2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题14 网格中画相似含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题14网格中画相似1．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．2．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）(1)在图①中，在上画一点，使；(2)在图②中，在上画一点，使：：；(3)在图③中，在内画一点，使：：：：．3．（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH4．在4*4的方格中，的三个顶点都在格点上．(1)在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形（画出一个即可）；(2)将图2中画一个与相似的三角形．5．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与相似．(1)在图甲中画△，使得△的周长是的周长的2倍；(2)在图乙中画出△，使得△的面积是的面积的2倍．6．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为；(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．7．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．8．如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．9．如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．10．按要求作图，无需写作法：图①

图②(1)如图①，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．(2)如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．11．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中画等腰△ABC，使得∠CAB＝90°；(2)在图②中画等腰△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比为：1．12．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．(2)在图②中，画的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出与四边形DEHG的面积比．(3)在图③中，画，点R在格点上，且被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．13．如图，已知和点．(1)把绕点顺时针旋转90°得到，在网格中画出；(2)用无刻度的直尺，在边上画出点，使（要求保留作图痕迹，不写作法）．14．如图，是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上），每个小正方形的边长均为1．(1)在图（1）中将绕点逆时针旋转，得到．(2)在图（2）中找格，使以格点、、为顶点的三角形与相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形．15．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使；(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．16．如图，在6×7的矩形网格中，我们把顶点都在格点上的多边形称为格点多边形，点A，B，C均在格点上，按下面要求画出格点三角形．(1)在图1中，画一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等．(2)在图2中，画一个△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且点E不在边BC上．注：图1，图2在答题纸上．17．如图，在7×8的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺完成下列作图：(1)在AC上画点E，使AE=3CE；(2)在AB上画点D，使AD=CD；(3)在BC上画点F（不与B重合），使AFBC．(4)在AB上画点P，使tan．18．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）19．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段的中垂线(2)如图2，在线段上找出点，使．20．如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）(1)在图1中画出△ABC的中线AD；(2)在图2中画线段CE，点E在AB上，使得：＝2：3；(3)在图3中画出△ABC的外心点O．21．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．(1)在图1中以线段AB为边画一个，使其与相似，但不全等．(2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．22．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）．(1)在图①中，在线段AB上找到一点E，使＝；(2)在图②中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且cos∠BAC＝；(3)在图③中，画出一个四边形ACBD，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为，C、D为格点．专题14网格中画相似1．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．【答案】##0.5【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可．【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可．