面ABC,4P=

AC=1.

（1）求三棱锥体积/.谡。；

⑵若M为BC中点，求与面PAC所成角大小.

题目兀|（2020•上海）已知四棱锥P-ABCD,底面ABC。为正方形,边长为3,PD_L平面4BCD.

（1）若PC=5,求四棱锥P—ABCD的体积；

（2）若直线力。与3P的夹角为60°,求PD的长.

B

考点三空间中直线与直线之间的位置关系

题目1^01（2022.上海）如图正方体4BCD-中，P、Q、A、S分别为棱43、BC、CD的中

点，联结AS,BQ.空间任意两点“、N,若线段MN上不存在点在线段4S、BQ上，则称MN两点可

视，则下列选项中与点2可视的为（）

A.点PB.点BC.点、RD.点Q

题目巨1（2021・浙江）如图，已知正方体488—4向。|。1，河，"分别是4。，。13的中点，则（）

A.直线AQ与直线。B垂直，直线〃平面ABCD

B.直线4Q与直线平行，直线MNJ.平面

C.直线4。与直线。出相交，直线MN〃平面ABCD

D.直线AQ与直线。出异面，直线平面BDRRi

题目区I（2020-上海）在棱长为10的正方体ABCD-中，P为左侧面力0aA上一点，已知点P

到4。的距离为3,P到AA,的距离为2,则过点P且与4。平行的直线交正方体于P、Q两点,则Q点

所在的平面是（）

A.AA{B{BB.BBQQC.CCQQD.ABCD

题目f21!（2023-上海）如图所示，在正方体ABCD-45GA中，点P为边4G上的动点，则下列直线中，

C.ADyD.B、C

考点四异面直线及其所成的角

题目②【多选】（2022•新高考I）已知正方体人88—48。1口，则（）

A.直线BG与DA所成的角为90°B.直线BG与。4所成的角为90°

C.直线BG与平面所成的角为45°D.直线BG与平面ABCD所成的角为45°

考点五空间中直线与平面之间的位置关系

题目25（2019«上海）已知平面a、6、了两两垂直，直线a、b、c满足：aUa,b78，cG>,则直线a、b、c不

可能满足以下哪种关系（）

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

题目（J6【多选】（2021•新高考II）如图,下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正

方体的顶点,则满足MN_LOP的是（）

考点六直线与平面所成的角

题目［27（2020-山东）日唇是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到唇面的影子来

测定时间.把地球看成一个球（球心记为。）,地球上一点A的纬度是指。力与地球赤道所在平面所成角,

点A处的水平面是指过点A且与垂直的平面.在点A处放置一个日唇，若唇面与赤道所在平面平

行，点A处的纬度为北纬40°,则号针与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

题目区(2021•上海)如图,在长方体ABCD-4BQQ|中，己知=BC=2,AA尸3.

(1)若P是棱A2上的动点，求三棱锥C-PAD的体积；

(2)求直线ABX与平面AOGA的夹角大小.

题目区!(2021-浙江)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，NABC=120°,AB=1,

BC=4,PA=V15,M,N分别为BC,PC的中点，PD_LDC,PMA.MD.

(I)证明：

(II)求直线力N与平面PDA1所成角的正弦值.

C

M

B

题目回1(2020•海南)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，底面ABCD.设平面P4。与平

面PBC的交线为Z.

(1)证明：Z_L平面POC；

(2)己知PD=40=1,Q为，上的点，QB=求PB与平面QCD所成角的正弦值.

题目叵I(2020-上海)已知ABCD是边长为1的正方形,正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱.

(1)求该圆柱的表面积；

(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转y至ABCQi,求线段CDX与平面ABCD所成的角.

题目［32(2020-山东)如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，底面ABCD.设平面PA。与平

面PBC的交线为Z.

(1)证明：2_1_平面POC；

(2)已知PZ?=4D=1,Q为Z上的点，求P3与平