2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题18 阿氏圆小题含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题18阿氏圆小题1．如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于A．4 B． C． D．2．如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为．3．如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为．4．如图，扇形中，，，是的中点，是上一点，，是上一动点，则的最小值为．5．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是．6．如图，在中，点、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为．7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆，为圆上一动点，则的最小值为．8．如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径做，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为．9．如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为．10．如图，在中，，，则的最大值为．11．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为．12．【新知探究】新定义：平面内两定点，，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在中，，，则面积的最大值为．13．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为．三．解答题（共2小题）14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点在上，且点也在格点上．的值为；（Ⅱ）是以点为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为连接，，当的值最小时，请用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别有点，，点是平面内一动点，且，设，求的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）解：在上取点，使得，又，．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在中，，，，为内一动点，满足，利用（1）中的结论，请直接写出的最小值．专题18阿氏圆小题1．如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于A．4 B． C． D．【解答】解：在上截取，连接，，，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，，，，，，，，，在中，，，，的最小值，故选：．2．如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为．【解答】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．，，，，，，，，，四边形是菱形，，，，在中，，，，，，，的最大值为．3．如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为5．【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，，．四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为5，故答案为：5．4．如图，扇形中，，，是的中点，是上一点，，是上一动点，则的最小值为．【解答】解：如图，延长使，连接，，，，分别是的中点，，，，，且，，，当点，点，点三点共线时，的值最小，，，的最小值为13，的值最小值为．故答案为：．5．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是．【解答】解：如图，取点，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为．故答案为：．6．如图，在中，点、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为．【解答】解：延长到，使得，连接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值为，答案为．7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆，为圆上一动点，则的最小值为．【解答】解：设半径为，，，取的中点，连接，，，，，是公共角，，，，，当、、在一条直线上时，最小，作于，，，，，最小值，，的最小值是．故答案是．8．如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径做，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为．【解答】解：在上截取，连接，，，，，，，，，，，，当、、三点共线时，的值最小，在中，，，，的最小值，故答案为：．9．如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为．【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，故答案为．10．如图，在中，，，则的最大值为．【解答】解：，求的最大值就是求的最大值，过作于，延长到，使得，，，，，，由勾股定理得：，，为定值，是定值，点在的外接圆上，，当为直径时，最大，即，，解得，，，故答案为：．11．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为．【解答】解：如图，在轴上取点，连接，点，点，点，，，，，，，，，，当点在上时，有最小值为的长，，故答案为：．12．【新知探究】新定义：平面内两定点，，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在中，，，则面积的最大值为．【解答】解：以为顶点，为边，在外部作，与的延长线交于点，，，，，，，，，，解得：，，，即点为定点，点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆上，如图，过点作的垂线，交圆与点，此时点到的距离最大，即的面积最大，．故答案为：．13．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为．【解答】解：作于，作于，，，，，，，，，当与相切时，取得最大和最小，如图1，连接，，可得：四边形是正方形，，在中，，，在中，，，，如图2，由上知：，，，，，．三．解答题（共2小题）14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点在上，且点也在格点上．的值为；（Ⅱ）是以点为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为连接，，当的值最小时，请用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．【解答】解：（1）由题意，，，故答案为：．（2）如图，取格点，，连接交于，连接交于，连接，点即为所求．故答案为：通过取格点、，使得，构造相似三角形将转化为，利用两点之间线段最短即可解决问题．15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别有点，，点是平面内一动点，且，设，求的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）解：在上取点，使得，又，．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在中，，，，为内一动点，满足，利用（1）中的结论，请直接写出的最小值．【解答】解（1）在上取点，使得，又，．，，，当取最小值时，有最小值，即，，三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2），，在上取一点，使得，的最小值为．专题19瓜豆小题1．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为．2．如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为．3．如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为．4．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是．5．如图，正方形的边长为8，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．6．如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为．