如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝．故答案为：．【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）(1)在图①中，在上画一点，使；(2)在图②中，在上画一点，使：：；(3)在图③中，在内画一点，使：：：：．【答案】(1)图形见解析；(2)图形见解析；(3)图形见解析．【分析】（1）取的中点即可；（2）取格点，，连接交于点，点即为所求；（3）利用数形结合的思想，判断出点到的距离为，到的距离为，取格点，，连接交直线于点，点即为所求．【详解】（1）在图中，点即为所求；（2）在图中，点即为所求；点C下移三个单位得到点M，点B上移两个单位得到点N，连接，得到，：：即点即为所求；（3）在图中，点即为所求．由图可知，，，，，：：：：，，，设中边上的高为，中边上的高为，，，，作直线：，点在直线上，在直线上取边上高，取格点，，连接交直线于点，由图可知点到边距离为，即点即为所求．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形相似性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．3．（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）把△ABC各边放大倍即可；（2）根据题意三角形的三条中线交于同一点，根据平行四边形的性质，先连接AC和BD得到BD的中点O，再连接BE交CO于P点，则点P为△BCD的重心，延长DP交BC于F点，则F点为BC的中点；（3）根据三角形的三条高所在的直线交于同一点，分别作出上的高，交于点，延长AO至H，则即为所求．【详解】如图，为所作；（2）①如图1，点F为所作；理由：因为三角形的三条中线交于同一点，四边形是平行四边形，∴是的中点，∵是的中点，根据三条中线交于同一点，连接交于，则点为三条中线的交点，作射线交于点，则点为的中点；②如图2，找到格点，过A点作AD垂直AB，再平移DA得到CE，则CE⊥AB，接着作MN垂直AC，平移MN得到BF，则BF⊥AC，BF与CE的交点O为△ABC的垂心，所以延长AO交BC于H，则AH⊥BC，AH为所作．理由：∵∴∴∴平移至，并延长，交于点，∴同理作出，交于点根据三角形三条高所在的直线交于同一点，延长交于点，则即为所求．【点睛】本题考查了画相似三角形：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，也考查了三角形的重心和平行四边形的性质．4．在4*4的方格中，的三个顶点都在格点上．(1)在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形（画出一个即可）；(2)将图2中画一个与相似的三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）选取AC所在的直线为对称轴作图即可；（2）保证每条边方向一致，且边长减小为原来的一半作图即可．【详解】（1）解：如下图所示，即为所求作的三角形；（答案不唯一）（2）如下图所示，即为所求作的三角形；【点睛】本题考查轴对称作图与作相似图形，掌握两个图形关于某条直线对称的性质与相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与相似．(1)在图甲中画△，使得△的周长是的周长的2倍；(2)在图乙中画出△，使得△的面积是的面积的2倍．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用相似三角形的周长关系得出相似比为：1：2，进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的面积关系得出相似比：1：，进而得出答案．（1）解：如图所示：△，即为所求；（2）解：如图所示：△，即为所求．【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．6．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为；(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．（1）如图，（案不唯一）（2）如图，【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．7．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求，（2）如图2所示，△CEF即为所求，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．【答案】△ABD∽△DCB，相似比．【分析】连接AB、BD、AD、AC，利用勾股定理求出各边的长，根据对应边成比例的两个三角形相似即可求解．【详解】解：连接AB、BD、AD、AC，∵AB==，AC==，BC=4，CD=2，BD==2，AD==5，∴，，，∴，∴△ABD∽△DCB，相似比．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，利用勾股定理求出各边的长是解题的关键．9．如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．【答案】(1)相似，见解析(2)图见解析，面积为5【分析】（1）相似，分别求出每个三角形的三条边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可；（2）根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最大的格点三角形即可．(1)△ABC∽△DEF，理由如下：在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，∴△ABC∽△DEF；(2)如图，△MNP即为所求，．【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．10．按要求作图，无需写作法：图①

图②(1)如图①，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．(2)如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【分析】（1）连结AB，EF交于点C，作射线OC，根据平行四边形的性质，三线合一即可得OC即为所求．（2）找到格点，使得相似比为，即可．（1）连结AB，EF交于点C，作射线OC，所以OC即为所求，四边形是平行四边，，，是的角平分线（三线合一），（2）如图，即为所求，，，，且都是格点【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三线合一，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．11．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中画等腰△ABC，使得∠CAB＝90°；(2)在图②中画等腰△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比为：1．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）如图①中，△ABC即为所求；,,,,，的等腰直角三角形，（2）如图②中，△DEF即为所求．,,,,．△ABC∽△DEF，且相似比为：1．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关键．12．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．(2)在图②中，画的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出与四边形DEHG的面积比．(3)在图③中，画，点R在格点上，且被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．【答案】(1)见解析(2)见解析，面积比为1：3(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点，找到之间单元网格的对角线，交于点，则点即为所求；（2）根据（1）的方法找到的中点，连接，根据相似三角形的性质即可求出与四边形DEHG的面积比；（3）根据（2）的结论，可知，只要经过的中位线，根据在网格上，找到符合题意的点即可求解．(1)如图①：(2)如图②：，与四边形DEHG的面积比为1：3．(3)如图③，画出一种即可．【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找到线段的中点是解题的关键．13．如图，已知和点．(1)把绕点顺时针旋转90°得到，在网格中画出；(2)用无刻度的直尺，在边上画出点，使（要求保留作图痕迹，不写作法）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构，利用平行线作相似三角形，根据相似比作出即可．（1）解：根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接，即为所求，如图：（2）解：如图，取网格点E、F，连接EF交AC于点P，则点P为所作，理由如下：连接FC，设小正方形方格的边长为1，则AE=2，FC=3，∵AE∥FC，∴△APE∽△CPF，∴．【点睛】本题考查了利用网格结构作旋转变换图形，利用相似三角形的性质分割线段，熟悉网格点的结构是解题的关键．14．如图，是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上），每个小正方形的边长均为1．(1)在图（1）中将绕点逆时针旋转，得到．(2)在图（2）中找格，使以格点、、为顶点的三角形与相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）找到旋转角度、旋转中心、旋转方向后可得出各点的对应点，进而顺次连接即可得出答案；（2）可找能使是直角三角形且或的．(1)所作图形如下：(2)【点睛】本题考查旋转作图及相似三角形的性质，明确旋转角度、旋转中心、旋转方向是解本题的关键．15．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使；(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F；（2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．(1)解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的中点，连接AO，∵AM=AC，∴AO平分∠MAC，∴∠OAC=45°，∴延长AO，与BC交于一点，即为点F，，∠ACB=∠ACF，∴△ACF∽△BCA．(2)连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；∵AC=DC，O为AD的中点，∴CM平分∠ACD，∴点M到AC，CD的距离相等，∴△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一；∵在△PBG和△QCG中，∴，∴，∴CG=，∵AH∥GC，，，设△GCN边CG上的高为h1，△HAN边AH上的高为h2，则，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，角平分线的性质，是解题的关键．16．如图，在6×7的矩形网格中，我们把顶点都在格点上的多边形称为格点多边形，点A，B，C均在格点上，按下面要求画出格点三角形．(1)在图1中，画一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等．(2)在图2中，画一个△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且点E不在边BC上．注：图1，图2在答题纸上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）运用三角形全等判定定理SSS，在网格上构造△ABD与△ABC全等．（2）△ACE与△ABC共顶点A，因此考虑两个三角形在以A为顶点的高线相等的情况下，构造3CE=BC，从而满足S△ABC＝3S△ACE．（1）解：（2）解：【点睛】本题考查三角形全等判定定理，三角形面积计算方法，找到相应的作图依据是解题关键．17．如图，在7×8的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺完成下列作图：(1)在AC上画点E，使AE=3CE；(2)在AB上画点D，使AD=CD；(3)在BC上画点F（不与B重合），使AFBC．