7．已知边长为6的等边中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动的过程中，当线段长度的最小值时，的长度为．8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是．9．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为．10．如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为．11．如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为．12．如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为．13．如图，的直径，为上动点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最大值为．14．如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为．二．解答题（共4小题）15．如图，在等边中，，，垂足为，点为边上中点，点为直线上一点．当点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积．16．若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．①点的轨迹是（填“线段”或者“圆”；②的最小值是；（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为．17．如图，的半径为2，到定点的距离为5，点在上，点是线段的中点，若在上运动一周．（1）点的运动路径是一个圆；（2）始终是一个等边三角形，直接写出长的取值范围．（1）思路引导要证点运动的路径是一个圆，只要证点到定点的距离等于定长，由图中的定点、定长可以发现，．18．如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式．（2）当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标．（3）如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由．专题19瓜豆小题1．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为．【解答】解：如图，作，使得，，则，，，，，，，，，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上，，的最大值为，故答案为．2．如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为．【解答】解：，，点在上运动时，，，为主动点，为从动点，为定点，由“瓜豆原理”，在上运动，则在垂直的直线上运动，当时，如答图：过作于，交于，则直线即为的运动轨迹，的长为，两点间距离的最小值，，，，，，，，，而，，，在中可得，，中可得，故答案为：．3．如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为．【解答】解：如图1，过点作于点，于点，连接，根据题意知，，．．．又是等腰直角三角形，且，．在与中，，．，．点在所在的直线上运动．为边上的一个动点，如图2，当点与点重合时，点的位置如图所示．当点与点重合时，记点的位置为．点的运动轨迹为线段．过点作于点．．正方形的边长为2，．．故答案是：．4．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是．【解答】解：如图，连接、，将绕点逆时针旋转，得线段，连接、，，，为正三角形，为正三角形，，，，，在与中，，，，即为动点运动的路径，当点在上运动一周时，点运动的路径长是，5．如图，正方形的边长为8，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为5．【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于，又，四边形是矩形，，，，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，，，在和中，，，，当时，有最小值，即有最小值，点与点重合时，，故答案为5．6．如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为．【解答】解：如图取的中点，连接，，，延长交于，作于．四边形是菱形，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，在中，，，，，的最小值为，故答案为．7．已知边长为6的等边中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动的过程中，当线段长度的最小值时，的长度为．【解答】解：连接，等边，，线段绕点逆时针旋转得到，，，，点在直线上运动，，，点在直线上运动，当时，最小，，，，，，故答案为．8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是．【解答】解：连接，四边形是矩形，，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，又，，，，，点在射线上运动，且，当点在线段上从点至点运动时，点的运动路程是，在中，设，则，，解得（负值舍去），，即点的运动路程为，故答案为：．9．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为．【解答】解：，，，，连接，，是直径，，即，取，的中点和，连接，，，在中，，为、的中点，，，在中，点、为、的中点，，，，即，点在以为直径的半圆上，，点的运动路径长为，故答案为：．10．如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为．【解答】解：将线段绕顺时针旋转至，连接，过作于，过作于，如图：，，在和中，，，，在射线上运动，，的长度即是的最小值，，，，四边形为矩形，，中，，，，，故答案为：．11．如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为6．【解答】解：点，，，，动点在线段上，，，，为主动点，为从动点，为定点，由“瓜豆原理”得运动路径与运动路径之比等于，点运动的路径长为，故答案为：6．12．如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为．【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，，，，是等边三角形，，，，，，将绕点顺时针方向旋转得到，，，，，在和中，，，，当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可得：当时，有最小值，此时，，，，四边形是矩形，，故答案为：．13．如图，的直径，为上动点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最大值为．【解答】解：如图，以为边在的下方作等腰直角三角形，连接，，将绕点逆时针旋转得到，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，又，，，，当有最大值时，有最大值，当点，点，点三点共线时，有最大值为，的最大值为，故答案为：14．如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为．【解答】解：如图，过点作于点，连接，，，，，，，，，，，，即在点的运动过程中，的大小不变且等于，当时，最小，设此时，，，，，，代入，解得，，，．，故答案为：．二．解答题（共4小题）15．如图，在等边中，，，垂足为，点为边上中点，点为直线上一点．当点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积．【解答】解：以为顶点，为一边，作，交于点，过点作于点，设交于点，如图，中，，最小即最小，此时、、共线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在射线上运动，则点在上运动，根据“瓜豆原理”，为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角，，，，，，，，，，，四边形为矩形，，等边中，，，，又，等边中，，点为的中点，点为中点，，，中，，，，，中，，，．16．若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．①点的轨迹是圆（填“线段”或者“圆”；②的最小值是；（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为．【解答】解：（1）①连接、，如图1所示：是等腰直角三角形，，，由旋转的性质得：，，，在和中，，，，即点到点的距离等于定长，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；②是等腰直角三角形，，，当点在线段上时，最小；故答案为：；（2）以为边长作等边，连接、，如图2所示：和是等边三角形，，，，，在和中，，，，当、、三点共线时，有最大值；（3）如图3所示：点的轨迹是以为直径的一