(4)在AB上画点P，使tan．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）找到格点，使得，连接，找到，作交于点，则点即为所求，（2）取格点，连接，交于点，根据网格的特点作正方形，同理取中点，连接，交于点，点即为所求，（3）方法同（2）作正方形，作交于点，点即为所求，（4）同方法（3）作正方形，作，同方法（1）在正方形上取分别等于，连接交于点，作射线交于点，则点即为所求．(1)如图所示，找到格点，使得，连接，找到，作交于点，则点即为所求，，，即．(2)如图，取格点，连接，交于点，根据网格的特点作正方形，同理取中点，连接，交于点，点即为所求，则是的垂直平分线，．(3)如图，方法同（2）作正方形，作交于点，点即为所求(4)如图，同方法（3）作正方形，作，同方法（1）在正方形上取分别等于，连接交于点，作射线交于点，则点即为所求，，，．【点睛】本题考查了网格中无刻度直尺作图，相似三角形的性质，正方形的性质，根据相似三角形的性质确定线段的长度是解题的关键．18．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意找到格点，画出线段即可（1）如图所示，即为所求，（2）如图所示，取格点，连接交于点，连接交于点连接，则即为所求，同理．【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键．19．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段的中垂线(2)如图2，在线段上找出点，使．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取格点，，作直线即可；（2）将点沿网格向下移动个小格到点，将点沿网格向上移动个小格到点，连接交于点，则点即为所求．（1）如图所示，利用网格线确定中点，然后使二者垂直即可；（2）将点沿网格向下移动个小格到点，将点沿网格向上移动个小格到点，连接交于点，，，，点即为所求，如图所示：【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）(1)在图1中画出△ABC的中线AD；(2)在图2中画线段CE，点E在AB上，使得：＝2：3；(3)在图3中画出△ABC的外心点O．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由题知BO=CO，取两个格点F、G构造，即可得中点D．（2）由：＝2：3得AE：BE=2∶3，取格点H、J，构造，且相似比为2∶3，即可得到E点．（3）由O为△ABC的外心知O为AB、AC的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点即为O．（1）如图1中，取格点F、G，连接FG交BC于点D，线段AD即为所求．（2）如图2中，取格点H、J，连接HJ交AB于点E，线段CE即为所求．（3）如图3中，取格点K、L、M、N，连接KL、MN交于点O，则点O为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．21．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．(1)在图1中以线段AB为边画一个，使其与相似，但不全等．(2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由图可知，AC=2，根据网格特点画AD⊥AB，且AD=即可；（2）画出直角边分别为2，4的直角三角形EFG即可．（1）解：如图，△ABD即为所求；（2）如图，△EFG即为所求．【点睛】本题考查作图-相似变换，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）．(1)在图①中，在线段AB上找到一点E，使＝；(2)在图②中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且cos∠BAC＝；(3)在图③中，画出一个四边形ACBD，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为，C、D为格点．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据相似三角形的性质得出点E，使＝；（2）作出等腰直角三角形ABC即可满足cos∠BAC＝；（3）根据中心对称的性质和轴对称的性质在图3中，画出矩形ACBD，邻边之比为，C，D为格点即可．（1）如图所示，点E即为所求；（2）如图所示，即为所求；（3）如图所示即为所求作【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相关知识与性质．专题15相似三角形之动点问题1．如图，在中，，点E是直角边上动点，点F是斜边上的动点（点F与两点均不重合）．且平分的周长，设长为．(1)试用含x的代数式表示；(2)若的面积为，求x的值；(3)当是等腰三角形时，求出此时的长．2．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ，以PQ、PB为边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．(1)直接用含t的代数式表示线段PQ的长并写出t的取值范围；(2)当点M落在边AC上时，求t的值及此时的面积；(3)求S与t之间的函数关系式；(4)当的对角线的交点到的两个顶点的距离相等时，直接写出t的值．3．如图，在矩形中，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以1个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒.以为斜边作Rt，使点落在线段上.(1)求线段的长度；(2)求面积的最大值；(3)当与相似时，求的值.4．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果分别从同时出发，问经过几秒钟，．5．如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．(1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积．6．如图，矩形中，，为边上的动点，当与相似时，求长．7．如图，在中，cm，动点P从点C出发沿着的方向以的速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着方向以的速度向终点C运动，P、Q两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）．的面积为．(1)求的长；(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和相似？8．如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为,(1)则；____(用含t的代数式表示)(2)求运动时间t的值为多少时，以、、为顶点的三角形与相似？9．如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．(1)若与相似，求t的值；(2)直接写出是等腰三角形时t的值；(3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值．10．如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．(1)问题产生∶若P为中点，当时，

；(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．11．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为？12．如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，点D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，点P从点B出发，沿折线BD－DE－EA运动，到点A后立即停止．点P在BD上以cm/s的速度运动，在折线DE－EA上以1cm/s的速度运动．在点P的运动过程中，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在线段BQ上．设点P的运动时间为t（s）．(1)当点P在线段DE上时，求正方形PQMN的边长．(2)当点N落在边AB上时，求t的值．(3)在点P的整个运动过程中，记正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm²），求S与t的函数关系式，写出相应t的取值范围．14．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为．(1)当为何值时，的面积为？(2)为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似．15．阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当POQ与AOB相似时t的值．17．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．(1)当P，Q两点相遇时，t＝秒；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC—CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．设运动的时间为t秒．(1)AB=；(2)用含t的代数式表示线段CQ的长；(3)当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；(4)设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．20．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点连接，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点，交于点，于点，当的面积为时，求点的坐标；(3)如图，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．专题15相似三角形之动点问题1．如图，在中，，点E是直角边上动点，点F是斜边上的动点（点F与两点均不重合）．且平分的周长，设长为．(1)试用含x的代数式表示；(2)若的面积为，求x的值；(3)当是等腰三角形时，求出此时的长．【答案】(1)(2)2(3)或【分析】（1）勾股定理气得，进而求得三角形的周长，根据题意得出，即可求解；（2）过点作，证明，根据相似三角形的性质得出，根据的面积为即可求解；（3）根据题分类讨论，①，②，③，分别求解即可．【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：∴的周长．∴．∴．故答案为：．（2）过点作．∵，∴．∴．∴，即，∴，∵的面积为，∴，解得：（舍去）．∴的值为．（3）若是等腰三角形，可分三种情况：①若，∴，∴；②如图，若，过点作于，则，∵，∴，∴，∴，∴；③若，过点作于，同理，∴，∴，∴，∵，∴不合题意，舍去；综上所述，或．【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．2．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ，以PQ、PB为边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．(1)直接用含t的代数式表示线段PQ的长并写出t的取值范围；(2)当点M落在边AC上时，求t的值及此时的面积；(3)求S与t之间的函数关系式；(4)当的对角线的交点到的两个顶点的距离相等时，直接写出t的值．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再利用相似三角形的性质求解即可；（2）利用面积法求出BM，利用平行四边形的性质求出PQ，构建方程求出t，再求出OM，利用平行四边形的面积公式求解即可；（3）分两种情形：当时，如图3﹣1中，重叠部分是五边形POTMB，当时，如图3﹣2中，重叠部分是四边形POTB．分别求解即可；（4）分三种情形：如图4﹣1中，当对角线的交点O在线段AC的垂直平分线上时，设线段AC的垂直平分线交AB于点K，连接CK．构建方程求解．如图4﹣2中，当对角线的交点O在线段BC的垂直平分线上时，设线段BC的垂直平分线交BC于点R，交AC于点L．构建方程求解．观察图像可知对角线的交点不可能在线段AB的垂直平分线上．由此可得结论．【详解】（1）如图1中，设PQ交AC于点O．由意得，，在中，AB＝4，BC＝3，∴，∵，解得：，∵，∴，∴，∴（2）如图2中，∵四边形PQMB是平行四边形，∴∴，∴，，，∵，，∴，∴（3）当时，如图3﹣1中，重叠部分是五边形POTMB，；当时，如图3﹣2中，重叠部分是四边形POTB．，；综上所述：；（4）如图4﹣1中，当对角线的交点O在线段AC的垂直平分线上时，设线段AC的垂直平分线交AB于点K，连接CK．则，设．在中，，∴，解得，∴∵，∴∴∴，∴．如图4﹣2中，当对角线的交点O在线段BC的垂直平分线上时，设线段BC的垂直平分线交BC于点R，交AC于点L．∵，，∴直线OL平分QP，∴点L在线段PQ上，且∴．观察图像可知对角线的交点不可能在线段AB的垂直平分线上．综上所述，满足条件的t的值为或．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质、二次函数求表达式以及线段垂直平分线的性质，难度较大，综合性极强；熟练掌握和运用动点问题分析技巧以及分类讨论思想是本题的解题关键．3．如图，在矩形中，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以1个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒.以为斜边作Rt，使点落在线段上.(1)求线段的长度；(2)求面积的最大值；(3)当与相似时，求的值.【答案】(1)(2)面积的最大值为7.5(3)或或或10【分析】（1）先解方程求出的长度，再由勾股定理即可求出的长度；（2）用时间分别表示，即可表示出的面积，最后求最大值即可；（3）用时间分别表示的长，再利用相似三角形列方程计算即可，需要注意分类讨论.【详解】（1）解方程得或∵，分别是一元二次方程的两个根，∴，，∵矩形∴∴（2）由题意得：，∴，∴∴∴，∴∴面积的最大值为；（3）当M在P右边时，如图所示此时即当时∴∴解得当时∴∴解得同理，当M在P左边时，，当时当时综上，当或或或10，与相似.【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，解题的关键是根据相似表示出各个边长，需要特别注意分类讨论.4．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果分别从同时出发，问经过几秒钟，．【答案】或【分析】根据两个三角形相似，则对应边的比等于相似比，由此即可求解．【详解】解：根据题意可知，设经过秒，，∴，，，当，则，，，∴，解方程得，（）；当，则，∴，解方程得，（），∴经过或时，，故答案是：或．【点睛】本题主要考查相似三角形性质的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．(1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）过点作于．通过相似三角形得出的成比例线段可求出的长，再根据三角形的面积公式得出的函数关系式，根据且交射线于点求得的取值范围；（2）若两三角形相似，则，分别过作于于，根据是和的余角，因此．因此可得出，可根据的不同的表示方法，来得出含的等式，从而求出的值．也就可以求出三角形的面积．根据为锐角和钝角的不同情况分类讨论即可求解．．【详解】（1）如图1，过点作于．∴在中，，，，∴,∵为上动点可与重合，当时，为的中点，，，此时，于无交点，设到的距离为，则当时，，此时，结合图形可知当，于无交点，∴或∵∴∴，∴或（2）由题意知，故可以分两种情况．①如图2，当为锐角时，由已知以为顶点的三角形与相似，又知，，所以．过点作于，过作．∴，∴．由又∵∴，解得∴②如图3，当∠BEF为钝角时，同理可求得∴．∴综上所述，的面积是或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，函数关系式．注意（2）中都要分情况进行讨论：要分时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况．6．如图，矩形中，，为边上的动点，当与相似时，求长．【答案】或或【分析】根据和分两类情况讨论即可；【详解】解：设，则当时，解得：当时，解得：或，综上：或或【点睛】本题考查了相似三角形与动点问题；根据相似三角形的性质分类列方程是解题的关键．7．如图，在中，cm，动点P从点C出发沿着的方向以的速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着方向以的速度向终点C运动，P、Q两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）．的面积为．(1)求的长；(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和相似？【答案】(1)cm；(2)；(3)时，以P、C、Q为顶点的三角形和相似．【分析】（1）根据P、Q两点同时到达各自的终点知，，设cm，则cm，利用勾股定理列方程即可得出答案；（2）分或两种情形，分别表示出S与t的函数解析式；（3）当时，点P在上，分或两种情形，根据相似三角形的性质可得答案，当时，点P在上，只有时，则，通过验证发现不存在．【详解】（1）解：根据P、Q两点同时到达各自的终点知，，设cm，则cm，由勾股定理得，，∴，∴cm；（2）解：当时，；当时，作于点H，∴，∴，∵，∴，∴，∴，综上：；（3）解：当时，点P在上，当时，∴，∴，解得；当时，∴，∴，解得（舍去）；当时，点P在上，则时，，∴，∴，解得，∴，∴，∴，故这种情形不成立，综上：时，以P、C、Q为顶点的三角形和相似．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，化动为静，运用分类讨论思想是解题的关键．8．如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为,(1)则；____(用含t的代数式表示)(2)求运动时间t的值为多少时，以、、为顶点的三角形与相似？【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根据路程速度时间即可表示出的长度；（2）分两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：根据题意可得：，，∴，故答案为：，；（2）∵，为顶点的三角形与相似，∴或，∴或，∴或，∴或时，以、、为顶点的三角形与相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的动点问题，利用分类讨论的思想解决问题是本题的关键．9．如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．(1)若与相似，求t的值；(2)直接写出是等腰三角形时t的值；(3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值．【答案】(1)t的值为1或(2)是等腰三角形时t的值为：或或(3)【分析】（1）根据勾股定理可得，分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质将代入计算即可得；（2）分三种情况：①当时，过P作，则，，根据平行线分线段成比例定理得到，进而即可求解；②当时，列出式子即可求解；③当时，过Q作于G，则，通过，得到比例式进而即可求解；（3）设AQ，CP交于点N，过P作于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得．（1）解：∵，∴，由题意得：，分以下两种情况讨论：①当时，，即，解得；②当时，，即，解得，综上，t的值为1或；（2）解：分三种情况：①当时，如图，过P作，则，，∵，，∴，∴，即，解得：；②当时，即，解得：；③当时，如图，过Q作于G，则，，∵，∴，∴即，解得：；综上所述：是等腰三角形时t的值为：或或；（3）解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作于点M，∵，∴，∴，∴，即，解得，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，即，解得，经检验是该分式方程的解．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．10．如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．(1)问题产生∶若P为中点，当时，

；(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．【答案】(1)(2)不变，证明见解析；(3)或【分析】（1）通过P为中点，，可以得到：，进而得到是的中位线，利用中位线定理即可得解；（2）过点作，得到是的中位线，得到，证明，得到，即可得证；（3）当，利用，得到点C、D、P、E共圆，得到，证明，利用相似比即可得解，当时，可以得到点是的中点，即可得解．（1）解：∵∴，∵，∴，∵P为中点，∴，∴；（2）不变，理由如下：过点作，则，∵P为中点，∴；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴的值不变；（3）如图2，连接，∵，∴，当时，则，∵，∴点C、D、P、E共圆，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如图3，当时，则，∵，∴点C、D、P、E共圆，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴，综上所述：或．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．11．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t．（2）过点Q作QE垂直AO于点E，利用QEBO证明△AEQ∽△AOB，从而得到，从而得出==，再利用三角形面积解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴当t为或时，△AQP与△AOB相似．（2）过点Q作QE⊥AO于点E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴当t=2或3时，△APQ的面积为个平方单位．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．12．如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．【答案】(1)见解析(2)①；②8或【分析】（1）证明△ADE≌△CBF，进而易得GEHF，且GE=HF，所以四边形EGFH是平行四边形．（2）①四边形EGFH是菱形，G是AE的中点，则GF=GE=GA=AE，得到∠AFE=90°，根据DE=AF，列方程求解；②四边形EGFH是矩形，易得△ADE∽△EHC，则根据列方程求解即可．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°∵AD=CB，∵点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，∴DE=BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF，∠DEA=∠EAF=∠CFB∵点G、H分别为AE、CF的中点，∴GEHF，且GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．（2）①连EF，∵四边形EGFH是菱形，G是AE的中点．∴GF=GE=GA=AE，∴EF⊥AB，∴DE=AF，∴，∴t=．故答案为：．②∵四边形EGFH是矩形，∴∠D=∠EHC=∠AEH=90°，∴∠AED+∠HEC=∠ECH+∠HEC=90°，∴∠AED=∠ECH，∴△ADE∽△EHC，∴，∴，解得：t1=8，t2=．故答案为：8或．【点睛】本题主要考查矩形、菱形、平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及数形结合的综合运用，第2小题根据结论逆向分析列出方程是解决问题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，点D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，点P从点B出发，沿折线BD－DE－EA运动，到点A后立即停止．点P在BD上以cm/s的速度运动，在折线DE－EA上以1cm/s的速度运动．在点P的运动过程中，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在线段BQ上．设点P的运动时间为t（s）．(1)当点P在线段DE上时，求正方形PQMN的边长．(2)当点N落在边AB上时，求t的值．(3)在点P的整个运动过程中，记正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm²），求S与t的函数关系式，写出相应t的取值范围．【答案】(1)2cm(2)4或(3)【分析】（1）根据三角形的中位线性质得到DEBC，DE=BC=4cm，CE=AC=2cm，再证明四边形PQCE是矩形得到PQ=CE即可求解；（2）分点N与点D重合和点N在线段AD上两种情况，画出对应图形，利用运动线段之间的数量关系求解t值即可；（2）分①当0≤t≤2时；②当2＜t≤4时；③当4＜t≤6时；④当6＜t≤时；⑤＜t≤8时5种情况，分别画出图形，利用数形结合和运动线段之间的数量关系讨论求解即可．（1）解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点，AC＝4cm，BC＝8cm，∴DEBC，DE=BC=4cm，AE=CE=AC=2cm，∵∠C＝90°，PQ⊥BC，点P在线段DE上，∴PQCE，∴四边形PQCE是平行四边形，又∠C＝90°，∴四边形PQCE是矩形，∴PQ=CE=2cm，即正方形PQMN的边长为2cm；（2）解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，∴AB==cm，则BD=cm，∵点P在BD上以cm/s的速度运动，∴点P在线段BD上的时间t=s，由题意，点N落在边AB上时，分两种情况：当点N与点D重合时，点P在线段DE上，如图1-1，则DP=PQ=2，∵在DE以1cm/s的速度运动，∴DP=t-2，即：2=t-2，∴t=2+2=4（s）；

当点N在线段AD上时，点P在线段AE上，如图1-2，∵点P在DE段的运动时间为4s，点P在EA上以1cm/s的速度运动，∴PE=t-2-4=t-6，∴PA=2-（t-6）=8-t，PC=t-6+2=t-4，∵PNCM，∴∠APN=∠ACB，又∠PAN=∠CAB，∴△PAN∽△CAB，∴即，解得：PN=16-2t，由PN=PC得：16-2t=t-4，解得：t=，综上，当点N落在边AB上时，t的值为4或；（3）解：由题意，在点P的整个运动过程中，正方形PQMN与△ABC重叠部分有5种情况：①当0≤t≤2时，如图2-1，重叠部分为四边形PQMK，∵PQAC，∴△BPQ∽△BAC，∴，即，∴PQ=t，BQ=2t，则MQ=PQ=t，BM=BQ-MQ=t，∵KMPQ，∴KM=PQ=t，∴；②当2＜t≤4时，如图2-2，重叠部分为五边形PQMFD，∵DP=t-2，PQ=MQ=2，∴PE=CQ=DE-DP=4-（t-2）=6-t，∴BQ=BC-CQ=8-（6-t）=2+t，BM=BQ-MQ=t，∵MFAC，∴△BFM∽△BAC，∴，即，∴FM=t，∴==；③当4＜t≤6时，如图2-3，重叠部分为正方形形PQMN，则；④当6＜t≤时，如图2-4，重叠部分为正方形PQMN，∵PE=t-2-4=t-6，∴PC=t-6+2=t-4，∴；⑤＜t≤8时，如图2-5，重叠部分为四边形PQMFG，∵PE=t-6，∴PA=2-（t-6）=8-t，PC=MC=t-4，∵PGBC，∴△PAG∽△CAB，∴即，解得：PG=16-2t，∵BM=BC-MC=8-（t-4）=12-t，∴FM=BM=6-t，∴==；综上所述，S与t的函数关系式为．【点睛】本题是运动型综合题，涉及正方形的性质、三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、函数等知识，综合型强，运动过程复杂，计算量大，对同学们的解题能力要求很高，属于中考压轴题．读懂题意，弄清动点和动线的运动过程是解题关键，注意第（2）、（3）问中涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免遗漏失分．14．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为．(1)当为何值时，的面积为？(2)为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似．【答案】(1)(2)或【分析】由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案；由，则当或时，以，，为顶点的三角形与相似，代入计算即可．（1）由题意知，，，的面积为，，解得或，，时，的面积为；（2），当或时，以，，为顶点的三角形与相似，或，解得或，或时，以A，，为顶点的三角形与相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．15．阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)＝，解答见解析(2)没有进行分类讨论，见解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根据三角形相似的性质可得＝，再进行计算即可；（2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可；（3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程进行计算即可．（1）由题意得∵∴正确比例式是：＝，∴DE＝＝＝＝；（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，则△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，综合以上可得：DE为或．（3）由题意可知，有两种情况，第一种：当时，设AM=t，则AN=6-2t，则由得，解得：t=；第二种：当时，则由，，解得：t=，综上所述，当t＝或t＝时以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论．16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当POQ与AOB相似时t的值．【答案】4或2【分析】分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA两种情况，利用相似三角形的性质分类求解即可．【详解】解:由题意，OP=t，OQ=6-t，有两种情况：①若△POQ∽△AOB，则有

即，解得t＝4．②若△POQ∽△BOA，则有即，解得t＝2．∴当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解答的关键．17．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．(1)